2021-2022学年广西玉林市博白县第四高级中学（博白县中学书香校区）高一下学期4月段考数学试题（解析版）

2021-2022学年广西玉林市博白县第四高级中学（博白县中学书香校区）高一下学期4月段考数学试题

一、单选题

1．已知复数（i为虚数单位），则z在复平面对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由复数的乘法化简复数，再根据几何意义得出对应点的坐标，从而得其象限．

【详解】，对应点坐标为，在第二象限．

故选：B．

2．经过同一条直线上的3个点的平面

A．有且只有一个 B．有且只有3个

C．有无数多个 D．不存在

【答案】C

【分析】根据平面的性质，直接判定即可得出结果.

【详解】经过一条直线可以作无数多个平面.

故选：C.

【点睛】本题主要考查由线确定平面的数量，熟记基础题型.

3．在中，，，，则此三角形（    ）

A．有两解 B．有一解 C．无解 D．解的个数不确定

【答案】A

【分析】求出点到的距离与比较大小可得结论

【详解】解：因为，，

所以顶点到的距离，

因为，所以，

所以以为圆心，为半径画弧与有两个交点，

所以三角形有两解，

故选：A

4．已知向量，，且与平行，则（    ）

A．1 B．0 C． D．

【答案】C

【分析】求出与的坐标，再借助向量共线的坐标表示列式计算即得.

【详解】因向量，，则，，

又与平行，于是得，解得，

所以.

故选：C

5．在中，，.点满足，则

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据，建立坐标系，利用坐标求向量的数量积

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系

，

点A是BM的中点，

在中，，，

，，，，

，，

故选：C

【点睛】本题考查向量的坐标运算，属基础题。

6．在中，角A，B，C所对的边分别是，，，，，，则（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得，即可求得.

【详解】，，

由正弦定理得：

，，

故选C.

7．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

故

，

，

，

故 ，

由于 ，故，

故选：C

8．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由斐波那契数的规律判断出接下来的圆弧所在的扇形的半径是3+5=8.设圆锥底面半径为r，求出r=2，即可求出圆锥的表面积.

【详解】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即接下来的圆弧所在的扇形的半径是3+5=8，对应的弧长.

设圆锥底面半径为r，则，即r=2.

该圆锥的表面积为.

故选：B.

二、多选题

9．如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．

【详解】解：，点在边上，

，

故选：．

10．下列说法中不正确的是（    ）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

【答案】ABC

【分析】通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线的定义进行判断知D正确．

【详解】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；

B、如图（2）（3）所示，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；

C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；

D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．

故选：ABC．

11．下列四种说法中正确的有（    ）

A．自然数集整数集有理数集实数集复数集C

B．（i为虚数单位）

C．复数中，实部为1，虚部为

D．（i为虚数单位）

【答案】AD

【分析】根据复数的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，有关自然数集、整数集、有理数、实数集、复数集的包含关系正确.

B选项，复数不能比较大小，B错误.

C选项，虚部不含，C错误.

D选项，，所以D正确.

故选：AD

12．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.

【详解】，故，根据正弦定理：，即，

，故，，.

，化简得到，解得或，

若，故，故，不满足，故.

.

故选：.

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.

三、填空题

13．复数（是虚数单位）的共轭复数__________．

【答案】

【分析】先进行分母有理化，再根据共轭复数的定义即可求解.

【详解】，.

故答案为：.

14．如图，是的直观图，其中，则的面积是______．

【答案】

【分析】先求得的边长并判定形状，进而可求得的面积

【详解】中，，，，则

则中，，，

则的面积是

故答案为：

15．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的表面积为S1，球O的表面积为S2，则的值是_____．

【答案】

【分析】设球的半径为，圆柱的高为，根据图形可以得出；代入圆柱的表面积公式，球的表面积公式即可求出．

【详解】解：设球的半径为，圆柱的高为，

由题意可得：；

，；

；

故答案为：．

【点睛】本题考查了球的表面积，考查了学生的计算能力，分析能力；属于基础题．

16．已知向量 , ，则向量的模的最大值是________.

【答案】

【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求出模的表达式，并化简，根据三角函数的性质求得最大值.

【详解】∵ ，

则，

当时，有最大值，且为，

故答案为：

四、解答题

17．已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．

(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；

(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）根据纯虚数，实部为零，虚部不为零列式即可；

（2）根据第三象限，实部小于零，虚部小于零，列式即可 .

【详解】（1）因为为纯虚数,

所以

解得或，且且

综上可得,当为纯虚数时;

（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限,

解得或，且

即,故的取值范围为.

18．已知向量，，与的夹角为

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)2；

(2).

【分析】（1）利用数量积的定义直接计算作答.

（2）利用数量积计算模的公式，结合数量积的运算律计算作答.

【详解】（1）因向量，，与的夹角为，

所以.

（2）由（1）知，，则，

所以.

19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求；

(2)若，的周长为，求的值.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

（2）利用余弦定理得到，再根据三角形的周长得到，代入计算可得；

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理得.

.

又，且，，

.

（2）解：由余弦定理，得.

，则.

，，

.

20．西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，、是邛海水面上位于东西方向相距公里的两个观测点，现位于点北偏东、点西北方向的点有一艘渔船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距公里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为公里/小时.求：

(1)观测点与点处的渔船间的距离；

(2)点的救援船到达点需要多长时间？

【答案】(1)公里

(2)小时

【分析】（1）求出的三个内角，利用正弦定理可求得的长；

（2）利用余弦定理求出，结合救援船行驶的速度可求得所需时间.

【详解】（1）解：在中，，，则，

所以，，

由正弦定理，所以，（公里）.

（2）解：在中，，，，

由余弦定理可得，

因此，救援船所需时间为（小时）.

21．如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形.

(1)求挖掉的直三棱柱的体积；

(2)求剩余几何体的表面积.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE，

由球的性质知是所在小圆直径，又是一个长为的正方形，

因此，球半径为，

挖掉的直三棱柱的体积；

（2）由（1）知，，，，半球表面积＝，

所以剩余几何体表面积为

半球表面积－＝．

22．已知函数.

（1）求函数f（x）的单调性；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，c＝1，求△ABC的面积.

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z；（2）.

【解析】（1）利用二倍角公式逆应用和辅助角公式化简整理，求单调区间即可；

（2）求出角，利用正弦定理得C角和B角，再由计算即可.

【详解】解：（1），

由，得，k∈Z；

由，得，k∈Z.

故f（x）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z；

（2），则 ，

∵A∈（0，π），∴，即，

由正弦定理得，即，解得 ，∴或，

当C＝时，A+C＞π，舍去，所以，故，

∴.

【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数单调区间和解三角形的综合应用，属于中档题.