2022-2023学年广东省东莞实验中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省东莞实验中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．设命题，则的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.

【详解】命题，则的否定为：.

故选：B

【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．

3．已知，，则是的（   ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.

【详解】由，可得出，

由，得不出，

所以是的充分而不必要条件，

故选：A.

4．下列命题中，是真命题的是（    ）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

【答案】B

【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案

【详解】解：对于A，如果，，那么，故A错误；

对于B，易得，所以，所以化简得，故B正确；

对于C，如果，，那么，故C错误；

对于D，因为满足，那么，故D错误；

故选：B

5．若0<m<1，则不等式(x－m)<0的解集为（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】D

【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】∵0<m<1，∴>1>m，

故原不等式的解集为，

故选：D．

6．设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件概念求解即可.

【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，

因为丙是乙的充要条件，所以丙乙，即甲丙，

又因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁，

所以甲丁，即丁是甲的必要不充分条件.

故选：B

7．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过对集合的化简即可判定出集合关系，得到结果.

【详解】因为集合，

集合，

因为时，成立，

所以.

故选：C.

8．已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　）

A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8

【答案】D

【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.

【详解】不等式可化为，又，，

所以，

令，则，

因为，，所以，当且仅当时等号成立，

又已知在上恒成立，所以

因为，当且仅当时等号成立，

所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，

所以m的取值范围是，

故选：D.

9．集合，集合．若，则实数a的取值范围可以是（　　）

A．{a|a＜2} B．{a|a≥﹣1} C．{a|a＜﹣1} D．{a|﹣1≤a＜2}

【答案】C

【分析】由题意，用数轴表示集合的关系，从而求解．

【详解】由,，，作图如下：

由图可知，若，则，

故选：C．

二、多选题

10．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的包含关系可得出结论.

【详解】，，

所以，，，.

故选：ACD.

11．下列说法正确的有（　　）

A．，

B．，

C．若p：，则：

D．若p：，则：

【答案】BC

【分析】通过举例判断A，B，根据含量词的命题的否定方法判断C，D.

【详解】当时，，A错误，

当时，，B正确，

命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是命题“∀n∈N，n2≤2n”C正确，

命题“”的否定是命题“”，D错误.

故选：BC.

12．若，则下列不等式中一定不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可．

【详解】解：对于，

，所以，所以，所以，故选项一定不成立；

对于，不妨取，，则，故选项可能成立；

对于，不妨取，，则，故选项可能成立；

对于，，故，故选项一定不成立；

故选：．

三、填空题

13．已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据，可得，从而可得出答案.

【详解】解：∵，∴，∴．

故答案为：.

14．若“”是“”的必要不充分条件，则a的值可以是___________．（写出满足条件a的一个值即可）

【答案】(答案不唯一，满足即可)

【分析】根据必要不充分条件求出的范围可得解.

【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，

所以.

故答案为：(答案不唯一，满足即可).

15．已知，的最小值为____________.

【答案】

【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由，则，

当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．

故答案为：

16．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.

【详解】第一次操作后，利下的纯药液为，

第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知：

，

因为，所以，

故答案为：

四、解答题

17．设U＝R，A＝{x|﹣4＜x≤3}，B＝{x|x≤﹣2或x≥3}，

求：（1）A∪B；    （2）A∩B；  （3）A∩（∁UB）．

【答案】（1）A∪B=R；（2）A∩B＝{x|﹣4＜x≤﹣2或x＝3}；（3）A∩（∁UB）＝{x|﹣2＜x＜3}

【分析】（1）（2）借助于数轴，按照集合的并集、交集定义求解．

（3）先求出∁UB，再求A∩（∁UB）．

【详解】设U＝R，A＝{x|﹣4＜x≤3}，B＝{x|x≤﹣2或x≥3}，

在数轴上，如图所示：

（1）A∪B＝R；

（2）A∩B＝{x|﹣4＜x≤﹣2或x＝3}；

（3）∁UB＝{x|﹣2＜x＜3}，A∩（∁UB）＝{x|﹣2＜x＜3}.

【点睛】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，属于基础题．

18．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最大值．

【答案】（1）9；（2）．

【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，

（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9．

（2）因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

故的最大值为．

19．已知集合

（1）若，求实数m的取值范围.

（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；

（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案

【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.

②当B不是空集时，∵，，∴

综上①②，.

（2），使得，∴B为非空集合且.

当时，无解或，，

∴.

20．（1）已知x∈R，比较与的大小；

（2）已知正数a，b，c，满足，证明：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)利用比差法比较与的大小；(2)由条件结合基本不等式证明即可.

【详解】(1) 因为，

所以，

当时，，，所以，即，

当时，，，所以，即，

当时，，，所以，即，

当时，，，所以，即，

当时，，，所以，即，

综上，当或时，，

当或时，，

当时，；

(2)因为，，时，

，当且仅当时等号成立；

，当且仅当时等号成立；

，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

又，

所以，当且仅当时等号成立.

21．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小

(2)．

【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；

（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．

【详解】(1)由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，

当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

(2)由已知得x+2y＝30，

又∵（）•（x+2y）＝55+29，

∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．

∴的最小值是．

22．已知集合，集合，集合．

(1)若，求实数a的值；

(2)若，，求实数a的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出集合，由，得到，由此能求出a的值，再注意检验即可；

（2）求出集合，由，，得，由此能求出a，最后同样要注意检验．

【详解】(1)因为集合，

集合，且，

所以，所以，即，

解得或．

当时，，，符合题意；

当时，，，不符合题意．

综上，实数a的值为．

(2)因为，，

，且，，

所以，

所以，即，解得或．

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意．

综上，实数a的值为．