2022-2023学年四川省泸县第一中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸县第一中学高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，图中阴影部分所表示的集合为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知，阴影部分所表示的元素属于，不属于，结合所给的集合求解即可确定阴影部分所表示的集合.

【详解】由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，故阴影部分所表示的元素属于，不属于（属于的补集），即.

【点睛】本题主要考查集合的表示方法，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．下列命题中，真命题是．

A．xR，x2＋1＝x B．xR，x2＋1＜2x

C．xR，x2＋1＞x D．xR，x2＋2x＞1

【答案】C

【分析】根据全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用，即可求解.

【详解】对于A中，，所以，所以不正确；

对于B中，，所以，所以不正确；

对于C中，，所以，所以正确；

对于D中，，所以不正确，

故选C.

【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的真假判定，其中解答中正确理解全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】解不等式可得，解不等式可得或，

因为或，

因此，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数和对数函数的性质确定a，b，c的范围，由此比较它们的大小.

【详解】∵ 函数在上为减函数，，

∴  ，即，

∵ 函数在上为减函数，，

∴  ，即，

函数在上为减函数，

，即

∴  .

故选：C.

5．函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先利用对数函数图象的特点求出点，再利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式可得，即可求解.

【详解】对数函数恒过点，将其图象向左平移个单位，向上平移个单位可得的图象，点平移之后为点，所以，

令，，则，

所以，

由诱导公式可得：，

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出，会利用三角函数的定义求出的三角函数值，会利用诱导公式化简.

6．某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是（参考数据：取，）（    ）

A．2023年 B．2024年

C．2025年 D．2026年

【答案】D

【分析】设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n，进而得，再结合对数运算解不等式即可得答案.

【详解】解：设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n，

则，得，

因为

，所以．

故选：D

7．已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由条件求出参数，得到在上的单调性，结合和函数为偶函数进行求解即可.

【详解】因为为偶函数，所以，解得.

在上单调递减，且.

因为，所以，解得或.

故选：D

8．已知函数，函数.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】讨论和时，根据函数的单调性求出值域，然后得出对应的包含关键建立不等式求解.

【详解】由，由可得，

①当时，函数单调递减，此时，

则必有，解得；

②当时，函数单调递增，此时，

则必有，无解.

故实数的取值范围为.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

二、多选题

9．下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，对于函数的定义域为，，该函数为偶函数，

当时，，则函数在区间上为减函数，合乎题意；

对于B选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，

由于该函数在区间上单调递减，则该函数在区间上为增函数，不合乎题意；

对于C选项，函数的定义域为，，该函数为奇函数，不合乎题意；

对于D选项，的定义域为，，该函数为偶函数，

由于函数在区间上为增函数，在该函数在区间上为减函数，合乎题意.

故选：AD.

【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题.

10．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

11．已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】利用基本不等式逐个选项验证其正误即可．

【详解】因为，所以，所以，故A不成立

，当且仅当，即时等号成立，故B成立

，，即，

当且仅当时等号成立，故选项C成立；

，当且仅当时等号成立，故等号取不到，

，故选项D成立.

故选：BCD

12．已知函数，，下列说法正确的是（    ）

A．只有一个零点

B．若有两个零点，则

C．若有两个零点，，则

D．若有四个零点，则

【答案】CD

【分析】由函数解析式分析的性质并画出函数图象判断A，数形结合法判断B、C，结合二次函数性质讨论零点，且的位置情况求m的范围判断D.

【详解】由题设，时且递增，

时，在上递减，上递增且值域均为，又，

所以只有一个零点，A错误，其函数图象如下：

由图，若有两个零点，则或，B错误；

若两个零点，均在上，则，即，C正确；

要使有4个零点，即对应两个不同的值，

若零点分别为，且，

所以，当，即时，由，故排除；

若，有四个零点，此时，无解；

若，有四个零点，此时，无解；

若，，有四个零点，，可得.

综上，有四个零点时，D正确.

三、填空题

13．函数的定义域为_________________________

【答案】(-1,2) .

【详解】分析：由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．

详解：由，解得﹣1＜x＜2．

∴函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（﹣1，2）．

故答案为（﹣1，2）．

点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．

(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.

(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．

14．若，则________.

【答案】

【解析】由，根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可．

【详解】，

，

则，

故答案为：．

15．若、是方程的两个根，则__________.

【答案】

【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由 ，运算求得结果．

【详解】、是方程的两个根，，

，，

，

故答案为：

16．已知函数（其中）图象过点，且在区间上单调递增，则的值为_______.

【答案】

【详解】试题分析：由题：，则：

又，, 上单调递增，

【解析】三角函数的性质及方程与不等式.

四、解答题

17．计算（1）

（2）

【答案】（1）；（2）3.

【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解.

（2）利用对数的运算性质即可求解.

【详解】（1）．

（2）

．

18．设全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}．

（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；

（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．

【答案】 （Ⅰ）{x|x＜1或x≥5}，（Ⅱ）（-∞，3] .

【分析】（Ⅰ）求出集合A，B，由此能出A∩B，（∁UA）∪（∁UB）．

（Ⅱ）由集合C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，B∩C＝C，得C⊆B，当C＝∅时，2m﹣1＜m+1，当C≠∅时，由C⊆B得，由此能求出m的取值范围．

【详解】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1}，

B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}

∴A∩B={x|1≤x＜5}，

（CUA）∪（CUB）={x|x＜1或x≥5}

（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，

∴C⊆B，

当C=∅时，

解得

当C≠∅时，由C⊆B得，解得：2＜m≤3

综上所述：m的取值范围是（-∞，3]

【点睛】本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

19．已知函数的部分图像如图所示：

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值及函数取最大值时相应的x值．

【答案】（1）；（2）时，函数在区间上的最大值为2．

【分析】（1）根据函数的最值求出的值，根据函数的最小正周期求出的值，根据函数的最值点求出的值即得解；

（2）首先求出，再根据不等式的性质和三角函数的图象和性质求出最大值及函数取最大值时相应的x值．

【详解】解：（1）如图可知，，

∴．

∵，

∴，

即函数解析式为；

（2）根据图象变换原则得，

∵，

∴，

∴，

当，即时，函数在区间上的最大值为2．

20．中国“一带一路”倡议构思提出后，常州某企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需要另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场调查分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

（1）求年利润（万元）关于年产量台的函数关系式；

（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大？

【答案】（1）

（2）

【分析】（1）由可得.

（2）分段求出最大值，再取更大即可.

【详解】（1）

（2）当时，

此时最大值为，在时取得；

当时，

当且仅当时取得

故当年产量为台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大

【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.

(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．

21．设为实数，函数．

（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；

（Ⅱ）设函数，为在区间上的最大值，求的最小值

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（1）根据为二次函数，利用对称轴求最值即可；

（2）分类讨论以确定函数的单调性及极值，同时求出端点的函数值，从而确定t (a），再求最小值.

【详解】（Ⅰ）当时，. 二次函数图象的对称轴为，开口向上.

所以在区间上，当时，的最小值为.

当或时，的最大值为.

所以在区间上的值域为.

（Ⅱ）注意到的零点是和，且抛物线开口向上.

当时，在区间上，

的最大值.

当时，需比较与的大小，

，

所以，当时，；

当时，.

所以，当时，的最大值.

当时，的最大值.

当时，的最大值.

当时，的最大值.

所以，的最大值

所以，当时，的最小值为.

【点睛】本题考查了二次函数值域的求法，利用了二次函数的图象与性质，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题.

22．已知函数是偶函数

(1)求实数的值．

(2)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据是偶函数，由成立求解；

（2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个根，令，转化为方程有且只有一个正根求解.

【详解】（1）解：函数，

因为是偶函数，

所以，

即，

即对一切恒成立，

所以；

（2）因为函数与的图象有且只有一个公共点，

所以方程有且只有一个根，

即方程有且只有一个根，

令，则方程有且只有一个正根，

当时，解得，不合题意；

当时，开口向上，且过定点，符合题意，

当时，，解得，

综上：实数的取值范围是.