2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一上学期期末模拟(四)数学试题（解析版）

安师大附中2022-2023学年高一上学期期末模拟（四）数学试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 定义差集且，已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据差集的定义直接求解即可.

【详解】因为，，

所以，

所以．

故选：B

2. 已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ）

A.  B. 或 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由幂函数定义以及性质即可求出.

【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则.

故选：A

3. 圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据两点相遇一次转过弧度之和为即可求解.

【详解】由题意，动点第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：，

设从点出发秒后点第三次相遇，则，解得秒，

此时点转过的弧度数为弧度

故选：C

4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（    ）倍.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.

【详解】令日本东北部海域发生里氏级地震释放出来的能量为，芦山县发生7.0级地震释放出来的能量为，

则有，即，

所以所求结果为倍.

故选：A

5. 设是定义在上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用偶函数的对称性和单调性列不等式组求解即可.

【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时单调递增，

则由可得，

由即解得，

所以由不等式组可解得，

故选：D

6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦函数、指对数函数的性质判断大小关系.

【详解】由，

所以.

故选：A

7. 已知函数若关于x的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A. ) B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据题意求得，在结合图像，分析的范围，即可求解.

【详解】根据表达式，作图如下：因为为的根，且均大于，则，则，.因为有三个根，根据图像可得，则此时.则，所以的范围为.

故选：D

8. 已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（    ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意，，，2，3，，，都有，要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值．

【详解】解：对任意，，，2，3，，，

都有，

要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，

考虑，，

按下图取值即可满足条件，

的最小值为8．

故选：．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. “方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】求出“方程没有实数根”时，实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】若方程没有实数根，则，解得，

因为，，，

，

所以，“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是、，

故选：BC.

10. 如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：其中正确信息的序号是（    ）

A. 骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到

B. 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C. 骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者

D. 骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样

【答案】AB

【解析】

【分析】根据路程与时间的关系图象分析，骑自行车者、骑摩托车者的运动方式，位置关系，速度大小，即可确定答案.

【详解】由时间轴知：骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到，A正确；

骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，B正确；

摩托车速度为，骑摩托车者出发后距离骑自行车者，自行车后两小时速度为，故骑摩托车者还需要追上骑自行车者，故骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者，故C、D错误．

故选：AB

11. 已知函数为R上的单调函数，则实数的取值可以是（    ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】AC

【解析】

【分析】由已知在上单调，讨论，并确定的可能范围，结合一次函数性质，分段函数的单调性列不等式求的范围.

【详解】因为函数为R上单调函数，所以函数在上单调，

当时，在单调递增，

又在上单调递减，与已知矛盾；

当时，由函数在上单调，

可得，且函数在上单调递增，

所以函数为R上的单调递增函数，

所以，所以，

故选：AC.

12. 对于函数，下列四个结论正确的是（    ）

A. 是以为周期的函数

B. 当且仅当时，取得最小值-1

C. 图象的对称轴为直线

D. 当且仅当时，

【答案】CD

【解析】

【分析】

求得的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案．

【详解】解：函数最小正周期为，

画出在一个周期内的图象，

可得当，时，

，

当，时，

，

可得的对称轴方程为，，

当或，时，取得最小值；

当且仅当时，，

的最大值为，可得，

综上可得，正确的有．

故选：．

【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）

13. ，的否定形式为__________.

【答案】，

【解析】

【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.

【详解】改量词：改为，

否结论：否为，

所以，的否定形式为：，.

故答案为：，.

14. 已知，则________.

【答案】

【解析】

【分析】本题可根据诱导公式得出结果.

【详解】，

故答案为：

15. 已知，则函数的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.

【详解】因为，

当且仅当，即时，等号成立.

所以函数的最小值是

故答案为:.

16. 已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】分析函数的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.

【详解】函数恒过点 ，且其图象开口向上，的零点为1，

当的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：

函数的零点至多有两个，不符合题意，

故要使恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图示，

故

解得，

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 设全集为，集合，.

（1）求；

（2）已知，若，求实数a的取值构成的集合.

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用补集和交集的定义计算即可；

（2）根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可.

【小问1详解】

由题意得，或，则或.

【小问2详解】

因为，所以，解得，所以实数的取值集合为.

18.
 

（1）设a为正实数，已知，求的值；

（2）求值：.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用立方差公式与完全平方公式求解即可；

（2）利用对数的运算法则求解即可.

【小问1详解】

∵，∴，则，

∴原式

【小问2详解】

原式.

19. 在治疗新型冠状病毒引起的肺炎的过程中，需要某医药公司生产的某种药物，此药物的年固定成本为250万元，每生产x千件需投入成本.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件药品售价为0.05万元.在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？该公司决定将此药品所获利润的1%用来购买防疫物资捐赠给医疗机构，当这一药品的生产中所获年利润最大时，可购买多少万元的防疫物资？

【答案】（1）   

（2）（千件）时生产中所获利润最大，此时可购买10万元抗疫物资.

【解析】

【分析】（1）讨论、分别求得对应解析式，再写出的分段函数形式即可；

（2）应用二次函数、分式型函数的性质分别求在不同分段上的最大值，比较大小，即可知利润最大时所购买的防疫物资费用.

【小问1详解】

当时，；

当时，，

因此

【小问2详解】

当时，，故，

当时，，当，即时所获利润取到最大值.

因此当（千件）时生产中所获利润最大，此时可购买万元抗疫物资.

20. 已知函数是定义域为的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）判断并证明在上的单调性；

（3）已知当时，，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）在上单调递增，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）由定义域为的奇函数的性质:，即可解得；

（2）由（1）得函数，设，然后作差：，比较和的大小，结合函数单调性的定义得出结论；

（3）由分离参数得到，利用基本不等式即可得到取值范围.

【小问1详解】

因为函数是定义域为的奇函数，

则，解得，

经检验当时，函数为奇函数，满足题意，

故实数的值为.

【小问2详解】

由（1）知，，.

任取，且，则，

所以，则，

即时，，

所以函数上单调递增．

【小问3详解】

由题可知，时，，

即

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立，即；

所以实数的取值范围为.

21. 已知二次函数，．

（1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围．

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）分析可知在实数集上恒成立，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在的情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；

（2）将原不等式等价变形为，对实数取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法解原不等式，综合可得结果.

【小问1详解】

解：不等式在实数集上恒成立，

即为在实数集上恒成立.

①当时，即时，可变形为，解得，不成立；

②当时，即时，要使原不等式恒成立，

则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

【小问2详解】

解：不等式，等价于，

即.

①当时，解原不等式可得或；

②当时，不等式整理为，解得；

③当时，方程的两根为，，

（i）当时，因为，解原不等式得；

（ii）当时，因为，原不等式的解集为；

（iii）当时，因为，解原不等式得，

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

22. 对于函数，若函数是增函数，则称函数具有性质A．

若，求的解析式，并判断是否具有性质A；

判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；

若函数具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．

【答案】（1），具有性质A；（2）假命题；（3）详见解析.

【解析】

【分析】由，结合即可得出解析式，和单调性，进而可得出结果；

判断命题“减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；

若函数具有性质A，可知 在为增函数，进而可求出实数k的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k的取值范围，即可求出结果.

【详解】解：，，

在R上递增，可知具有性质A；

命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，

在R上递增，具有性质A；

若函数具有性质A，

可得

在递增，可得，解得；

由，可得，即，

可得，时显然成立；

时，，

由在递减，且值域为，

时，或1，有三解，3个零点；

当时，，即，可得，1个零点；

当时，，t有一解，x两解，即两个零点；

当，且时，无解，即x无解，无零点．

【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析即可，属于常考题型.