2022-2023学年云南师范大学附属丘北中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年云南师范大学附属丘北中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．角是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】B

【分析】找到与终边相等的角，进而判断出是第几象限角.

【详解】因为，

所以角和角是终边相同的角，

因为角是第二象限角，

所以角是第二象限角.

故选：B.

3．已知函数，则等于（    ）

A．－2 B．0 C．1 D．3

【答案】A

【分析】先求出，然后根据的值求解即可得到.

【详解】由已知得，，所以.

故选：A.

4．函数在下列哪个区间存在零点（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】解：因为与在定义域上单调递增，

所以在上单调递增，

又，，即，

所以在上存在唯一零点.

故选：C

5．已知，，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的单调性及特殊值即可比较三数的大小.

【详解】因为，，，

所以

故选D

【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性，及特殊值在比较大小中的应用，属于中档题.

6．已知计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（   ）

A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元

【答案】A

【详解】由题可知，9年后计算机的价格为：

故选：A

7．已知,则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以,将弦化切,代入求解即可.

【详解】,

.

故选:A.

8．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为，扇面所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，那么这把折扇的扇面面积为（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】B

【分析】根据扇形的面积公式求出大扇形、小扇形的面积，进而相减即可得到扇面的面积.

【详解】由题意得，

大扇形的面积为，

小扇形的面积为，

所以扇面的面积为.

故选：B

二、多选题

9．如图所示，可以表示y是x的函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，即可判断．

【详解】解：对于B：对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不是函数图象；

对于A、C、D：对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是函数图象；

故选：ACD．

10．下列结论正确的是（    ）

A．是第三象限角

B．角的终边在直线上，则=

C．若角的终边过点，则

D．若角为锐角，则角为钝角

【答案】BC

【分析】利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用终边相同角的表示可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错；

对于B选项，根据终边相同角的表示可知角的终边在直线上，

则=，B对；

对于C选项，由三角函数的定义可得，C对；

对于D选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错.

故选：BC.

11．下列函数中，既是偶函数，又在单调递增的函数有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】逐一分析选项函数的性质，选出符合题意的函数.

【详解】定义域为，为偶函数，在上单调递增，A选项正确；

定义域为，为偶函数，在上单调递增，B选项正确；

定义域为，为偶函数，在上单调递增，C选项正确；

定义域为，为非奇非偶函数，D项错误.

故选：ABC.

12．已知偶函数满足，且当时，．则下列说法中正确的有（    ）

A．

B．的值域为

C．

D．关于的方程在内的根的个数可能是个

【答案】ABD

【分析】利用函数的周期性和奇偶性可判断A    选项；求出函数在上的值域，结合周期性可判断B选项；利用函数的周期性求出的值，可判断C选项；数形结合可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，则函数是周期为的周期函数，

又因为为偶函数，且当时，，

所以，，A对；

对于B选项，因为函数为周期函数，且周期为，

要求函数的值域，只需求出函数在上的值域即可，

当时，则，则，

当时，，

所以，函数在区间上的值域为，故函数的值域为，B对；

对于C选项，，，

且函数是周期为的周期函数，

故，C错；

对于D选项，由可得或，

作出函数在上的图象如下图所示：

由图可知，方程在内的根有两个，

当时，直线与函数在内的交点有个，

故当时，关于的方程在内的根有个，D对.

故选：ABD.

三、填空题

13．命题，．则命题的否定为：__________．

【答案】，.

【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.

【详解】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为：，.

故答案为：，.

14．已知角的终边与单位圆的交点为 ，则 ______.

【答案】##0.45

【分析】根据三角函数的定义可得正弦与正切值，代入即可求解.

【详解】角α的终边与单位圆的交点为，则，，

则

故答案为：

15．函数（且）恒过定点___________.

【答案】

【分析】令即可得到定点坐标.

【详解】当时，，故恒过定点为，

故答案为：.

16．若函数在上单调递增，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】根据分段函数函数在上单调递增，则每一段都为增函数，且根据右侧的函数值不小于左侧函数值列不等式求解.

【详解】因为函数在上单调递增，

所以，解得，

所以实数的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．若角的终边经过点，且，求的值．

【答案】或.

【分析】由条件根据三角函数的定义列方程求，再由三角函数定义求.

【详解】依题意，

所以或.

当时，，，

当时，，，

当时，，，

所以或.

18．计算下列各式：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据根式、指数运算进行化简求值.

（2）根据对数运算进行化简求值.

【详解】（1）原式.

（2）原式.

19．已知，求，的值．

【答案】或

【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】解：因为，所以在第三、四象限；

当在第三象限时，，；

当在第四象限时，，；

综上可得或

20．已知函数，其中是指数函数．

（1）求的表达式；

（2）解不等式：．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据指数函数的定义，有，结合求a，写出；

（2）由（1）的结论，结合对数函数的性质及其单调性列不等式组求解集即可.

【详解】（1）是指数函数，所以，解得或(舍)，

∴.

（2）由（1）知：，

∴，解得，解集为.

21．为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产（单位：千部）手机，需另投入可变成本万元，且由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额－固定成本－可变成本）

(1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式；

(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)90，8070万元.

【分析】（1）代入分段函数化简即可.

（2）分别求分段函数的最值，取最大值即可.

【详解】（1）

（2），当时，；

，当且仅当时等号成立.

故当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元

22．已知定义在上的函数对于任意的、，都有，且时，有，．

(1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)若对任意、，，总有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）判断出函数为奇函数，令，可求出的值，再令可得出、的关系，即可得出结论；

（2）利用函数单调性的定义分析出函数在上为增函数，求出函数在上的最大值和最小值，可得出关于的不等式组，解之即可.

【详解】（1）证明：函数为奇函数，理由如下：

因为，令，得，所以，

令得，所以，故函数为奇函数．

（2）解：因为是定义在上的奇函数，

任取、且，即，则，

则，则，

所以在上单调递增，则在上的最大值为，

最小值为，

故、，，

因为、，恒成立，

所以恒成立，即恒成立，

令，则，恒成立，

所以，，解得或，

综上所述，实数的取值范围是.