2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数的定义域为，求得，即可得出的定义域.

【详解】由题意，函数的定义域为，

可得，则，

所以函数的定义域为.

故选：A.

2．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可.

【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为；

因为是奇函数，是偶函数，所以，

对于A，，故是奇函数，即A错误；

对于B，，故是偶函数，即B错误；

对于C，，故是奇函数，即C正确；

对于D，，故是偶函数，即D错误；

故选：C.

3．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由指数函数的单调性知，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与1比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

【详解】函数是定义域上的递减函数，

当时，为减函数，故；

当时，为减函数，由，得，开口向下，对称轴为，即，解得；

当时，由分段函数单调性知，，解得；

综上三个条件都满足，实数a的取值范围是

故选：B.

【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，考查学生的分析能力与运算能力，属于中档题.

4．某种产品的有效期（单位：天）与储藏的温度（单位：℃）满足关系式（，、为常数），若该产品在0℃下的有效期为192天，在33℃下的有效期是24天，则该产品在22℃的有效期为（    ）

A．45天 B．46天 C．47天 D．48天

【答案】D

【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出，的值，运用指数幂的运算性质求解即可．

【详解】解：为自然对数的底数，，为常数）．

当时，，

当时，

当时，

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解，属于基础题．

5．已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可.

【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，

作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.

故选：B.

【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.

6．若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由幂函数的定义可得，由其图像过点，则，即，

由复合函数的单调性有：的单调递增区间等价于的减区间，

一定要注意对数的真数要大于0，再求单调区间即可.

【详解】解：因为，

则，即，

又其图像过点，

则，即，

则，

由复合函数的单调性有：的单调递增区间等价于的减区间，

又的减区间为，

故选A.

【点睛】本题考查了幂函数的定义及复合函数的单调性，重点考查了对数的真数要大于0，属中档题.

7．若函数的图像和函数的图像关于对称，则解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题可知，点关于对称的点，将点代入函数，即可得出解析式.

【详解】解：根据题意，设函数上的点，

则点关于对称的点在函数上，

∴关于的对称函数为：

，

∴和关于对称，

所以.

故选：B.

8．已知函数的图象关于直线对称，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以

，即，

因此，选C.

二、多选题

9．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可.

【详解】若命题:，成立，则，解得，

故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD符合要求，故AD正确.

故选：AD.

10．下列命题是真命题的是（    ）

A．若幂函数过点，则

B．，

C．，

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】BD

【解析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.

【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；

对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示

由图可知，，故正确；

对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示

由图可知，当时，，当时，，当时，，故错误；

对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故正确；

故选：

【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.

11．设函数，，则（    ）

A．的最小正周期可能为 B．为偶函数

C．当时，的最小值为 D．存a，b使在上单调递增

【答案】BCD

【解析】A．分析是否恒成立；B．分析函数定义域，根据的关系判断是否为偶函数；C．采用换元法，将写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D．分析时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.

【详解】A．因为，

所以，所以不一定成立，

所以不恒成立，所以的最小正周期不可能为，故错误；

B．因为的定义域为，关于原点对称；

又因为，

所以为偶函数，故正确；

C．因为，所以，所以

令，记，所以，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

综上可知：的最小值为，取最小值时，故正确；

D．取，所以，所以，

所以，所以，

又因为在上单调递减，且时，，且在时单调递减，

根据复合函数的单调性判断方法可知：在上单调递增，

所以存在使在上单调递增，故正确，

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：复合函数的单调性的判断方法：

（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性；

（2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数；

（3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.

12．对于函数，下列四个结论正确的是（    ）

A．是以为周期的函数

B．当且仅当时，取得最小值-1

C．图象的对称轴为直线

D．当且仅当时，

【答案】CD

【解析】求得的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案．

【详解】解：函数的最小正周期为，

画出在一个周期内的图象，

可得当，时，

，

当，时，

，

可得的对称轴方程为，，

当或，时，取得最小值；

当且仅当时，，

的最大值为，可得，

综上可得，正确的有．

故选：．

【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．

三、填空题

13．设，则满足的实数x的取值范围是__________.

【答案】

【解析】画出图像,结合图像判断题出函数的单调性,即可求解.

【详解】作出函数的图像

如图，满足

，解得.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：该不等式的求解利用的是函数的单调性，用数形结合法解决更为直观.

14．设，是方程的两个根，则的值为_________．

【答案】-3

【解析】由是方程的两个根，利用根与系数的关系分别求出及的值，然后代入公式求解.

【详解】∵是方程的两个根，

∴，，

则

故答案为：

15．函数的值域是____．

【答案】

【解析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.

【详解】设，则，

所以原函数可化为：，

由二次函数性质，当时，函数取最大值，由性质可知函数无最小值，

所以值域为：.

故答案为：.

16．__________．

【答案】4

【解析】先根据诱导公式化简度数，再根据二倍角公式和辅助角公式可化简得出.

【详解】

.

故答案为：4.

四、解答题

17．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－50}.

(1)若是的充分条件，求实数a的取值范围；

(2)若U＝R，A∩(∁UB)＝A，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）解方程确定集合，由充分条件得，把中元素代入不等式可得的范围；

（2）根据集合运算的概念得，即，，由此可得的范围．

【详解】（1）

是的充分条件， ，且 ，

，

；

（2）

，，且，

，

或.

【点睛】结论点睛：本题考查充分条件求参数范围，由集合运算的结果求参数范围，解题时需掌握充分必要条件、集合运算的结果与集合包含之间的关系．

命题对应集合，命题对应的集合，则

（1）是的充分条件；

（2）是的必要条件；

（3）是的充分必要条件；

（4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系．

集合运算的性质：，，．

18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据偶函数的性质进行转化求解即可．

（2）求出的表达式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．

【详解】解：（1）是偶函数，

若，则，

则当时，，

即当时，．

即．

（2）当时，，

对称轴为，

若，即时，在上为增函数，则的最小值为，

若，即时，在上为减函数，则的最小值为，

若，即时，的最小值为，

即．

【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合偶函数的性质以及一元二次函数函数单调性的性质是解决本题的关键．

19．已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.

【解析】（1）说明函数的定义域关于原点对称，计算得出，即可说明函数为奇函数；

（2）利用函数单调性的定义证明出函数为增函数，由可得出，可得出，可得出，由可求得实数的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，该函数的定义域关于原点对称，

，

所以，函数为奇函数；

（2），

任取、，且，

则，

，则，所以，即，

所以，函数为上的增函数，且该函数为奇函数，

由可得，

，即对任意的恒成立，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

20．已知函数．

（1）求的单调递增区间

（2）当时，关于x的方程恰有三个不同的实数根，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为，再利用正弦函数的单调递增区间整体代入即可求解.

（2）将问题转化为或共有三个不同实根，从而可得或共有三个不同交点，作出函数图象，数形结合即可求解.

【详解】（1）

所以增区间为：，

（2）因，

所以或共有三个不同实根，

即或共有三个不同交点，

因

由图可得：且不合题意．

或且，即，

【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，由方程的根求参数的取值范围，解题的关键是得出且，考查了计算能力、转化能力以及数形结合的思想.

21．近年来，中美贸易摩擦不断特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.今年，华为计划在2020年利用新技术生产某款新手机.已知华为公司生产某款手机的年围定成本为50万元，每生产1万只还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为.

（1）写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数的解析式；

（2）当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）年产量为50万只时，最大利润为6750万元

【解析】（1）根据利润公式得出解析式；

（2）分段计算最大利润，从而得出结论.

【详解】（1）因为

当时， ，

当时，，

.

（2）当时， ，

当时有最大值为；

当时，，

当且仅当即等号成立，

综合上面两种情况，当年产量为50万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大，最大利润为6750.

【点睛】本题考查了分段函数模型的应用，函数最值的计算，解题的关键点是求出分段函数的解析式及求最值.

22．已知函数.

（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，当时，；当时，.

【解析】（1）利用三角恒等变换思想得出，令，，由题意可知对任意的，可得出，进而可解得实数的取值范围；

（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.

【详解】（1），

当时，，，则，

要使对任意恒成立，

令，则，对任意恒成立，

只需，解得，

实数的取值范围为；

（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，

函数在上恰有个零点，

即函数与直线在上恰有个交点.

当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：

①当或时，函数与直线在上无交点；

②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，

此时要使函数与直线在上有个交点，则；

③当或时，函数直线在上有两个交点，

此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；

④当时，函数与直线在上有个交点，

此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.

综上所述，存在实数和正整数满足条件：

当时，；当时，.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象的交点个数，结合周期性求解.