2021-2022学年河南省新乡市原阳县第三高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省新乡市原阳县第三高级中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据函数定义域与函数解析式是否相同，可得答案.

【详解】对于A，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故A错误；

对于B，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故B错误；

对于C，由函数的定义域为，且的定义域为，则是同一函数，故C正确；

对于D，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故D错误.

故选：C.

2．运算的结果是（    ）

A．2 B．－2 C．±2 D．不确定

【答案】A

【分析】化简原式为＝|－2|，即得解.

【详解】根据根式的性质得＝|－2|＝2，

故选：A.

【点睛】本题主要考查根式的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

3．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】利用函数是增函数，排除A，C，然后分别对B，D的图象分析，假设函数的图象是正确的，从而可得的范围，进而可得指数函数的图象

【详解】解：对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；

对于B，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是正确的，所以B正确；

对于D，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是增函数，所以D错误，

故选：B

4．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指对幂函数性质利用中间量即可比较大小.

【详解】∵，，，

∴，

故选：D

5．已知实数集为，集合，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简得，即得解.

【详解】由题得，

所以.

故选：B

6．已知函数，则函数的解析式为（    ）

A． B．（）

C．（） D．（）

【答案】B

【分析】根据换元法即可求出．

【详解】令，则，，

将代入，得（），所以（）.

故选：B．

7．若是区间上的增函数，那么实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对称轴和区间的位置关系列不等式求解.

【详解】解：若是区间上的增函数

则有，解得

故选：B.

8．下列函数是奇函数且在上是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可；

【详解】解：对于A：定义域为，故A错误；

对于B：，所以，故为偶函数，故B错误；

对于C：为奇函数，且在上单调递减，故C正确；

对于D：为偶函数，故D错误；

故选：C

9．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可得出，推导出，即可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，，，则，可得，

所以，，

，所以，，

故，故A正确，

而、的值未知，无法判断其它选项的正误.

故选：A.

10．设函数的定义域，函数的定义域为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出两个函数的定义域后可求两者的交集.

【详解】由得，由得，

故，

故选：B.

【点睛】本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次根号（，为偶数）中，；

（3）零的零次方没有意义；

（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.

11．函数在区间（0,1）内的零点个数是

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】B

【详解】试题分析：,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．

【解析】导函数，函数的零点．

12．“”是“函数为奇函数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】 时， ，当 时， ，函数为奇函数；当 时，，函数不是奇函数时， 不一定奇函数，当是奇函数时，由可得，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件  ，故选B.

二、填空题

13．函数，则__________．

【答案】1

【分析】根据分段函数的解析式，结合所求函数值对应自变量所在的定义域范围选取解析式求值即可.

【详解】∵，

∴，即，

∵，

∴，即．

故答案为：1．

14．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为________．

【答案】(－∞，－3)

【分析】根据函数的单调性求解抽象不等式即可.

【详解】解析：∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，

∴2x－3>5x＋6，即x<－3．

故答案为：.

15．已知函数，且，则此函数的单调递减区间为_______

【答案】##

【分析】利用复合函数的单调性：同增异减即可求解.

【详解】解析：，，

，同增异减，

令，在区间上单调递减，

所以此函数的单调递减区间为.

故答案为：

16．已知函数f(x)的定义域是[-1，1]，则函数f(log2x)的定义域为____．

【答案】

【分析】根据给定条件列出使函数f(log2x)有意义的不等式组，再求出其解集即可.

【详解】因函数f(x)的定义域是[-1，1]，则在f(log2x)中，必有，

解不等式可得：，即，

所以函数f(log2x)的定义域为.

故答案为：

三、解答题

17．化简：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）直接利用根式的运算性质求解即可

（2）直接利用分数指幂的运算性质求解即可

【详解】（1）原式；

（2）原式.

18．（1）化简：；

（2）已知，，用，表示.

【答案】（1）2；（2）

【分析】（1）根据对数的运算性质即可求出结果；

（2）首先根据指数与对数的关系可得，然后再对化简，可得，将，分别用代入，即可求出结果.

【详解】（1）原式

（2），，

【点睛】本题主要考查了对数的运算的基本性质，属于基础题.

19．函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．

（1）求g(t)的解析式；

（2）求g(t)的最大值．

【答案】（1）g(t)＝；（2）3.

【分析】（1）就、、分类讨论后可得的解析式；

（2）根据（1）中解析式可求的最大值.

【详解】（1）f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.

当，即时，f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，

∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；

当，即时，g(t)＝f(2)＝3；

当时，f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，

∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1.

综上所述，g(t)＝

（2）当时，；

当时，；

当时，.

∴g(t)的最大值为3.

20．已知函数.

(1)判断的奇偶性，并用定义法证明；

(2)用定义法证明在上单调递增.

【答案】(1)奇函数，证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）先求得函数的定义域，然后计算，最后判断关系即可.

（2）按照单调性的定义进行证明，先取值，然后计算，判断符号，最后判断即可.

【详解】（1）函数是奇函数

证明：显然的定义域为：

，都有，且

∴，函数是奇函数

（2），且

则

∵，∴ ；又，

∴

所以函数在上单调递

21．已知函数.

（1）若，求的定义域

（2）若为奇函数，求a值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据定义域的求法，求得的定义域.

（2）根据奇函数的定义域关于原点对称求得，判断为奇函数，从而确定的值.

【详解】（1）依题意，

，

所以的定义域为.

（2）依题意，

，

解得或，

由于为奇函数，所以，解得，

此时，

，

所以.

22．已知函数.

（1）判断函数在R上的单调性，并用定义证明你的结论；

（2）若对于任意的，恒成立，求实数m的最大值.

【答案】（1）在R上是增函数，证明见解析（2）4

【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可；

（2）利用函数的单调性和奇偶性把对于任意的，恒成立转为对任意的，，即恒成立，即可得到本题答案.

【详解】（1）在R上是增函数，证明如下.

取任意的，且

则，又，，则，，则，故在R上是增函数；

（2）注意到，则为奇函数，则，

由（1）可知，在R上是增函数，则，

则原问题等价于对于任意的，恒成立，求实数m的最大值，

即，恒成立，易知当时，，故m的最大值为4.

【点睛】本题主要考查利用定义法证明函数的单调性以及利用函数的单调性、奇偶性解不等式.