2021-2022学年新疆生产建设兵团第二中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年新疆生产建设兵团第二中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则集合＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的求解方法求得集合M、N，再由集合的交集运算可得选项．

【详解】解：由得，解得或，所以集合，

由得，解得，所以集合，

所以，

故选：B．

2．下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.

【详解】对于A：为奇函数且在上单调递增，满足题意；

对于B：为非奇非偶函数，不合题意；

对于C：为非奇非偶函数，不合题意；

对于D：在整个定义域内不具有单调性，不合题意.

故选：A.

3．已知 则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以

故选：B

4．已知，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据角的范围算出，，再根据展开计算即可．

【详解】∵，，∴，

又，，

∴，，

则．

故选：C.

5．“”是“为锐角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为为锐角，所以，所以，所以“”是“为锐角”的必要条件；

反之，当时，，但是不是锐角，所以“”是“为锐角”的非充分条件.

故“”是“为锐角”必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题.

6．已知角是锐角，若与的终边相同，则的所有取值之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合终边相同的角的关系，即可求解.

【详解】由题意，知，，可得，，又由是锐角，可得或或，则的所有取值之和为.

故选：D.

7．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边上有一点，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数定义列式，计算，再由所给条件判断得解.

【详解】由题意知，故，又，

∴.

故选：B

8．若，则（    ）

A．-3 B． C． D．3

【答案】B

【解析】先利用二倍角公式化简，即可得到，进而求得.

【详解】解：，

利用二倍角公式展开得：，

即，

即，

即，

即，

.

故选：B.

二、多选题

9．以下说法正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据诱导公式判断ABC，根据两角和的正切公式判断D.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D正确；

故选：ACD

10．下列结论正确的是（    ）

A．是第三象限角

B．角的终边在直线上，则=

C．若角的终边过点，则

D．若角为锐角，则角为钝角

【答案】BC

【分析】利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用终边相同角的表示可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错；

对于B选项，根据终边相同角的表示可知角的终边在直线上，

则=，B对；

对于C选项，由三角函数的定义可得，C对；

对于D选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错.

故选：BC.

11．对于函数，x∈R，则（    ）

A．f(x)的最大值为1 B．直线为其对称轴

C．f(x)在上单调递增 D．点为其对称中心

【答案】BD

【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，再逐一分析各选项中的条件判断作答.

【详解】依题意，，的最大值为，A错误；

当时，，则直线为图象的对称轴，B正确；

当，即时，由得，即在上单调递增，

由得，即在上单调递减，C错误；

因，则点为其对称中心，D正确．

故选：BD

12．下列各式中值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用二倍角余弦公式以及诱导公式可判断A选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断B选项；利用二倍角正弦公式以及辅助角公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，；

对于B选项，

；

对于C选项，，

；

对于D选项，因为，

所以，.

故选：BC.

三、填空题

13．已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.

【答案】

【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.

【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得，

故答案为:

14．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】解余弦不等式，即可得出其定义域.

【详解】由对数函数的定义知即，

∴，

∴函数的定义域为。

故答案为：

15．函数的最大值是________．

【答案】

【分析】利用二倍角的余弦公式变形，然后换元，再利用二次函数知识可求得结果.

【详解】．

设，

则．

所以函数的最大值是.

故答案为：

16．已知sin α＋cos α＝，α∈(－π，0)，则tan α＝________.

【答案】.

【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得和的值，可得的值.

【详解】因为sin α＋cos α＝，①  所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，

即2sin αcos α＝.  因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，

所以sin α－cos α＝，

与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝－，cos α＝，

所以tan α＝.

故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程中，注意这三个式子是知一求二，属于简单题目.

四、解答题

17．已知，且.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的值；

（2）利用诱导公式以及弦化切可求得结果.

【详解】（1）解：因为，且，则为第三象限角，故，

因此，.

（2）解：原式.

18．已知函数（且）.

(1)求的定义域；

(2)判断的奇偶性，并说明理由；

(3)求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)是奇函数，证明见解析

(3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为

【分析】（1）由函数有意义所需条件，求的定义域；

（2）由函数奇偶性的定义，判断并证明的奇偶性；

（3）分类讨论，根据函数单调性求解不等式.

【详解】（1）要使函数有意义，则，解得 ，即函数的定义域为 .

（2）是奇函数，理由如下：

由(1)知函数的定义域关于原点对称，

，

即函数是奇函数。

（3）若，则，即，

若，则 ， 解得；

若，则 ，解得

即当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为

19．已知函数

(1)求 在上的增区间

(2)求在闭区间上的最大值和最小值

【答案】(1)，

(2)最大值为，的最小值为

【分析】（1）由正弦型函数的性质，应用整体代入法有时单调递增求增区间；

（2）由已知区间确定的区间，进而求的最大值和最小值．

【详解】（1）令，得，

∴单调递增区间为，

由，可令得.令得，

所以在上的增区间为，

（2），

.

即在区间上的最大值为，最小值为.

20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励．记奖金为 (单位：万元)，销售利润为(单位：万元)．

(1)写出奖金关于销售利润的关系式；

(2)如果业务员老江获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奖励方案，可得分段函数解析式；

（2）确定，利用函数解析式，解方程即可得答案.

【详解】（1）解：由题意知；

（2）解：由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，即log5(x－9)＝2，

所以＝52，即x＝34，

所以老江的销售利润是34万元．

21．已知函数.

(1)求函数的最大值及此时的取值集合；

(2)当A，，为的三个内角，已知，，且为锐角，求的值.

【答案】(1)最大值为，此时

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，求出其最大值及此时的取值集合；

（2）利用，得到，由求出，利用正弦和角公式求出答案.

【详解】（1）

，

取得最大值，最大值为，此时，，即；

（2），

解得：，，即，，

因为为锐角，所以只有，即满足要求，

因为，故为锐角，所以，

故.

22．已知函数.

(1)已知函数，若函数的最小正周期为，求的值域和单调递增区间；

(2)若方程在上有根，求的取值范围.

【答案】(1)的值域为，单调递增区间为；

(2)

【分析】（1）先根据周期求出，再根据正弦函数的性质求出值域和单调递增区间；

（2）利用换元法，转化为，在上有根，即可求出的范围；

【详解】（1）函数 ，

∵的最小正周期为，有 ，∴，

∴ ，

∴的值域为，

  ，

  ，

函数的单调递增区间为 ；

（2）， ∴ ，则有 ，所以的值域为，

令，则，

∴方程在上有根等价于，在上有根，

∵，∴，

解得，

故的取值范围为．