2021-2022学年河南省许平汝漯高一下学期6月联考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省许平汝漯高一下学期6月联考数学试题

一、单选题

1．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算解得再判断即可

【详解】由题意可得，则z在复平面内对应的点位于第四象限．

故选：D

2．已知角α的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数值求得再根据正弦值的定义求解即可

【详解】由题意可知，则．

故选：A

3．已知向量，，若，则（    ）

A．8 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

【详解】解：因为，且，所以，解得．

故选：B

4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】C

【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可.

【详解】设函数的图象平移个单位得到函数的图象，

则，

所以，解得，

所以向右平移个单位长度.

故选：C.

5．已知轮船在灯塔的北偏东45°方向上，轮船在灯塔的南偏西15°方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是（    ）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米

【答案】D

【分析】根据题意作出示意图，分析角度后，再利用余弦定理解题即可.

【详解】如图，由题意可知千米，千米，，由余弦定理可得，则千米．

故选：D.

6．已知，都是锐角，且， ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两角差的正弦公式求，由此可求.

【详解】因为，都是锐角，

所以，，

又，，

所以，，

所以，

，

所以

所以，

所以，

所以，

故选：B.

7．如图，在中，，分别在边，上，且，，是，的交点，若，则（    ）

A．2 B．3 C．6 D．7

【答案】A

【分析】根据题意得，设，由，再分析求解即可.

【详解】由题意可得．

因为，，三点共线，所以．

因为，所以，

则，解得．

故选：A.

8．已知函数，对任意的实数a，在（a，）上的值域是[，1]，则整数的最小值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】先化简函数的解析为，再结合定义域与值域建立不等式即可求解.

【详解】由题意可得，

则的最小正周期，因为对任意的实数a，在上的值域是[，1]，所以，解得>，因为，所以整数的最小值是2.

故选：B

二、多选题

9．已知复数，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则是实数

B．若是实数，则

C．若，则是纯虚数

D．若是纯虚数，则

【答案】AB

【分析】根据复数的相关知识对选项逐一判断即可.

【详解】对于A选项，，

若，则是实数，故A正确；

对于B选项，，若是实数，则，故B正确；

对于C选项，若，则不一定是纯虚数，故C错误；

对于D选项，，若是纯虚数，则且，故D错误.

故选：AB

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】AB

【分析】由，所以有两解可判断A；由余弦定理求得有两解即可判断B；由正弦定理求得，再有大边对大角可判断三角形的个数可判断C；由余弦定理求出只有一解，可判断D.

【详解】对于A，因为，所以有两解；

对于B，由余弦定理可得，即，即，解得或，所以有两解；

对于C，因为，且，所以角A只有一解；

对于D，，所以只有一解．

故选：AB.

11．已知函数，则下列命题正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C．在上单调递减 D．对任意的m，在上不单调

【答案】AD

【分析】根据三角恒等变换公式化简可得，再根据正弦函数的性质分别求解对称轴、对称点、单调区间再逐个判断即可

【详解】．

对A，令，，解得，，所以的图象关于直线对称，则A正确；

对B，令，，解得，，当时，，则B错误；

对C，令，，解得，所以的单调递减区间是，则C错误；

对D，因为的最小正周期，所以，所以对任意的m，在上不单调，则D正确．

故选：AD

12．对任意两个非零向量，定义新运算：.已知非零向量满足且向量的夹角，若和都是整数，则的值可能是（    ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】BC

【分析】由题意可得 、 ，利用的范围，可得从而定点答案.

【详解】由题意可得，因为所以，

因为，所以，所以，

即，解得，因为，所以，

所以 ，则，故，

因为，所以，因为0 ，

所以，所以，所以，则

即.

故选：BC.

三、填空题

13．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则__________．

【答案】##

【分析】利用大边对大角结合正弦定理可求得角的值.

【详解】解：因为，，，，

所以，为锐角，由正弦定理可得，

所以.

故答案为：.

14．已知是奇函数，则__________．（写出一个值即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：因为是奇函数，所以，，解得，．

故答案为：（答案不唯一）

15．“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则______．

【答案】##0.32

【分析】直接由向量的线性运算及图形关系求出的值，即可求解.

【详解】由题意可得．因为EFGH是平行四边形，

所以，所以，所以．因为，

所以，，则．

故答案为：.

16．已知z是虚数是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是__________．

【答案】##

【分析】化简，根据是实数可得，再代入结合二次函数的最值求解即可

【详解】设（a，，且），则．因为是实数，所以，即．因为，所以，所以，则．因为，所以，所以，所以，因为，所以，解得，则．

故答案为：

四、解答题

17．已知复数．

(1)若，求复数；

(2)若z是关于x的方程的一个虚根，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将化为，可得，根据复数的除法运算求得答案;

（2）将代入中，根据复数相等可得关于m,n的方程组，求得答案.

【详解】（1）因为，所以，所以,

因为，所以．

（2）由题意可得，即，

则 ，解得 ，

故．

18．已知向量，，且．

(1)求向量，的夹角

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，得到，根据，求得，利用夹角公式，即可求解；

（2）根据，即可求解.

【详解】（1）解：由，可得，

因为，可得，解得，

则，

又因为，所以.

（2）解：由且，

则.

19．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．已知角α是第一象限角，且          ．

(1)求的值；

(2)求的值．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，由二倍角的正切公式展开，即可求得答案;

选②，根据同角的三角函数关系可求得，结合角的象限，即可求得答案；

（2）利用三角函数诱导公式化简，再将分母看作，利用弦化切，即可求得答案.

【详解】（1）选①:

因为，所以，所以，

即，解得或．

因为角α是第一象限角，所以．

选②

因为，所以，即．

因为角α是第一象限角，所以，

则．

（2）

,

因为，所以，

即．

20．如图，从A地到C地有两条路线，第一条经过B地，第二条经过D地，且B地与D地相距10千米．小华和小明从A地同时出发，前往C地游玩．小华选择第一条路线前往C地，小明选择第二条路线前往C地．已知，．

(1)若小华以速度v（单位：千米/小时）匀速前往，且50分钟之内（包含50分钟）到达C地，求v的最小值；

(2)若小华以20千米/小时的速度匀速前往C地，小明以60千米/小时的速度匀速前往C地，由于堵车，小明在路上停留了15分钟，试问小华和小明谁先到达C地？

【答案】(1)千米/小时

(2)小明先到达C地

【分析】（1）先由正弦定理求得千米，由题意列不等式，即可解得v的最小值；（2）分别求出千米和千米，求出小明所用的时间和小华所用的时间，即可判断.

【详解】（1）因为，所以千米，．

在中，由正弦定理可得，则千米．

由题意可得，则，即v的最小值为千米/小时．

（2）在中，由余弦定理可得

，则千米，

因为，，所以．

在中，由正弦定理得，则千米，

故小明所用的时间分钟．

小华所用的时间分钟．

因为，

且，所以，

即小明先到达C地．

21．已知函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式

(2)若，关于的方程有个不同的实根，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，进而得函数关于对称，再待定系数求解即可；

（2）由题知函数在有三个最值点，进而得函数在有三个最值点，再结合余弦函数的图像性质求解即可.

【详解】（1）解：由题知，

所以，函数关于对称，

所以，根据函数图像可知：，，

所以，，，

所以，

因为，所以，

所以，解得.

所以.

（2）解：当时，，

因为时，关于的方程有个不同的实根，

所以函数在有三个最值点，

所以函数在有三个最值点，

所以，解得，

所以，实数的最大值为

22．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．

(1)证明：．

(2)求函数的值域．

【答案】(1)证明见解析

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）利用正弦定理及正弦差角公式得到，结合求出，证明出结论；（2）利用辅助角公式和同角三角函数关系，换元后得到，结合，对进行分类讨论，求解出不同取值范围下的函数值域.

【详解】（1）证明：

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，即．

因为△ABC是锐角三角形，

所以，

所以，

所以，

则，即．

（2）因为△ABC是锐角三角形，所以，

解得，则，

从而，故．

设，则，．

设函数，则其图象的对称轴方程为．

①当，即时，在上单调递增，

因为，，所以的值域是；

②当，则时，在上单调递减，在上单调递增，

因为，，所以的值域是；

③当，即时，在上单词递减，在上单调递增，

因为，，所以的值域是；

④当，即时，在上单词递减，

因为，，所以的值域是．

综上，当时，的值域是；当时，的值域是；当时，的值域是；当时，的值域是．