2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期期末考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期期末考试数学试题 一、单选题1．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有丁一千五百万，出兵四十万．问科一兵？”翻译成现代文就是：“今有1500万壮丁，要出兵40万．问几个壮丁中要征一个兵？”这个问题体现了中国古代的概率思想，则对于其中任意一个壮丁，被征为士兵的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据古典概率模型即可得解.【详解】依题意：要从1500万壮丁中选出40万，任意一个壮丁被征为士兵的概率为．故选：A2．为了测试小班教学的实践效果，刘老师对、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，、两班学生的平均成绩分别为，，、两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】观察茎叶图，根据平均数和方差的定义即可得到答案.【详解】根据茎叶图中数据的分布可得，班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在 之间，所以.相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，所以.故选：B【点睛】本题主要考查平均数和方差，同时考查了茎叶图的应用，属于简单题.3．设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据虚数单位的性质和复数的运算公式求出的代数形式，由此确定【详解】所以在复平面内对应的点的坐标为，该点在第二象限，故选：B.4．已知为的外心，，若，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把，算两次，得出及的关系，从而求得，然后可得结论．【详解】作于，于，因为是外心，所以，分别是中点，，又，记，则，，①同理．，所以，②又，③，即，由①得，代入②得，，④，由③④联立方程组解得，所以，．故选：A．5．设向量，，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】向量，，若，则，解得.故选：D【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需熟记关系式，属于基础题.6．在中，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理求边，从而求出角，结合变名的诱导公式即可求出的值.【详解】由余弦定理可得，即，又因为，所以，所以．故选：D.7．如图所示，河边有一座塔，其高为，河对面岸上有两点与塔底在同一水平面上，在塔顶部测得两点的俯角分别为和，在塔底部处测得两点形成的视角为，则两点之间的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出和，再根据余弦定理可求得结果.【详解】在直角三角形中，，可得，在直角三角形中，，可得，又，可得，可得,所以两点之间的距离为.故选：C.8．已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，则根据正四面体的表面积即可得出，从而得出对应的正方体的棱长为1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为，最后根据球的体积公式即可得出结果.【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，所以该正四面体的表面积为，所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，所以球的体积为．故选：C.9．如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，可得平面平面，由于平面，根据线面平行的性质可得，即可得到结果．【详解】如图，设， 可得面面， ∵平面，根据线面平行的性质可得， ∵为的中点，∴为中点，∴． 故选：D．10．正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接、，可知，求出、长度后求出即可得解.【详解】如图，连接，，由题意得，，且，面，，，，又 ，面，，..故选：B.【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，属于基础题.11．如图，在正四棱柱中，底面是边长为1的正方形，P为上一点，且满足，，则以四棱锥外接球的球心为球心且与平面相切的球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】在直角中，求得，结合球的性质，求得即为四棱锥的外接球的球心，分别连接，过点作，证得平面，求得，得到所求球的半径，结合体积公式，即可求解.【详解】在直角中，，，可得，即，过正方形的中心作平面，取的中点，连接，则平面，则直线，则即为四棱锥的外接球的球心，分别连接，在中，过点作,又由平面，可得，因为，所以平面，又由和相似，可得，所以，所以为球心且与平面相切的球的半径为所以该球的体积为.故选：B.12．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 二、填空题13．在三角形中，角的对边分别是，若，角的角平分线交边于点，且，则边c的大小为___________.【答案】##【分析】根据，利用正弦定理边化角求得A，再利用，可得到，结合条件求得a,b的值，利用余弦定理求得答案.【详解】由可得： ，故，所以 ，由于 ,故 ,故由可得： ，又 ，故，联立 ，解得 ，故 ，故 ，故答案为：14．如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________．【答案】##【分析】取的中点，连接，，即可得到即为异面直线与所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形，即可得解；【详解】解：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，所以且，且，所以即为异面直线与所成的角或其补角，又，，，所以，，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以；故答案为：15．某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001，002，003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第行到第行： 若从表中第6行第6列开始向右依次读取个数据，则得到的第6个样本编号是_______．32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45【答案】522【分析】根据随机数表的抽取方法从表中第6行第6列开始向右依次读数即可.【详解】从表中第6行第6列开始向右依次读数为：808（舍去），436，789，535，577，348，994（舍去），837（舍去），522，578，324，所以得到的第6个样本编号是522，故答案为：52216．2021年湖南新高考实行“3+1+2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．【答案】【分析】求出基本事件的总数，以及他们选课相同包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则基本事件有（地，地），（地，化），（地，生），（化，地），（化，化），（化，生），（生，地），（生，化），（生，生）共个，他们选课相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有个，所以他们选课相同的概率．故答案为：. 三、解答题17．已知，(1)设，的夹角为，求的值；(2)若向量与互相垂直，求k的值【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；（2）根据平面向量的坐标运算以及垂直的坐标表示即可解出．【详解】（1）因为，所以.（2）由，可得，，因为向量与互相垂直，所以，即，解得：.18．在中，、、分别是角、、的对边，，，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合余弦定理列出方程，解方程即可求出结果；（2）结合同角的平方关系求出，然后利用正弦定理求出，再次结合同角的平方关系求出，进而结合两角差的余弦公式即可求出结果.【详解】解：（1）由余弦定理知，即，整理，得，解得或（舍负），故.（2）因为，且，所以，由正弦定理知，即，又，所以，所以，所以.19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于，，分别写出分布列，再求期望值均为；（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差.【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：，∴，，，∴X的分布列为：X123P ∴． ，∴，，，，∴Y的分布列为：Y0123P ∴． （2），，∵，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.20．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点,分别是的中点.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.【解析】(1) 连接，由中位线定理可得，进而证明平面；(2) 当为棱中点时，平面平面，再由平面与平面平行的判定定理，即可证明结论.【详解】证明：(1)连接，如下图所示，，，，又平面，平面，∴平面；（2）当为棱中点时，平面平面，理由如下：为中点，∴，又平面，平面，∴平面,又由（1）平面,，∴平面平面，且.【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及面面平行的判定，属于中档题.21．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）若=19,求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【答案】(1);(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【详解】试题分析：（Ⅰ）分x19及x＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定.试题解析：（Ⅰ）当时，；当时，，所以与的函数解析式为.（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【解析】函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. 22．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【详解】（1）如图，连接，∵分别是的中点，∴.又∵平面，平面，∴直线平面.（2）连接SD，∵分别是 的中点，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.