2022-2023学年福建省南安市柳城中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省南安市柳城中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．如图所示，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据文氏图表示的集合求得正确答案.

【详解】文氏图表示的集合为，

所以.

故选：A

2．函数的定义域为（    ）

A．（－∞，2） B．（－∞，2] C． D．

【答案】D

【分析】利用根式、分式的性质列不等式组求定义域即可.

【详解】由题设，，可得，

所以函数定义域为.

故选：D

3．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.

【详解】函数的定义域为，且在上单调递增，

而，，

所以函数的零点所在的区间为.

故选：C

4．若，则的大小关系为.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由指数函数，对数函数的单调性，求出的大致范围即可得解.

【详解】解：因为，，

即，

故选D.

【点睛】本题考查了比较指数值，对数值的大小关系，属基础题.

5．函数的图象大致为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据奇偶性的定义可判断函数为奇函数，故可排除C,D，令，可得函数值并判断正负，进而可得答案.

【详解】由，

可得函数的定义域为，关于坐标原点对称，

且，

故函数为奇函数，进而可排除C,D，

又令，可知，故可排除A.

故选：B.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

6．2020年11月24日凌晨4时30分，中国文昌航天发射场，又一次“重量级”发射举世瞩目.长征五号遥五运载火箭点火升空，托举嫦娥五号探测器至地月转移轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅，已知火箭的最大速度（单位：）和燃料质量（单位：）、火箭质量（单位：）的关系是.若火箭的最大速度为，则（     ）（参考数值：）

A． B． C．10 D．100

【答案】D

【解析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，即可求解.

【详解】由题意，火箭的最大速度和燃料质量、火箭质量的关系是，

可得，即，

所以，可得.

故选：D.

7．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)

A．0＜k＜1 B．0≤k＜1 C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1

【答案】C

【分析】根据对数函数值域为R的条件，可知真数可以取大于0的所有值，因而二次函数判别式大于0，即可求得k的取值范围．

【详解】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R

所以

解不等式得k≤0或k≥1

所以选C

【点睛】本题考查了对数函数的性质，注意定义域为R与值域为R是不同的解题方法，属于中档题．

8．若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件利用对数型复合函数单调性列式求解作答.

【详解】函数中，令，函数在上单调递增，

而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，

因此，，解得，

所以实数a的取值范围为.

故选：D

二、多选题

9．下列函数中，与是同一个函数的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．

【详解】的定义域为，值域为，

对于A选项，函数的定义域为，故是同一函数；

对于B选项，函数，与解析式、值域均不同，故不是同一函数；

对于C选项，函数，且定义域为，故是同一函数；

对于D选项，的定义域为，与函数定义域不相同，故不是同一函数.

故选：AC．

【点睛】本题考查同一函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同.

10．下列命题中，正确的是（     ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BCD

【解析】利用不等式的性质，对ABCD一一验证.

【详解】取，代入验证A,有，错误，故A不正确；

对于B：记，则为增函数，所以时有，故B正确；

对于C：记，易证为增函数，所以时有，即成立，故C正确；

对于D：,又有，利用同向不等式相加，有：，故D正确.

故选：BCD

【点睛】利用不等式的性质，判断不等式是否成立的问题：

对于不成立的情况，只用举一个反例就可以；对于成立的情况，需要利用不等式的性质进行证明.

11．下列叙述正确的是（    ）

A．已知函数 ，则

B．命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”

C．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是2

D．已知的解集为或，则

【答案】ACD

【分析】由分段函数可判断A；由全称命题的否定可判断B；由扇形面积公式结合二次函数可判断C；由“三个二次”结合韦达定理可判断D.

【详解】对于选项A：，故A正确；

对于选项B：命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”，故B错误；

对于选项C：设扇形半径为，弧长为，则扇形周长，从而扇形面积，所以当时，最大，此时，扇形中心角的弧度数是，故C正确；

对于选项D：由选项可知和是方程的两实根，所以，解得，，所以，故D正确.

故选：ACD.

12．已知函数，以下判断正确的是（    ）

A．f（x）是增函数 B．f（x）有最小值

C．f（x）是奇函数 D．f（x）是偶函数

【答案】BD

【分析】由题设可得，根据复合函数的单调性判断的单调情况并确定是否存在最小值，应用奇偶性定义判断奇偶性.

【详解】由，

令为增函数；而在上递减，在上递增；

所以在上递减，在上递增；

又在定义域上递增，则在上递减，在上递增；

所以在上递减，在上递增，故最小值为，

，故为偶函数.

故选：BD

三、填空题

13．已知幂函数的图象过点，则 ____________

【答案】3

【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算．

【详解】设，则，，即，

∴．

故答案为：3.

14．函数的零点个数为___．

【答案】2

【分析】当x≤0时，令函数值为零解方程即可；当x＞0时，根据零点存在性定理判断即可.

【详解】当x≤0时，，

∵，故此时零点为；

当x＞0时，在上单调递增，

当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点；

综上，函数y在R上共有2个零点.

故答案为：2.

15．若则函数的最小值为________．

【答案】1

【分析】结合图象可得答案.

【详解】

如图，函数在同一坐标系中，

且，所以在时有最小值，即.

故答案为：1.

四、双空题

16．已知函数（且），.若对任意，不等式恒成立，则________；的最小值是________.

【答案】     1    

【解析】分析出，再将变形成，用基本不等式中的“1”的活用技巧求解最小值即可.

【详解】因为对任意，不等式恒成立

当时，，有；

当时，，有.

又连续不断，故必有

所以即.

，

当且仅当，时等号成立，

即的最小值为.

故答案为：1；

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

五、解答题

17．求下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）结合指数的运算化简计算即可求出结果；

（2）结合对数的运算化简计算即可求出结果；

【详解】（1）

（2）

18．已知集合．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】(1)解一元二次不等式化简集合B，把代入，利用补集、交集的定义直接计算作答.

(2)由给定条件可得，再借助集合的包含关系列式计算作答.

【详解】（1）当时，，解不等式得：或，

则或，有，

所以.

（2）由(1)知，或，因“”是“”的充分条件，则，

显然，，因此，或，解得或，

所以实数a的取值范围是或.

19．已知函数在上的最大值为3，最小值为．

(1)求的解析式；

(2)若，使得，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的最值列方程组，解方程组求得，进而求得.

（2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围.

【详解】（1）的开口向上，对称轴为，

所以在区间上有：，

即，

所以.

（2）依题意，使得，

即，

由于，，

当且仅当时等号成立.

所以.

20．已知函数.

（1）若为偶函数，求的值；

（2）若函数在上有2个不同的零点，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】（1）由函数为偶函数，得到，进而得出，即可求得实数的值；

（2）令，整理得，根据函数在上有2个不同的零点，得到，，结合定义域，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数为偶函数，则，即.

整理得，所以.

（2）因为函数，

令，可得，整理得，

即，

由函数在上有2个不同的零点，

所以，，且，，

解得或，

所以的取值范围为.

21．已知函数为定义在R上的奇函数．

(1)求实数m，n的值；

(2)解关于x的不等式．

【答案】(1)

(2)答案详见解析

【分析】（1）利用以及求得的值.

（2）利用函数的奇偶性、单调性化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

【详解】（1）由于是定义在R上的奇函数，

所以，

所以，

由于是奇函数，所以，

所以，

即，

所以.

（2）由（1）得，

任取，，

由于，所以，，

所以在上递增.

不等式，

即，，

，，

，，①.

当时，①即，不等式①的解集为空集.

当时，不等式①的解集为.

当时，不等式①的解集为.

22．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含）.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.

(1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

【答案】(1)选择,

(2)当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.

【分析】（1）结合模型函数的定义域，单调性，利用排除法可以选出结果；

（2）结合（1）中所求出的关系式，利用二次函数，对勾函数性质，分别求出每一段路线耗电量的最小值即可.

【详解】（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意；

对于，它显然是个减函数，这与矛盾；

故选择.

根据提供的数据，有

，解得，当时，.

（2）国道路段长为，所用时间为，

所耗电量为

，因为，当时，；

高速路段长为，所用时间为，

所耗电量为，

由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

所以；

故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.