2022-2023学年广东省东莞市东莞实验中学高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省东莞市东莞实验中学高一上学期11月期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接进行交集运算即可求解.

【详解】∵，，

∴所以，

故选：C.

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】将特称命题的否定为全称命题即可

【详解】命题“，”的否定为

 “，”．

故选：C

3．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数的定义域分别代入求值.

【详解】由题意可得：

∴

故选：B.

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分䀠不必要条件

【答案】A

【分析】根据“小充分，大必要”，即可作出判断.

【详解】由可得，或，

“”能推出“，或”，反之不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

5．若，则下列命题为假命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】对于A，举例判断，对于BCD，利用不等式的性质判断.

【详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，因为，所以，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，所以，即，所以C正确，

对于D，因为，所以，所以，所以D正确，

故选：A.

6．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可

【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个

故选：B

7．某农家院有客房 20 间，日常每间客房日租金为 100 元，每天都客满.该农家院欲重新装修提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，每天客房的出租间数就会减少1，则该农家院重新装修后，每天客房的租金总收入最高为（    ）

A．2250 元 B．2300 元 C．2350 元 D．2400 元

【答案】A

【分析】依题意，列出函数关系，利用二次函数的性质，求解最大值即可

【详解】设每间客房日租金提高个10元，每天客房的租金总收入为元，则

当且仅当时，取得最大值

故选：

8．已知函数的值域是，则其定义域不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答.

【详解】因函数的值域是，则函数的定义域形如，

而，即当时，y取到最小值1，则，有，

函数的最大值为2，由得：，当且仅当或，y取到最大值2，

若，则，A可为定义域；

若，则，B，C可为定义域；D不可能为定义域.

故选：D

二、多选题

9．下列判断正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式对选项逐一判断即可.

【详解】选项A中，时，，当且仅当时取等号，故A正确；

选项B中，时，，故，当且仅当时取等号，故B正确；

选项C中，时，则，当且仅当时，即时取等号，故C错误；

选项D中，时，则，

当且仅当时取等号，因故等号取不到，但是正确的，故D正确.

故选ABD.

10．【多选题】设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的有（    ）

A．是偶函数 B．是偶函数

C．是奇函数 D．是偶函数

【答案】BCD

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于，设，则，故为奇函数，错误；

对于，设，则，故为偶函数，正确；

对于，设，则，故为奇函数，正确；

对于，设，则，故为偶函数，正确；

故选：．

11．若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由分段函数单调性可直接构造不等式组求得结果.

【详解】在上单调递增，，解得：，

的取值可以为选项中的或.

故选：AD.

12．下列说法正确的是（   ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B． 图象关于点成中心对称

C． 的最大值为

D．幂函数在上为减函数，则的值为

【答案】BD

【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.

【详解】对于A，函数的定义域为，由得，

则函数的定义域为，A错误；

对于B，函数的图象的对称中心为，

将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，

则函数的图象的对称中心为，B正确；

对于C，函数在R上单调递减，且，

则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；

对于D，因为函数为幂函数，

所以，

解得，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知集合，若，则实数组成的集合为__________．

【答案】

【分析】求解一元二次方程化简集合，分类讨论求解集合，结合，求得的值．

【详解】因为，，且，所以或或，

当时，；

当时，；

当时，．

所以综上可得，实数组成的集合为：．

故答案为：

14．关于不等式对于任意恒成立，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】首先根据和两种情况进行分类讨论，根据题目条件利用判别式即可求解参数的取值范围.

【详解】当时，得恒成立，故满足题意；

当时，若要满足对于任意恒成立，

只需满足，解得：.

综上所述得.

故答案为：

15．已知函数对于任意的都有，则_________.

【答案】

【分析】由可得，联立消去整理求解.

【详解】∵，则

联立，消去整理得：

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，当时，函数的值域是________；若函数的图像与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是_______.

【答案】         

【分析】分段求值域，再求并集可得的值域；转化为在上与直线只有一个公共点，分离a求值域可得实数a的取值范围．

【详解】解：当时，即当时，，

当时，，

综上所述，当时，函数的值域是，

由无解，

所以在上与直线只有一个公共点，

所以有一个零点，

因为当时，，

所以实数的取值范围是

故答案为：；

五、解答题

17．已知不等式的解集为，求的值，并求不等式的解集．

【答案】、，不等式的解集为.

【分析】由条件可得是方程的两个根，然后可求出的值，然后解出不等式即可.

【详解】因为不等式的解集为，

所以是方程的两个根，

所以，解得，

所以方程的两根为，所以，

不等式即为，其解集为.

18．设集合.

(1)当时，求的非空真子集的个数；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)254

(2)

【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.

【详解】（1）由题知，，

当时，共8个元素，

的非空真子集的个数为个；

（2）由题知，

显然，

因为，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

19．已知函数

(1)当时，解不等式；

(2)若时，函数的最大值为2，求的值.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）解一元二次不等式求出解集；

（2）结合对称轴，分类讨论，根据函数单调性求出不同情况下的最大值，列出方程，求出的值.

【详解】（1）当时，即为，

解得：或，

故不等式解集为或，

（2）的对称轴为，

当即时，在上单调递减，

故，解得：，经检验满足要求；

当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

故，解得：或，均不合题意，舍去；

当，即时，在上单调递增，

故，解得：，满足要求，

综上：或.

20．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品，经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入波动成本万元，已知在年产量不足万件时，，在年产量不小于万件时，，每件产品售价元，通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润年销售收入固定成本波动成本．）

(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

【答案】(1)

(2)当年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为万元．

【分析】（1）根据已知条件，结合年利润年销售收入固定成本波动成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．

（2）根据已知条件，结合函数的单调性，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．

【详解】（1）解：当时，，

当时，，

故年利润关于的函数关系式为．

（2）解： 由（1）知，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

所以，

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，

故当年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为万元．

21．已知幂函数在上为减函数.

(1)试求函数解析式；

(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.

【答案】(1)

(2)奇函数，其单调减区间为，

【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可；

（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.

【详解】（1）由题意得，，解得或，

经检验当时，函数在区间上无意义，

所以，则.

（2），要使函数有意义，则，

即定义域为，其关于原点对称.

，

该幂函数为奇函数.

当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，

函数是奇函数，在上也为减函数，

故其单调减区间为，.

22．设，已知函数.

（1）若是奇函数，求的值；

（2）当时，证明：；

（3）设，若实数满足，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；

（2）采用作差比较大小，整理化简得；

（3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.

【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，

即，亦即，因此；

（2）证明：因为，，

.

所以，.

（3）设，则，

当时，；

当时，；

，，

所以.

由得，即.

①当时，，，所以；

②当时，由（2）知，

，等号不能同时成立.

综上可知.

【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.