2022-2023学年甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则＝（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据二次不等式的解法和交集的定义即可求解.

【详解】因为，，，

故选：A.

2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案.

【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误；

对B，和的定义域均为R，且，则B正确；

对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误；

对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误.

故选：B.

3．是第三象限角，则下列函数值一定是负值的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据角的范围即可判定半角或倍角的范围.，从而确定函数的正负.

【详解】∵为第三象限角，

∴为第二、四象限角，为第一、二象限角或终边与轴非负半轴重合，

∴只有一定为负值.

故选：C.

4．已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先求得扇形半径，再利用扇形弧长公式求得结果.

【详解】弧度的圆心角所对的弦长为，半径，所求弧长为.

故选：C.

5．已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合对数函数、指数函数的单调性确定正确答案.

【详解】因为，且在定义域上单调递增，

所以，即，

又在定义域上单调递减，所以，即，所以.

故选：A

6．已知二次函数且对任意的都有恒成立，则实数的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二次函数的性质列不等式可得实数的取值范围．

【详解】的对称轴为，开口向下

由题意可得函数在上单调递减

则，解得

故选：B

7．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函僌在单调递减

D．该图象向右平移个单位即可得的图象

【答案】B

【分析】由函数图象及五点法求出解析式中的参数，应用代入法判断A、B，结合正弦型函数的性质判断C，由图象平移写出平移后的解析式判断D.

【详解】根据部分图象，可得，，则，

所以，则.

结合五点法作图，可得，

所以，，则，，且，

所以，故，

，即不是对称点，A错误；

，即为对称轴，B正确；

由可得，故在上不单调，C错误；

，D错误.

故选：B

8．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%.则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（    ）（参考数据：）

A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年

【答案】C

【分析】设出未知数，列出不等式，求出的最小值为8，故答案为2029年.

【详解】设（）年后公司全年投入的研发资金为，则，令，解得：，将，代入后，解得：，故的最小值为8，即2029年后，该公司全年投入的研发资金开始超过600万元.

故选：C

二、多选题

9．关于函数性质，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递增

B．奇函数

C．以为最小正周期

D．定义域为

【答案】AB

【分析】利用正切函数的性质逐一检验即可

【详解】对于A，令，得，∴在上单调递增，故A正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，令，得，∴定义域为，，故D不正确.

对于B，由D可得定义域关于原点对称，且，故为奇函数，故B正确；

故选：AB.

10．下列结论中正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件

C．若，则“”是“a、b不全为0”的充要条件

D．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件

【答案】ABC

【分析】需要逐项分析才能求解.

【详解】对于A，若，则 或 ，即“ ”不一定成立，

反之若“ ”，必有“x2＞4”，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，

A正确；

对于B，若“x为无理数”，则“x2不一定为无理数”，如，反之“x2为无理数”，

则“x为无理数”，故“x为无理数”是“ 为无理数”的必要不充分条件，B正确；

对于C，若“”，则“a、b不全为0”，反之若“a、b不全为0”，

则“”，故若，则“”是“a、b不全为0”的充要条件，

C正确；

对于D，在中，若“”，则∠A＝90°，

故“为直角三角形”，反之若 ，则有， ，

 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，D错误；

故选：ABC.

11．下列结论正确的是（    ）

A．当x>0时，+≥2

B．当x>3时，x+的最小值是2

C．当x<时，2x1+的最小值是4

D．设x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值是9

【答案】AD

【解析】利用基本不等式判断各选项．

【详解】解：对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；

对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故B错误；

对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；

对于选项D，因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.

故选：AD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

12．关于函数，则下列说法正确的是（    ）

A．其图象关于y轴对称

B．当时，是增函数；当时，是减函数

C．的最小值是

D．无最大值，也无最小值

【答案】AC

【分析】根据函数的解析式，求其定义域，奇偶性，单调性即可.

【详解】函数定义域为，

又满足，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，A正确；

函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，，又是偶函数，所以函数的最小值是，故BD不正确，C正确

故选：AC．

三、填空题

13．设函数则_____________.

【答案】

【分析】根据解析式分别求得和，进而得到结果.

【详解】，，

.

故答案为：.

14．已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为4，且是奇函数，若，则______.

【答案】0

【分析】根据函数的周期性和函数的奇偶性即可求解.

【详解】∵的最小正周期为4，

∴8也是的一个周期.

∴，∴.

∵为奇函数，

∴，

∴.

故答案为：0.

15．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】根据对数函数性质列出不等式组，然后利用正弦函数性质解不等式组即可求解.

【详解】要使函数有意义，

则有，解得：，

所以或，

则函数的定义域为，

故答案为：.

16．已知函数.给出下列四个结论：①当且仅当时，取得最小值；②是周期函数；③的值域是；④当且仅当时，.其中正确结论的序号是______（把你认为正确的结论的序号都写上）.

【答案】②④

【分析】根据函数图像结合三角函数的周期性，单调性，值域等要素即可求解.

【详解】由题意函数，

画出在，上的图象，如图实线部分，

对于②，，

所以函数是周期函数，故②正确；

由图象知，函数的最小正周期为，

对于①，由图象可知当或时，取得最小值，故①错；

对于③，当时，，解得，此时，由图象可得的值域为，故③错.

对于④，根据函数的周期性知函数在时，，故④正确；

故答案为：②④.

四、解答题

17．计算：

(1)

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）直接利用指数幂的运算化简求值；

（2）直接利用对数的运算性质化简求值.

【详解】（1）解：

（2）解：

.

18．求下列函数的值域：

(1)，

(2)，

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用余弦函数的单调性即可求解；

(2)将换成，得到关于的二次函数，利用正弦函数的值域和二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）由，因为，所以，

又函数在区间上先增后減，

所以当时，函数取最小值；

当时，函数取最大值；

所以函数的值域为.

（2）.

∵，当时，函数取最大值；当时，函数取最小值，

∴函数的值域为.

19．计算：

(1)已知是第三象限角，，求；

(2)已知是方程的根，求的值.

【答案】(1)2

(2)

【分析】(1)将已知条件的分母看作“1”，然后分子，分母同时除以，得到

，根据角所在象限，解之即可；

(2)解出方程的两根，根据的取值范围得到，然后利用同角三角函数的基本关系和诱导公式即可求解.

【详解】（1）由可得.

分子，分母同时除以，得，

解得或，又∵是第三象限角，∴.

故.

（2）∵是方程的根，

由，可得：或（舍取），

则，所以.

原式.

20．已知集合，集合.

(1)若，求实数a的值；

(2)若成立的一个必要不充分条件是，求实数a的取值组成的集合.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入集合中方程可得值；

（2）由必要不充分条件得B是A的真子集，根据包含关系可得．

【详解】（1）因为，所以，解得；

（2）（2）因成立的一个必要不充分条件是，所以是的必要不充分条件，因此B是A的真子集，，

①当时，，解得；

②当时，，此时无解；

③当时，，此时无解；

综上可得，实数a的取值范围为.

21．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值－3.

(1)若，求的单调递减区间；

(2)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用已知函数最值，周期及图像上的点求出的解析式，由，求出函数的解析式，在根据新函数求解单调区间减即可；

（2）当时，函数有两个零点，问题转化为与有两个不同的交点，画出在上的图像，结合图像列出不等式即可解决问题.

【详解】（1）由函数最大值为3，最小值－3，

所以，

在同一周期内，当时，取得最大值，

当时，取得最小值，

所以,

所以,

又，所以，

所以，

即

又，所以当时，，

所以函数，

因为

所以

令，，

得，，

所以的单调递减区间为.

（2）令，

即，

所以当时，函数有两个零点，

问题转化为与有两个不同的交点，

因为，所以，

令，

则

如图所示：

由图像可得：

，

解得：，

所以当时，函数有两个零点，

则实数的取值范围.为：.

22．已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求a、b的值；

（2）判断并用定义证明的单调性；

（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）a=1，b=1；（2）在R上单减，证明见解析；（3）.

【分析】（1）由奇函数列方程组求出a、b；

（2）先判断在R上单减，利用定义法证明；

（3）利用为奇函数及在R上单减把转化为对任意恒成立，利用分离参数法求出k的范围.

【详解】（1）∵为定义域为的奇函数，

∴，即解得：.

（2）由（1）知：，在R上单减，下面进行证明：

任取，且，

∴

∵为增函数，，

∴，

∴

∴

∴在R上单减.

（3）∵为奇函数，

∴对任意，不等式恒成立可化为：

对任意恒成立，

又在R上单减，

∴对任意恒成立，可化为：

对任意恒成立，

即，恒成立.

记，，只需

在上单增，所以

所以k<8.

即的取值范围是

【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或；

（2）证明函数的单调性一般用：①定义法；②导数法；

（3）分离参数法是解决恒（能）成立问题的常用方法.