2021-2022学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题

一、填空题

1．已知，化简：_____．

【答案】

【分析】根据根式与指数幂的互化即可求出结果.

【详解】，

．

故答案为：．

2．满足的集合有_________个

【答案】7

【分析】由，可知集合中必有元素，由，可知中还有元素，，，中的个，个，或个，进而分析集合的个数.

【详解】由，知集合中必有元素，

且中还有元素，，，中的个，个，或个，

当中有一个元素时，有个，

当中有两个元素时，有，，个，

当中有三个元素时，有，，个，

综上，集合个数有.

故答案为：

3．设全集为，集合是的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为_________．

【答案】

【分析】根据图，得到集合关系即可.

【详解】由图可知元素属于但不属于，

即阴影部分对应的集合为，

故答案为：

4．函数的图像不经过第_________象限

【答案】二

【分析】根据反比例函数的图象变换，作图判断即可.

【详解】解：该函数图像由向右平移1个单位，向下平移一个单位所得，如下图：

所以不经过第二象限．

故答案为：二.

5．设①②③④⑤上述各式中“都不为零”的充分条件是 _________．

【答案】①④

【分析】根据给定条件，利用充分条件的定义直接判断作答.

【详解】，则都不为零，①是；

，取，不等式成立，即不是都不为零的充分条件，②不是；

，则，即不是都不为零的充分条件，③不是；

，则，即是都不为零的充分条件，④是；

，取，不等式成立，即不是都不为零的充分条件，⑤不是，

所以都不为零的充分条件是①④.

故答案为：①④

6．已知，则的大小关系为 _________．

【答案】##

【分析】利用绝对值三角不等式变形，再借助媒介数比较大小作答.

【详解】，则，当且仅当或时取等号，

，当且仅当或仅只一个为0时取等号，

显然当或时，，

所以的大小关系为．

故答案为：

7．若、是方程的两个根，则__________.

【答案】

【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由 ，运算求得结果．

【详解】、是方程的两个根，，

，，

，

故答案为：

8．集合，且为单元素集，则实数的取值范围是_________．

【答案】或

【分析】由为单元素集可知集合表示的图像仅有一个交点，由此求解实数的取值范围即可.

【详解】由可知集合表示经过定点的直线，

由可知集合表示表示第一、二象限的角平分线（含原点），

因为为单元素集，所以与的图像仅有一个交点，

即直线与两条射线中的一条相交或经过原点，

所以或，

故答案为：或

9．设关于的不等式的解集为，且，则实数m的取值范围是____．

【答案】

【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】由于关于的不等式的解集为，且，

所以①，

其中；或，即或.

所以①的解集为，

也即的取值范围是.

故答案为：

10．已知全集为，集合，，集合，且集合满足，则实数的值是_________．

【答案】

【分析】根据集合交集、并集、补集的性质，结合列举法、二次函数的性质、分式不等式的解法进行求解即可.

【详解】因为

所以集合，

由

所以集合，

集合且集合满足，

所以，所以

解得或，

经检验，不符合，舍去，满足题意，即．

故答案为：

11．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为____________．

【答案】16

【分析】问题转化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，故答案为：

【详解】对恒成立，

，等号成立当且仅当，

，

故答案为：16

12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为_________．（填写序号）

①②

③④

【答案】①③

【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项.

【详解】由题意可知，

由 可知 ，即，

所以；在中，，即

当时，点重合， ，此时，所以①正确；

在中，可得即，

所以，

由于，所以，

当时，,此时，所以③正确；

由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明，

故答案为：①③．

二、单选题

13．下列说法中，真命题的个数是（    ）

①“”是“且”的必要非充分条件；

②“”的充要条件是“”；

③空集是任何集合的真子集

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①②，利用空集的意义判断③作答.

【详解】①当且时，由不等式性质得，但是当成立时，

且不一定成立，如，满足，

所以“”是“且”的必要非充分条件，①正确；

②因为，所以“”的充要条件是“”，②正确；

③因为空集是任何非空集合的真子集，所以③错误，

所以真命题的个数是2．

故选：C

14．图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（　　）

A．、、 B．、、 C．、、 D．、、

【答案】D

【分析】根据幂函数在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数的可能取值．

【详解】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，

可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，

结合选项知，指数的值依次可以是．

故选：D.

15．设都是正数，且，则下列等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用指数式、对数式互化，再利用对数换底公式及对数运算求解作答.

【详解】因为都是正数，设，则，

即有，显然，

所以，即，A正确；

，B不正确；

，C不正确；

，D不正确.

故选：A

16．已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（    ）

A．不存在有序数组，使得

B．存在唯一有序数组，使得

C．有且只有两组有序数组，使得

D．存在无穷多组有序数组，使得

【答案】D

【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．

【详解】由题意不等式的解集为，

即的解集是，

则不等式的解是或，不等式的解集是，

设，，，

所以，，

和是方程的两根，

则，，

又，

所以是的一根，

所以存在无数对，使得．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．

三、解答题

17．已知且

(1)求证：

(2)求的最小值，并求此时与的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)的最小值为，此时

【分析】（1）将已知等式变形可得，，即可判断，，利用基本不等式即可证得结论．

（2）由（1）中结论及可得，计算可得的取值范围，从而得解．

【详解】（1）证明：因为，，，

所以，，

所以，，

所以，当且仅当时等号成立，

所以．

（2）解：由（1）得，

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为，此时．

18．本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区的老房子进行平坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等.若改造到面积的一半时，所用时间需10年.已知道今年为止，平改坡剩余面积为原来的.

（1）求每年平改坡的百分比；

（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？

【答案】（1）；（2）工程已经进行了5年

【分析】（1）设出每年平改坡的百分比，根据改造到面积的一半时，所用时间需年列方程，解方程求得每年平改坡的百分比.（2）根据今年为止，平改坡剩余面积为原来的列方程，解方程求得该平改坡工程已进行的时间.

【详解】（1）设每年平改坡的百分比为，则，即，解得

（2）设到今年为止，该工程已经进行了年，则，即，解得所以.到今年为止，该工程已经进行了年.

【点睛】本小题主要考查实际生活中的数学应用问题，考查指数方程的解法，属于基础题.

19．（1）在中，角所对的边分别是，求证：中至少有一个角大于或等于；

（2）已知为不全相等的正数，且，求证．

【答案】（1） 证明见解析；（2）证明见解析 ．

【分析】（1）根据已知条件，结合反证法，即可求解．

（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．

【详解】证明：（1）假设结论不成立，即，，，

则，这与相矛盾，所以假设不成立，

所以中至少有一个角大于或等于；

（2）因为都是正数，且，

所以，

以上三个不等式相加，得，

又因为为不全相等的正数，所以取不到等号，

所以．

20．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．

(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；

(2)当m＞﹣2时，解不等式f（x）≥m；

(3)若不等式的解集为D，若[﹣1，1]⊆D，求m的取值范围．

【答案】(1)的取值范围为；

(2)当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；

(3)．

【分析】（1）分和两种情况求解即可，

（2）分三种情况解不等式，

（3）由条件知对任意的，不等式恒成立，即恒成立，然后求出的最大值即可

【详解】（1）当时，即，则由 ，得，不合题意，

当，即时，由不等式的解集为得

，解得，

所以的取值范围为；

（2）因为，所以，即，

当，即时，解得，所以不等式的解集为，

当，即时，，

因为，所以不等式的解集为，

当，即时，，

因为 ，所以，所以，

所以不等式的解集为，

综上，当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；

（3）因为不等式的解集为，且，

所以对任意的，不等式恒成立，

即，

因为

所以恒成立，

令，则，，

所以，

由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，

所以当时，取最大值，最大值为，

所以的取值范围为.

21．已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．

(1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；

(2)当时，若集合具有性质，

①判断集合是否一定具有性质？并说明理由；

②求集合中元素个数的最大值．

【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析

(2)①具有性质，理由见解析 ；②

【分析】（1）当时，集合，，根据性质的定义可知其不具有性质；，令，利用性质的定义可验证；

（2）当时，则，

①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义即可验证；

②设集合有个元素，由①得，任取一个元素，则与中必有一个不超过，从而得到集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过，然后利用性质的定义进行分析即可求出，即，解此不等式即可得出答案.

【详解】（1）当时，集合，

不具有性质，

因为对任意不大于的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，

集合具有性质，

因为可取，对于该集合中任一元素，

都有；

（2）当时，则，

①若集合具有性质，那么集合一定具有性质，

首先因为，任取，其中，

因为，所以，

从而，即，所以，

由具有性质，可得存在不大于的正整数，

使得对中任意一对元素，都有，

对于上述正整数，从集合中任取一对元素，其中，则有，

所以集合具有性质；

②设集合有个元素，由①得，若集合具有性质，那么集合一定具有性质，

任取一个元素，则与中必有一个不超过，

所以集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过，

不妨设中有个元素不超过，分别记为，

由集合具有性质，得存在正整数，使得对中任意两个元素

，都有，所以都不是中的元素，

又，故都是中的元素，

即集合中至少有个元素不在子集中，

因此，所以，解得，

当时，取，

易得集合中的任意两个元素，都有，

即集合具有性质，此时集合中有个元素，

因此集合中元素个数的最大值为．

【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析.