2021-2022学年内蒙古巴彦淖尔市临河区第三中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年内蒙古巴彦淖尔市临河区第三中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误，利用集合的基本运算可判断BCD选项的正误.

【详解】已知全集，，.

对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，，B选项正确；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，D选项错误.

故选：B.

2．的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由诱导公式可得， ，故选D.

3．下列说法正确的是（    ）

A．第二象限角比第一象限角大

B．角与角是终边相同角

C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

D．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为

【答案】D

【分析】举反例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角的范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确．

【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A错误；

对于B，，与终边不同，故B错误；

对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C错误；

对于D，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转，

钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D正确．

故选:D．

4．下列四个命题中，正确命题的个数为（    ）

①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则.

A．3 B．2

C．1 D．0

【答案】C

【解析】由不等式的性质可判断①④，取特殊值可判断②③.

【详解】对于①，由不等式的性质可得易知若，则，故①正确；

对于②，如，而，故②错误；

对于③，如，而，故③错误；

对于④，若a>b>0，则，当c>0时，，故④错误.

所以正确的命题只有1个.

故选：C.

5．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，，为奇函数，不符合题意；

对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；

对于C，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；

对于D，为奇函数，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题.

6．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先解一元二次不等式，然后根据充分不必要条件即可判断.

【详解】由，则，

可知“”是“”的充分不必要条件，

故选A

【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题.

7．设函数，则下列结论错误的是（　　）

A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称

C．的图象关于对称 D．在单调递增

【答案】D

【分析】​根据正弦函数的性质判断各选项即可．

【详解】函数，根据正弦函数的性质有，所以的一个周期为-2π，∴A正确．

当时，可得函数f（x）=sin=1，∴f（x）的图象关于直线对称，∴B正确．

当时，可得函数f（x）=sin0=0，∴f（x）的图象关于对称，∴C正确．

函数的图象是由y=sinx向左平移可得，∴f（x）在单调递增不对．

故选D．

【点睛】本题考查正弦函数的对称性，对称中心的求法，属于基础题．

8．函数在上的最大值为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】确定函数的单调性，利用函数在，上的最大值为1，即可求出的值．

【详解】由题意，时，函数在，上单调递减，

，，

故选：C．

9．函数是（       ）

A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数

【答案】A

【分析】运用公式，直接求出周期，判断之间的关系，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．

【详解】，，所以函数最小正周期为，是偶函数，因此本题选A．

【点睛】本题考查了余弦型函数的最小正周期以及奇偶性，利用函数奇偶性的定义进行判断是解题的关键．

10．设是定义在上的奇函数，当时，，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：因为当时，，所以. 又因为是定义在R上的奇函数，所以. 故应选A.

【解析】函数奇偶性的性质.

11．已知奇函数在区间上单调递增，则在区间上（    ）

A．单调递增，且最大值为 B．单调递增，且最大值为

C．单调递减，且最大值为 D．单调递减，且最大值为

【答案】A

【解析】利用函数单调性的定义结合奇函数的基本性质可判断函数在区间上的单调性，进而可得出函数在区间上的最值.

【详解】任取、且，即，所以，，

因为函数在区间上单调递增，则，

因为函数为奇函数，则，，

因此，函数在区间上为增函数，最大值为，最小值为.

故选：A.

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：

（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；

（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；

（3）定号：确定差的符号；

（4）下结论：判断，根据定义得出结论.

即取值作差变形定号下结论.

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简，再求解.

【详解】因为，

所以

.

故选：C.

二、填空题

13．求函数的定义域为____

【答案】且

【分析】根据函数解析式建立不等式求解即可.

【详解】,

函数要有意义则需，

解得且，

所以函数的定义域为且

故答案为：且

【点睛】本题主要考查了函数的定义域，考查了运算能力，属于中档题.

14．已知函数为一次函数，且，若，则函数的解析式

为_____．

【答案】

【分析】利用待定系数法求解函数的解析式即可.

【详解】设函数的解析式为，

则，且，

据此可得：，解得：，

故函数的解析式为.

【点睛】求函数解析式常用方法：

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

15．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长_________.

【答案】

【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可．

【详解】∵扇形的圆心角α，半径为r＝5，

∴扇形的弧长l＝rα5．

故答案为．

【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式的计算，熟记弧长公式是解决本题的关键，属于基础题．

16．已知函数则________．

【答案】

【分析】根据分段函数及诱导公式即得.

【详解】由题意可得，则.

故答案为：.

三、解答题

17．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值.

【答案】见解析

【分析】联立，解方程组求得的值.

【详解】联立，

　∵sin α＋3cos α＝0，

∴sin α＝－3cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，

∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，

∴cosα＝±.

当cos α＝－时，sin α＝；

当cos α＝，时，sin α＝－.

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.

18．已知二次函数，满足，．

(1)求函数的解析式；

(2)当时，求函数的值域．

【答案】(1)；

(2) .

【分析】（1）根据，列方程组来求得.

（2）结合二次函数的性质求得函数在区间上的值域.

【详解】（1）∵

解得，

∴；

（2）∵，，

图象开口向上，对称轴为：，

∴时，的最小值为5，时，的最大值为14．

故函数的值域为.

19．已知，

（1）求：的值

（2）求：的值

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）本题为切与弦的互化．由条件，可化切为弦，结合问题代入消元化简得值．

（2）第（2）问为第（1）问的变式可运用平方关系加分母化为第（1）问解决．

试题解析：（1）

原式=

（2）原式=

【解析】切与弦的互化及灵活的变形和转化能力．

20．已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】(1)先判断函数定义域关于原点对称，然后利用奇偶性定义即可判断；（2）

任取，且，利用函数单调性的定义作差分析即可得到证明.

【详解】（1）函数的定义域为.

对于定义域内的每一个，都有，

.

函数为偶函数

（2）设任意，且，则

.

由，得，，

于是，即.

函数在上是减函数.

【点睛】本题考查函数奇偶性和函数单调性定义的应用，属于基础题.

21．求函数的对称轴，对称中心及单调区间.

【答案】对称轴；对称中心；

增区间为；

减区间为.

【解析】利用整体代换法，根据余弦函数的对称性，单调性依次求解即可.

【详解】解：函数，

令

,

对称轴，

令

，

对称中心，

令，

，

增区间为

令，

，

减区间为，

【点睛】本题考查余弦性函数的性质，利用整体代换法求正弦型，余弦型，正切型三角函数的中心、对称轴、单调区间，利用整体代换法求解是常用的方法，在利用整体代换法求函数的单调区间时要注意的系数的正负对函数单调增减性的不同影响.

22．已知函数．

(1)写出的最小正周期；

(2)求的最小值，并求取得最小值时自变量的集合．

【答案】(1)

(2)最小值为，自变量的集合为

【分析】（1）利用求周期的公式求解；

（2）利用正弦型函数的性质可求最值及自变量的集合.

【详解】（1）∵函数，

∴的最小正周期为．

（2）对于函数，

当，时，即当时，时，取得最小值为．

所以函数取得最小值时自变量的集合为．