2022-2023学年四川省泸州市泸县第四中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市泸县第四中学高一下学期开学考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市泸县第四中学高一下学期开学考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则 （    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，则.故选：C.2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质逐项分析，即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A：函数是偶函数，故不符合题意；对于选项B：函数是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；对于选项C：函数是非奇非偶函数，故不符合题意；对于选项D：根据幂函数的性质可知函数是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合题意； 故选：B3．函数＋ln x 的定义域为（    ）A．（0，1） B．（0，1］ C．（1，＋∞） D．［1，＋∞）【答案】A【解析】利用具体函数的定义域的求法求解.【详解】由，解得，所以函数的定义域是（0，1）故选：A4．（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由诱导公式化简直接得出答案.【详解】，则原式，故选：C.5．“”是“”的（    ）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】从充分性和必要性的角度证明，即可判断和选择.【详解】充分性：当时，有，所以充分性满足；当时，或，不一定满足，所以必要性不满足；所以是的充分非必要条件.故选：A6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（    ）A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟【答案】C【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.【详解】根据题意可知，，，因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，，所以，解得，则，所以要使得该茶降至，即，则有，得，故，所以大约需要等待6分钟.故选：C.7．奇函数是定义域为上的增函数，且，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据奇偶性得，再根据单调性解不等式即可.【详解】解：因为是定义域为上的增函数，且为奇函数，所以，，所以，解得，即所以，的取值范围是故选：C8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由解析式得到在上单调递增，由于，结合可得到在，恒成立，即可得到答案．【详解】，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，且，所以，所以，即在，恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是故选：B 二、多选题9．下列判断或计算正确的是（    ）A．，使得 B．C． D．【答案】BC【解析】对于A，由余弦函数的值域进行判断；对于B，利用诱导公式和三角函数的符号进行判断；对于C，利用诱导公式进行判断；对于D，利用同角三角函数的关系化简即可判断【详解】解：对于A，由得，而，所以无解，所以A错误；对于B，，所以B正确；对于C， ，所以C正确；对于D，，所以D错误，故选：BC10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（    ）A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面米时用时25秒【答案】BCD【分析】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.【详解】解：由题意，角速度弧度/秒，又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，由，所以，又角速度弧度/秒，时，，所以，，所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；将代入中，得，或，即，或．所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．故选：BCD．11．设函数是R上的奇函数，若在区间上单调递减，则的取值可能为（    ）．A．6 B．4 C． D．【答案】ACD【分析】先利用奇函数的性质求得，得到，然后对于各选择支中的的值，利用换元思想，根据正弦函数的单调性逐一检验.【详解】∵函数是R上的奇函数，∴，∴，∴，令.当时，，在上单调递增，∴单调递减，符合题意，故A正确；当时，，在上单调递减，∴单调递增，不符合题意，故B错误；当时，，在上单调递增，∴单调递减，符合题意，故C正确；当时，，在上单调递增，∴单调递减，符合题意，故D正确；故选：ACD12．下列结论中，正确的是（    ）A．若，则函数的最小值为B．若，，则的最小值为8C．若x，，，则xy的最大值为1D．若，，，则xy的最大值为【答案】BCD【分析】A.函数变形为，再利用基本不等式求最值；B.首先条件变形为，再利用“1”的妙用，求最值；C.利用基本不等式，将等式变形为，再解不等式，求最值；D.将等式变形为，再利用基本不等式转化求的最大值.【详解】A.,因为，所以，则，当，即时，等号成立，所以函数的最大值为，故A错误；B.因为，所以，且，那么，当，即，再联立，解得时，等号成立，所以的最小值为8，故B正确；C.因为，所以，所以，当时，等号成立，设，则，解得：，因为，所以，所以的最大值是1，即xy的最大值为1，故C正确；D. 因为，，，所以，即，整理为，，解得 ，或，解得：，所以，即，得，当时等号成立，所以xy的最大值为，故D正确.故选：BCD 三、填空题13．求值：______.【答案】【分析】利用对数的运算性质及指数幂的运算性质即可求解.【详解】解：原式，故答案为：.14．已知，则的值为______．【答案】2【分析】根据给定条件把正余弦的齐次式化成正切，再代入计算作答.【详解】因，则，所以的值为2.故答案为：215．已知函数，则的单调增区间为______.【答案】##（-1，1）【分析】先求定义域为，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.【详解】因为，解得：，所以的定义域为.令，则.要求的单调增区间，只需.所以，所以的单调增区间为.故答案为：.16．设函数，方程有四个不相等的实根，则的取值范围是___________.【答案】【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到且，求得，化简，结合换元法和二次函数的性质，即可求解.【详解】当时，所以在与上的图像关于对称.作出图象如下图所示，不防令，可得且所以，所以.因为，令，则原式化为.因为其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增所以所以的取值范围是.故答案为：．【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数的图象，结合函数的图象有，化简，利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键. 四、解答题17．已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）【分析】（1）先求得集合A，进而可得，当，可得集合B，根据并集的运算法则，即可求得答案；（2）“”是“”的必要不充分条件等价于，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求得答案.【详解】（1）集合，所以或，当时，集合，所以或；（2）“”是“”的必要不充分条件等价于是真子集，因为，所以且等号不同时成立，解得，所以实数a的取值范围为【点睛】解题的关键是根据题意，可得，再根据集合的包含关系，即可求得答案，易错点为，要注意集合B中左右边界的大小关系，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.18．已知.(1)若，且，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，然后代入条件可得答案；（2）根据已知可得，令，整体代入目标式化简计算即可.【详解】（1）由已知，由题意，则；（2）由，可知，令，则，19．已知函数的部分图象如图所示.（1）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（2）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值.【答案】（1），，；（2）最小值为，最大值为1.【解析】（1）由函数的部分图象求解析式,由周期求出,代入求出的值,可得函数的解析式；（2）由以上可得,,再利用正弦函数的定义域和值域,求得函数的最值.【详解】（1）根据函数的部分图象,可得，解得，，将代入可得，解得；（2）由以上可得, ， ，，，当时,即,函数取得最小值为.当时,即,函数取得最大值为1.【点睛】本题考查三角函数部分图象求解析式，考查三角函数给定区间的最值，属于基础题.20．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式．注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元 【分析】（1）根据题意分和求出利润，得利润的分段函数；（2）分别利用二次函数及均值不等式求最值，比较大小可得函数的最大值.【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：当时，，当时，，∴．（2）当时，，此时，当时，取得最大值9；时，，此时，当即时，取得最大值15；∵，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．21．已知对任意的，有，其中为偶函数，为奇函数.令.(1)求函数，的解析式，并证明在上单调递增；(2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值集合.【答案】(1)，，证明见解析(2) 【分析】（1）由函数的奇偶性列方程组可得解.（2）由已知换元可得，再由恒成立列出不等式组得解.【详解】（1）由已知得，解得，设，，则，因为，所以，，因为，所以，，所以，，所以在上单调递增（2）又    ∴，，，，∴的取值集合为22．设，函数．（1）若函数为奇函数，求；（2）若，判断并证明函数的单调性；（3）若，函数在区间上的取值范围是，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）上的单调递增函数，证明见解析；（3）．【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可，（2）利用单调性的定义证明即可，（3）当时，由（2）可知函数在上单调递增函数，所以由题意可得，即关于的方程有两个互异实数根，令，整理后利用一元二次方程根的分布情况可求得结果，当时，函数在区间，上均单调递减，从而可得化简整理得，得【详解】解：（1）当时，函数的的定义域为，当时，定义域为， 因为函数为奇函数，所以，即，，整理得，所以，解得或，当时，的定义域为，关于原点对称，所以或，（2）当时，因为，所以，所以函数的定义域为．结论：函数为上的单调递增函数．证明：设对任意的，，且，则，因为，所以，即，又因为，，，所以，于是，即函数为上的单调递增．（3）因为，所以，从而，由，知，所以，因为，所以或．当时，由（2）知，函数为上单调递增函数．因为函数在区间上的取值范围是所以，即，从而关于的方程有两个互异实数根．令，则，所以方程，有两个互异的正实数根，所以，从而．当时，函数在区间，上均单调递减．若，则，于是，这与矛盾，故舍去．若，则，于是，即，所以，两式相减整理得，，又，故，从而，因为，所以．综上可得，当时，当时，．所以的取值范围为．【点睛】关键点点睛：此题考查函数性质的综合应用，考查函数单调性的证明，考查奇函数的性质，考查函数值域的求法，解题的关键是通过讨论函数的单调性，再利用函数在区间上的取值范围是，列出关系式，两式相结合求解的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题