2022-2023学年北京市北京亦庄实验中学高一上学期第2学段教与学质量诊断（期末）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市北京亦庄实验中学高一上学期第2学段教与学质量诊断（期末）数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市北京亦庄实验中学高一上学期第2学段教与学质量诊断（期末）数学试题 一、单选题1．已知向量，，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.【详解】解：因为，，，所以，又，所以，解得.故选：B2．化简的结果为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过对数换底公式的推论与指对恒等式即可化简得到.【详解】；故选：A.3．如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设分别表示在区间上的平均变化率，则（    ）A． B．C． D．无法确定【答案】A【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢，可判断出结果.【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以在区间上的平均变化率由大变小，即．故选：A4．经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（    ）A．若数据，方差，则所有的数据都为0B．若数据，的平均数为，则的平均数为6C．若数据，的方差为，则的方差为12D．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90【答案】C【分析】根据数据的平均数，方差，百分位数的性质逐项进行检验即可判断.【详解】对于，数据的方差时，说明所有的数据都相等，但不一定为，故选项错误；对于，数据，的平均数为，数据的平均数为，故选项错误；对于，数据的方差为，数据的方差为，故选项正确；对于，数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据大于90，故选项错误，故选：.5．已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断各自与0和1的大小关系，即可得出答案.【详解】，即；，即；，即；故，故选：D.6．已知函数的图像与的图像关于直线对称，则（    ）A． B．10 C．12 D．【答案】C【分析】由题意知两个函数互为反函数，求出的解析式，代值化简即可.【详解】因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以函数与函数互为反函数，所以，所以，故选：C.7．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（    ）A．  B．  C．  D． 【答案】D【分析】由幂函数性质可得解.【详解】A中定义域和值域都是；B中 ,定义域和值域都是；C中定义域和值域都是；D中定义域为R，值域为故选：D【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题.8．已知是上的增函数，那么实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数和指数函数的性质，结合函数的单调性列不等式组，即可求出实数的取值范围.【详解】要使函数是上的增函数，只需，解得：.所以实数的取值范围是.故选：C9．已知函数的部分函数值如下表所示 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.【详解】函数在R上单调递增，由数表知：，由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，所以函数的一个零点的近似值为.故选：B10．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式可得到a＝2，b＝1，得到g(x)＝2|x＋1|，该函数图象可看做y＝2|x|的图像向左平移1个单位得到，从而求得结果.【详解】因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，所以a＝2，b＝1，此时g(x)＝2|x＋1|＝此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和指数函数的图像和性质，利用基本不等式求出a＝2，b＝1是本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和综合分析能力，属中档题. 二、填空题11．若点在幂函数的图像上，则的值为__________.【答案】3【分析】由幂函数的概念求出a，c，再将点代入函数解析式，求得b的值.【详解】因为为幂函数，则，，即，又点在函数的图像上，则，解得，所以故答案为：3.12．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是__________.【答案】【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率【详解】设数学题没被解出来为事件A，则，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：.故答案为：13．已知函数且的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为__________.【答案】##0.5【分析】根据对数型函数的过定点，代入方程中，根据基本不等式即可求解.【详解】过定点，所以，又点的坐标满足方程，所以，故，当且仅当即时取等号.故答案为：.14．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是__________.【答案】【分析】先证明函数为偶函数，所以图像在轴左右两侧单调性相反，所以由可得到，解不等式即可【详解】的定义域为，因为，所以是偶函数，且当时，单调递增，所以当时，单调递减，所以由可得，所以，两边平方整理得，解得或，所以的取值范围是，故答案为: 15．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形.若，则__________.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为可知，，，则，，即又，即，即，化简得故答案为： 三、解答题16．化简计算.(1)；(2).【答案】(1)(2)6 【分析】（1）直接利用指数幂计算公式得到答案.（2）直接利用对数计算法则得到答案.【详解】（1）（2）17．如图所示，在中，点是边的中点，点是线段靠近的三等分点.过点的直线与边分别交于点.设，其中.(1)试用与表示，写出过程；(2)求证：为定值，并求此定值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案；（2）由平面向量基本定理、向量的三点共线可得答案.【详解】（1）因为点是边的中点，所以，；（2）因为，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，可得为定值.18．为推进农村经济结构调整，某乡村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目．现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“优质客户”，现用分层抽样的方法从样本的“优质客户”中抽取5人，求这5人中购买金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中随机抽取2人作为幸运客户免费参加乡村游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率．【答案】（1）2（2）所有基本事件如下：，，，，，，，，，，【解析】（1）直接求出其对应的比列即可得到其结果；（2）列出所有的基本事件共有10种，其中满足题意的有7种，即可求得其对应的概率．【详解】（1）如图易得，消费金额在与的人数比为，∴这人中消费金额不低于元的人数为．（2）由（1）得，抽取的5人中购买金额低于100元的有3人，记为，，，购买金额不低于100元的有2人，记为，，所有基本事件如下：，，，，，，，，，，共有10种，其中满足题意的有7种，所以．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分析能力，运算求解能力，考查了化归与转化思想等，属于基础题.19．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项（物理､化学､文学､经济学､生理学和医学､和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加，假设基金平均年利率为，资料显示：2003年诺贝尔奖发放后基金总额约为20000万美元，设表示第年诺贝尔奖发放后的基金总额（2003年记为，2004年记为，...，依此类推）.(1)用表示和，并根据所求结果归纳出函数的表达式；(2)试根据的表达式判断网上一则新闻“2013年度诺贝尔奖各项奖金高达130万美元”是否为真，并说明理由（参考数据：）【答案】(1)，，(2)真新闻，理由见解析 【分析】（1）先由题意求出和，结合指数式的特点，由此归纳出的表达式；（2）先计算出2012年度诺贝尔奖发放后的基金总额，再求出2013年度诺贝尔奖各项奖金，与新闻对比即可得出答案.【详解】（1）由题意知：，，故；（2）2012年度诺贝尔奖发放后的基金总额记为，则，则2013年度诺贝尔奖各项奖金为：（万美元），故新闻“2013年度诺贝尔奖各项奖金高达130万美元”为真新闻.20．已知函数，若点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的相关函数.(1)求函数的解析式；(2)对任意的的图像总在其相关函数图像的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）将点代入函数中化简即可；（2）由（1）求得函数的解析式，然后由在上恒成立可得参数范围．【详解】（1）因为函数，且点在函数图像上运动，所以，即，所以函数的解析式为：.（2）因为对任意的，的图像总在其相关函数图像的上方，所以当时，恒成立，即恒成立，由，，，得，所以在此条件下，即时，恒成立，即恒成立，即恒成立，∴，解得，故实数的取值范围为.21．若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.(1)证明：函数具有性质，并求出对应的的值；(2)已知函数具有性质，求的取值范围；(3)形如①､②､③､④且､⑤且的函数，一定具有性质的函数是__________（填序号）.【答案】(1)证明过程见详解；(2)(3)具有性质 【分析】(1)把函数代入，解出，从而求解；(2)根据函数具有性质，使得，代入得到一个关于的方程，其中含有参数，并对进行讨论，从而求出的取值范围；(3)已知函数具有性质，转化为关于的方程恒有解，把①､②､③､④且､⑤且的函数代入一一验证是否具有性质.【详解】（1）因为函数具有性质，则把函数代入可得：，解得：.（2）函数的定义域为，可得：，因为函数具有性质，所以存在，使得，即，则有，整理可得：有实根，当时，解得：满足题意；当时，则要使有实根，只需要，即，解得：，所以，综上所述：实数的取值范围为.（3）函数具有性质，即关于的方程恒有解.①将其代入可得：，解得：无解，所以函数不具有性质；②将其代入可得：，解得：，所以函数具有性质；③将其代入可得：，因为此方程无解，所以函数不具有性质；④且将其代入可得：，化简可得：即，当时，方程无解，所以函数且不具有性质；⑤且将其代入可转化为，化简可得：，因为方程无解，所以函数且不具有性质；综上所述：只有函数具有性质.