2021-2022学年广西桂林市灵川县灵川中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广西桂林市灵川县灵川中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由终边相同角的概念即可得出答案.

【详解】解：因为与角终边相同的角是，

所以与角终边相同的角是.

故选：B.

2．函数在上的递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦函数图象求单调区间即可

【详解】的递增区间就是的递增区间，由三角函数图象可得在上递减，在上递增，在上递减，

故选：B．

3．下列关于向量，的命题中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则与夹角是0

【答案】C

【分析】结合平面向量中相等向量的概念，平行向量的概念以及平面向量的夹角的定义逐项分析即可求出结果.

【详解】因为，但是，的方向不确定，故，不一定相等，故A错误；

因为向量不能比较大小，故B错误；

因为，即，的方向相同，所以，故C正确；

因为，则，的方向相同或相反，所以与夹角是0或，故D错误；

故选：C.

4．已知角的终边过点，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义，由求得参数，再求即可.

【详解】角的终边过点，

故可得，解得.

故.

故选：D.

5．要得到的图象,需要将函数的图象（      ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【分析】根据三角函数的图象变换的原则，准确化简，即可求解.

【详解】根据三角函数的图象变换的原则，将函数的图像向右平移个单位后，可得到.

故选：D.

6．设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（   ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】A

【分析】能作为平面的一个基底的两个向量必不共线，因此只需要判断选项中向量是否共线即可.

【详解】对于A，因为，所以和共线，则这组向量不能作为平面内的一组基底，故A正确；

对于B，假设和共线，则，故，

所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，

则和能作为平面内的一组基底，故B错误；

对于C，假设和共线，则，即，

由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，

则和能作为平面内的一组基底，故C错误；

对于D，假设和共线，则，即，

由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，

则和能作为平面内的一组基底，故D错误.

故选：A.

7．已知，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量垂直的坐标表示求解

【详解】由题意得，得

故选：C

8．已知，则a､b､c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦函数、正切函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，在上单调递增，所以，即，，又，所以，所以；

故选：C

9．若扇形的面积是cm2，它的周长是cm，则扇形圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【解析】设扇形的半径为，圆心角为，由题意列出关于与的方程组，求解即可得出答案．

【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为，

由题意得，

解得或（舍去，

扇形圆心角的弧度数为，

故选：A．

【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，属于基础题．

10．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.

【详解】若，则成立，当时，可以取，即不一定成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

11．已知函数f(x)＝2cos(3x－)，下面结论错误的是(    )

A．函数的最小正周期为

B．函数图像关于(－，0)中心对称

C．函数图像关于直线x＝对称

D．将y＝2cos3x图像上的所有点向右平移，可得到函数y＝f(x)的图像

【答案】C

【分析】A：y＝Acos(ωx＋φ)＋B的最小正周期为；

B：f(x)的对称中心处函数值为零；

C：f(x)的对称轴过函数图像最高点或最低点；

D：根据函数图像平移对解析式的影响“左加右减”即可判断﹒

【详解】A：y＝Acos(ωx＋φ)＋B的最小正周期为，∴f(x)的最小正周期T＝，A正确；

B：f(－)＝2cos[3×(－)－]＝0，所以(－，0)是f(x)的中心对称，B正确；

C：f()＝0，所以f(x)关于(，0)中心对称，C错误；

D：将y＝2cos3x图像上的所有点向右平移变为y＝2cos3(x－)＝2cos(3x－)，D正确﹒

故选：C．

12．在中，角的对边为，若，则当取最大值时，的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由余弦定理可得：，再利用基本不等式的性质可得的最大值，再利用三角形面积计算公式即可得出．

【详解】解：在中，由余弦定理可得：，当且仅当时取等号．

，

当取最大值时，的面积．

故选：B．

二、多选题

13．已知，则函数的值可能是（    ）

A．0 B． C．4 D．2

【答案】ABD

【分析】对分四个象限讨论即可．

【详解】解：因为，所以且，

当是第一象限角时：，，

，

当是第二象限角时：，，

，

当是第三象限角时：，，

，

当是第四象限角时：，，

，

所以函数的值域，

故选：ABD

14．已知向量，，则（    ）

A． B．

C．向量在向量上的投影向量是 D．是向量的单位向量

【答案】AD

【分析】根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A；

根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B；

根据投影向量的计算公式即可判断C；

判断向量是否与向量共线，及模是否为1，即可判断D.

【详解】解：对于A，，则，

所以，故A正确；

对于B，，则，故B错误；

对于C，向量在向量上的投影向量为，

故C错误；

对于D，因为向量的模等于1，

，所以向量与向量共线，故是向量的单位向量，故D正确.

故选：AD.

15．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.

【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，

因为，故A错误；

由, 故B错误；

因为, 故C正确；

因为

, 故D正确.

故选：CD

三、填空题

16．已知，且为第四象限角，则____________

【答案】

【分析】首先求的值，再求.

【详解】，且为第四象限角，

，

.

故答案为：

17．在中，，则__________.

【答案】

【分析】根据，利用余弦定理求解.

【详解】在中，因为，

由余弦定理得：

，

，

所以，

故答案为：

18．已知三点共线，则=____ .

【答案】

【分析】列方程来求得.

【详解】依题意：三点共线，

所以，即.

故答案为：

19．函数的定义域为_____________________．

【答案】

【分析】由，可得，结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域．

【详解】解：依题意可得，

可得，解得，，

所以函数的定义域为.

故答案为：．

20．已知函数和的图象完全相同，若，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.

【详解】解：因为，

所以，则.

因为，

所以，

所以，

所以.

故答案为：.

四、解答题

21．已知，，且与夹角为120°．求：

(1)；

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）利用向量的数量积的定义与运算法则，结合转化法即可得解.

【详解】（1）因为，，，

所以，，

所以.

（2）因为，

所以.

22．已知是第三象限的角，．

(1)化简；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】利用三角函数的诱导公式化简求值即可；

【详解】（1）依题意，得

.

（2）因为，

所以，

所以.

23．在中，已知，，在线段上，且，，设，．

(1)用向量，表示；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的线性运算直接计算；

（2）利用基底法求向量的数量积.

【详解】（1）由题得；

（2）由已知得

.

24．已知函数，求：

（1）的最小正周期；

（2）的单调递增区间；

（3）取最大值时自变量x的集合.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】利用诱导公式化简得到，再利用正弦函数的性质求解.

【详解】由诱导公式得

.

（1）由，得的最小正周期为.

（2）由，

得.

因此的单调递增区间为.

（3）由，解得.

故取最大值时自变量x的集合为.

25．已知函数的部分图象，如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定.

（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.

【详解】（1）解：根据函数的部分图象

可得，，所以.

再根据五点法作图可得，

所以，.

（2）将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.

由，可得

又函数在上单调递增，在单调递减

，，

函数在的值域.

26．为迎接2022年的亚运会，城市开始规划公路自行车比赛的赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的五边形.运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以在本队的器材车､公共器材车或收容车上获得帮助，也可以从固定修车点上获得帮助.另外，为满足需求，还需要运送一些补给物品，例如食物､饮料､工具和配件.所以项目设计需要预留出赛道内的两条服务通，（不考虑宽度），已知为赛道，，，，.

(1)若，求服务通道的长度；

(2)在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道最长（即最大）？最长为多少？

【答案】(1)；

(2)当，折线赛道最长为.

【分析】（1）由正弦定理可得，结合已知可得，应用勾股定理即可求服务通道的长度；

（2）由余弦定理可得，结合（1）及基本不等式可得，即可得最长长度，注意不等式中等号成立条件.

【详解】（1）在△中，由正弦定理得：.

而，则，

在中，，故服务通道的长度为.

（2）在△中，由余弦定理得，

所以，则，

所以，当且仅当时取等号.

故，折线赛道最长为.