2021-2022学年山东省临沂第二十四中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省临沂第二十四中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合 ， ，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用并集运算法则进行计算.

【详解】

故选：D

2．函数 的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数定义域满足，求解即可

【详解】由题， 函数定义域满足，解得.

故选：C

3．已知命题：，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】根据命题的否定的定义写出命题的否定，然后判断．

【详解】命题：，的否定是：，．

故选：D．

4．方程的根所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.

【详解】令，显然单调递增，

又因为，，

由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，

所以的根所在区间为.

故选：B

5．年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由指对互化原则可知，结合换底公式和对数运算性质计算即可.

【详解】由得：.

故选：A.

6．函数 的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负即可判断.

【详解】因为，所以，为奇函数，所以C错误；

当时，，所以A，D错误，B正确.

故选：B.

7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，p＝10，S，利用基本不等式，即可得出结论．

【详解】由题意，p＝10，

S8，

∴此三角形面积的最大值为8．

故选C．

【点睛】本题考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．

8．已知函数 ，且函数 的图像与 的图像关于 对称，函数 的图像与 的图像关于 轴对称，设 ， ， ．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数图像的对称关系可以得到，的解析式，代入后跟特殊值0比较可得最小，然后构造函数，利用特殊值和函数的单调性比较，的大小即可.

【详解】因为的图像与的图像关于对称，所以，又因为的图像与关于轴对称，所以，，，，所以最小；

，，

构造，则，

当时，，所以在上单调递减，

因为，所以，令，得，所以，

，

又因为，，所以，综上所述.

故选：D.

【点睛】比较对数、指数、幂的大小的方法：

①利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小；

②借助特殊值“0”、“1”或其它的数值比较大小；

③根据两数之间的关系，构造函数来比较大小.

二、多选题

9．若 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用特殊值法可以排除A，利用不等式的基本性质可判断B正确，再利用函数的单调性可判断CD正确.

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故B正确；

对于C，因为在上单调递增，又，故，故C正确；

对于D，因为在上单调递减，又，故，故D正确.

故选：BCD

10．下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．若，，则

【答案】BC

【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.

【详解】对于A中，当时，，所以A不正确；

对于B中，由，

当且仅当时，即时，等号成立，即，所以B正确；

对于C中，，当且仅当时，等号成立，所以C正确；

对于D中，，，可得，，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，即，所以D不正确.

故选：BC.

11．若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由分段函数单调性可直接构造不等式组求得结果.

【详解】在上单调递增，，解得：，

的取值可以为选项中的或.

故选：AD.

12．已知为偶函数，且为奇函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】A选项，根据题干条件得到，，利用赋值法得到，，，判断出AB选项，再推导出函数的周期为4，故C正确；代入特殊值，判断D错误.

【详解】A选项，因为为偶函数，所以，

因为为奇函数，所以，

令得：，解得：，所以

令得：，即，所以，故A正确；

B选项，令得：，即，

因为，则，所以，所以，故B正确；

C选项，因为，所以，

因为，所以，

即，所以，

，所以，

即，所以，

所以的周期为4，，故C正确；

D选项，因为，

所以令得：，解得：，

令中得：，故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．______ ．

【答案】

【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.

【详解】.

故答案为：.

14．若“ ， ”的否定是真命题，则实数的取值范围是______ ．

【答案】

【分析】写出命题的否命题，根据二次不等式有解问题，利用根的判别式列出不等式，求出实数的取值范围.

【详解】由题意得：，为真命题，

，解得：

故答案为：

15．已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为____________

【答案】

【分析】由恒成立可得定点坐标.

【详解】当时，，.

故答案为：.

16．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是______ ．

【答案】

【分析】根据“隔离直线”定义可将问题转化为和在上恒成立；利用一元二次不等式在区间内恒成立的求法可构造不等式组求得结果.

【详解】由“隔离直线”定义知：和在上恒成立，

即和在上恒成立，

若在上恒成立，则，解得：；

若在上恒成立，，

则或，即或，解得：或；

综上所述：实数的取值范围为.

四、解答题

17．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据并集得定义求解即可；

（2）选①，由，得，列出不等式组，从而可得出答案.

选②，由“”是“”的充分不必要条件，得集合为集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.

选③，根据列出不等式，解之即可得解.

【详解】(1)解：当时，，，

所以；

(2)解：若选择①，，则，

因为，所以，又，

所以，解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择②，“”是“”的充分不必要条件，

则集合为集合的真子集，

因为，所以，

又，

所以，且，

解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择③，，

又因为，，

所以或，解得：或，

所以实数的取值范围是．

18．设函数．

(1)若不等式的解集为，求实数的值；

(2)若，且，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；

（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.

【详解】(1)由题意可知：方程的两根是，1

所以解得

(2)由得

，成立，即使恒成立，

又因为，代入上式可得恒成立．

当时，显然上式不恒成立；

当时，要使恒成立

所以，解得

综上可知的取值范围是．

19．已知函数 ．

(1)若 ，求函数 的零点；

(2)探索是否存在实数 ，使得函数 为奇函数？若存在，求出实数 的值并证明；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)函数 的零点为1

(2)存在；；证明见解析

【分析】⑴根据零点的定义求零点即可；

⑵根据奇函数定义域包含零，那么的性质求，再结合奇函数的定义去证明即可.

【详解】(1)当 时， ,

令 得，所以，解得 ，

所以函数 的零点为1.

(2)假设存在实数，使得函数为奇函数，

因为的定义域为，关于原点对称，

则，所以 ，此时 ，

又因为 ，所以此时为奇函数，满足题意．

故存在实数，使得函数为奇函数．

20．已知函数，，且．

(1)证明：在定义域上是增函数；

(2)若，求的取值集合．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由条件等式，结合对数运算法则可解出m，即有解析式，用定义法证的单调性，最后结合复合函数的单调性即可证明；

（2）结合对数运算法则得，即可化简不等式，最后结合单调性即可求得解集.

【详解】(1)，，

，又，，．

由，解得，的定义域为．

令，任取，且，则

．

又，，，，即，

又在上是增函数，由复合函数的单调性知：在上是增函数．

(2)，

原不等式可化为，即．

由（1）知，是增函数，．

又的定义域为，的取值集合为

21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）．

（1）求的值；

（2）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【答案】（1）；（2）；（3）投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.

【解析】（1）根据题意时，可得解；

（2）由（1）求出，进一步求出销售价格，由利润销售额固定成本再投入成本促销费，即可求解.

（2）由（1），利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由题意知，当时，（万件），

则，解得，

（2）由（1）可得.

所以每件产品的销售价格为（元），

2020年的利润.

（3）当时，，

，当且仅当时等号成立.

，

当且仅当，即万元时，（万元）.

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.

22．已知函数 （ 且 ）．

(1)当 时，解不等式 ；

(2)，，求实数的取值范围；

(3)在（2）的条件下，是否存在 ，使 在区间 上的值域是 ？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，试说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)不存在；理由见解析

【分析】（1）先求定义域，然后根据单调性解不等式可得；

（2）将问题转化为最值问题，然后分和，利用单调性求解即可；

（3）利用单调性得到和满足的方程，然后构造函数，由判别式列式求解可得.

【详解】(1) 时， ，

由 ，解得 ，即函数定义域为 ，

因为 ，即 ，

所以 6，

即 ，解得或 ，

又，所以不等式 的解集为 ．

(2) ， ，即 成立，

又

函数 在 上为增函数，

①若 ，则 ，所以 ，

即 ，

则 ，解得 或 ．又 ，所以 ．

②若 ，则 ，所以 ，

即 ，

则 ，解得 ，又 ，所以 ．

综上 的取值范围为

(3)假设存在，满足题意，由（2）知 ，

所以在 上是减函数，则 ，

所以 ，

即，是方程 的大于的两个不等实根，

设 ，其对称轴为 ，由题意得 ，解得或

又 ，所以．

综上，不存在满足题意的实数，．