2021-2022学年广西梧州市藤县第六中学高一下学期3月开学考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广西梧州市藤县第六中学高一下学期3月开学考试数学试题

一、单选题

1．若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=

A．{x|–2x–1} B．{x|–2x3}

C．{x|–1x1} D．{x|1x3}

【答案】A

【详解】试题分析：利用数轴可知，故选A.

【解析】集合的运算

【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

2．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定可得答案.

【详解】命题“，”的否定是“，”

故选：C

3．已知，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质确定正确答案.

【详解】当时，不成立，A错误.

因为，所以，，，B正确，C，D错误.

故选：B

4．已知，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由指对数函数的单调性得到的范围即可.

【详解】因为，，，所以.

故选：D

5．高一某班名学生的英语口语测试成绩单位：分如下：，，，，，，，，， 这组数据的百分位数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把数据从小到大排列，然后用百分位数的定义求解．

【详解】从小到大的顺序排列数据为，，，，，，，，，，

因为，所以这组数据的百分位数是第八个数据．

故选：B

6．下列各组中的两个函数表示同一函数的是（　　）

A．  B．y＝lnx2，y＝2lnx

C．  D．

【答案】D

【分析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.

【详解】对于A， 定义域为，而定义域为，定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数，排除A；

对于B，定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；

对于C，  定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；

对于D，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.

故选：D

7．已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数，求得对称轴的方程为，结合题意，得到或，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得对称轴的方程为，

要使得函数在上具有单调性，

所以或，解得或．

故选：C.

8．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由可得出，可得出，令，可知关于的二次方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】由可得，

在等式两边平方得，

令，可知方程有两个不等的正根、，

所以，，解得.

故选：A.

二、多选题

9．下列函数中，既是奇函数，又是R上的增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】CD选项是幂函数，可以直接进行判断，A选项从奇函数和偶函数的定义判断，B选项先化为分段函数，画出函数图象，即可说明是奇函数，也是R上的增函数

【详解】，故，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数，所以排除选项AD；

因为，如图是函数图象，当时，，故，所以是奇函数，且在R上是增函数，故B正确；

因为是奇函数且在R上是增函数，故C正确.

故选：BC.

10．已知函数的图象经过点，则（    ）

A．的图象经过点 B．的图象关于原点对称

C．单调递减区间是 D．在内的值域为

【答案】BD

【分析】由题意得，结合幂函数与反比例函数的图象与性质即可求解.

【详解】将点代入，可得，

则，

因为，故的图象不经过点(2，4)，A错误；

根据反比例函数的图象与性质可得：的图象关于原点对称, 单调递减区间是和，在内的值域为，故BD正确，C错误.

故选：BD.

11．某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法、讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况，对本校名学生的得分情况进行了统计，按照、、、分成组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（    ）

A．图中的值为

B．这组数据的平均数为

C．由图形中的数据，可估计分位数是

D．分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有人获得该称号

【答案】BC

【分析】由直方图的面积之和为可判断A选项；求出平均数可判断B选项；求出分位数可判断C选项；计算出该校获得金牌小卫士称号的人数可判断D选项.

【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知，解得，A错；

对于B选项，这组数据的平均数为，B对；

对于C选项，，，

所以，设这组数据分位数为，则，则，解得；

对于D选项，由频率分布直方图可知，该校获得金牌小卫士称号的人数为人，D错.

故选：BC.

12．设函数若，则实数a的值可以是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】BC

【分析】根据给定条件分段列式计算判断作答.

【详解】当时，，由得，，则，

当时，，由得，或（舍去），则，

所以实数a的值是或.

故选：BC

三、填空题

13．已知lg2＝a，lg3＝b，则log312＝__．

【答案】

【分析】根据对数的运算求解即可.

【详解】∵lg2＝a，lg3＝b

∴log312

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了对数的运算，属于基础题.

14．函数的定义域为___________.

【答案】

【解析】求使解析式有意义的自变量的范围，解不等式组即可得出结果.

【详解】由题意满足

所以.

故答案为：.

15．设，，，则a，b，c之间的大小关系为__________

【答案】

【解析】利用不等式性质比较大小即得结果.

【详解】 ，，，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用不等式性质比较大小，属于基础题.

四、双空题

16．已知函数其中且.

①当时，则函数的零点为___________；

②若函数的值域为，则实数a的取值范围为___________.

【答案】         

【分析】①当时，分两段，令=0解出的值即可；

②先求出第一段的值域，函数的值域为，列出不等式组即可求出答案.

【详解】①若，则可知，当时，；

当时，令，解得，故函数的零点为.

综上所述，当时，则函数的零点为；

②当时，；故显然有解得，

故实数a的取值范围为.

故答案为：；

五、解答题

17．某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评满意度最高分分，最低分分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低去年测评的结果单位：分如下

甲校：，，，，，，，

乙校：，，，，，，，

(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数

(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差

【答案】(1)平均数为100；100；中位数99；99

(2)55.25；29.5

【分析】（1）利用平均数、中位数定义及公式直接求即可；

（2）利用方差公式直接求即可

【详解】（1）甲学校人民满意度的平均数为：，

甲校：86,96,97，98,100,103,108,112

甲学校人民满意度的中位数为；

乙学校人民满意度的平均数为：，

乙校：93,94,96,97,101,105,106,108

乙学校人民满意度的中位数为．

（2）甲学校人民满意度的方差：，

乙学校人民满意度的方差：．

18．已知二次函数的图象过原点，且关于直线对称，.

(1)求函数的表达式；

(2)设，求函数在区间上的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再根据函数的对称轴得到，最后根据，代入求出、的值，即可得解；

（2）依题意可得，即可得到对称轴为，再对对称轴所在位置分类讨论，求出函数的最小值即可；

【详解】（1）解：∵的图象过原点，

∴.

∵的对称轴为，

∴即，

∴.

∵，

∴，.

∴.

（2）解：，对称轴方程是，抛物线开口向上，

当时，在上单调递增，；

当时，在上先减后增，；

当时，在上单调递减，.

综上，，

19．年月日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种，月日时分，重组新冠疫苗获批启动临床试验.月日，中国新冠病毒疫苗进入期临床试验截至月日，全球当前有大约种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有种疫苗正处于临床试验阶段现有、、三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是、、．求：

(1)他们都研制出疫苗的概率；

(2)他们都失败的概率；

(3)他们能够研制出疫苗的概率．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】令事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗.

（1）他们都研制出疫苗，即事件、、同时发生，根据相互独立事件同时发生的概率公式求解；

（2）他们都失败，即事件、、同时发生，根据相互独立事件同时发生的概率公式求解；

（3）“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，根据对立事件的概率公式，即可求解．

【详解】（1）解：令事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗，

事件在一定时期内能研制出疫苗，

由题意可知，事件、、相互独立，且，，.

若他们都研制出疫苗，即事件、、同时发生，

所以，，即他们都研制出疫苗的概率为．

（2）解：他们都失败，即事件、、同时发生，

所以，.

即他们都失败的概率为．

（3）解：“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，

结合对立事件间的概率关系，可得所求事件的概率.

即他们能研制出疫苗的概率为．

20．某保险公司给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示.

（1）求频率分布直方图中实数a的值，并求出该样本年龄的中位数；

（2）现分别在年龄段中各选出1人共5人进行回访，若从这5人中随机选出2人，求这2人所交保费之和大于260元的概率.

【答案】（1），中位数为；（2）.

【解析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，即可求得a的值，根据中位数左右两侧小矩形面积之和都为0.5，即可求得答案；

（2）设回访的这5人分别，，，，，列出任选2人所有可能性，选出满足题意的可能性，根据古典概型公式，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得：，

解得，

设该样本年龄的中位数为，则，

所以

解得.

（2）回访的这5人分别记为，，，，，从5人中任选2人的基本事件有：

，，，，

，，，

，，

共10种，

事件“两人保费之和大于260元”包含的基本事件有：

，，，，共4种，

所以这2人所交保费之和大于260元的概率.

【点睛】解题的关键是熟练掌握频率分布直方图，频率分布直方图中常见结论有：

①直方图中所有小矩形面积和为1，且小矩形面积为该组频率；

②最高小矩形底边中点横坐标即为该组众数；

③中位数左右两边小矩形面积和相等且都为0.5；

21．1.已知函数，且.

(1)求m的值；

(2)判定的奇偶性；

(3)判断在上的单调性，并给予证明.

【答案】(1)

(2)奇函数

(3)在上为单调增函数，证明见解析

【分析】（1）利用求出m的值；（2）先判断定义域是否关于原点对称，再判断与之间的关系，确定奇偶性；（3）定义法证明函数的单调性

【详解】（1）根据题意，函数，

因为，所以，解得.

（2），因为的定义域为，定义域关于原点对称

又，

所以是奇函数.

（3）在上为单调增函数.

证明如下：任取，则.

因为，所以，，

所以.

所以在上为单调增函数.

22．树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成成绩频率分布直方图如图：

（1）从校区全体高一学生中随机抽取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率；

（2）如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；

（3）根据频率分布直方图，用样本估计总体的方法，试比较，两个校区的物理成绩，写出两条统计结论，并说明理由．

【答案】（1）0.68；（2）；（3）答案见解析.

【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据算出答案即可；

（2）首先求出从校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率，然后可算出答案；

（3）可以从众数、中位数、平均数、方差分别比较，两个校区的物理成绩.

【详解】（1）从校区抽取的100名学生中随机选取一名，

这名学生的成绩不低于60分的频率为，

利用频率估计概率可得这名学生的成绩不低于60分的概率为0.68；

（2）由概率分布图可得校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为，

校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为，

则这三名学生物理成绩都低于80分的概率约为，

这三名学生中至少有一名学生成绩都不低于80分的概率为．

（3）①从众数看，，两个校区的众数都是70，所以，两个校区的众数相等．

②从中位数看，校区物理成绩的中位数高于校区物理成绩的中位数

校区的中位数是

校区的中位数是

因为，所以，校区物理成绩的中位数高于校区物理成绩的中位数．

③从平均数看，校区物理成绩的平均数高于校区物理成绩的平均数

校区成绩平均数为

，

校区成绩平均数为，

，

，所以，校区物理成绩的平均数高于校区物理成绩的平均数．

④从方差看，校区物理成绩比校区物理成绩更集中．

校区成绩方差为：

校区成绩方差为：

因为，所以校区物理成绩比校区物理成绩更集中．