2022-2023学年广东省惠州市高一上学期期末数学试题（解析版）

惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测

高一数学试题

全卷满分150分，时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.

2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合，然后可得答案.

【详解】由题意得，，

所以．

故选：B．

2. 命题“，使得”的否定是（）

A. ，都有 B. ，使得

C. ，都有 D. ，使得

【答案】C

【解析】

【分析】利用存在量词命题的否定可得出合适的选项.

【详解】由存在量词命题否定可知，原命题的否定为“，都有”.

故选：C.

3. 已知点是第三象限的点，则的终边位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．

【详解】因为点是第三象限的点，所以，故的终边位于第四象限．

故选：D．

4. 用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2-3x，并用计算器得到下表:

则由表中的数据，可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为（）

A. 1.125 B. 1.3125

C. 1.4375 D. 1.46875

【答案】B

【解析】

【分析】

由图表知f(1.25)⋅f(1.375)<0，故由二分法思想再取(1.25，1.375)的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解.

【详解】因为f(1.25)·f(1.375)<0，所以根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，

两个区间(1.25，1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解，

故选：B.

【点睛】本题主要考查用二分法求方程的根的近似值，考查运算求解能力，熟练掌握二分法求方程根的近似值的方法是快速解题的关键，属于基础题.

5. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（）

A B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可

【详解】由函数（其中）的图象可得，

所以，所以排除BC，

因为，所以为增函数，所以排除A，

故选：D

6. 已知扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（）

A. 1或4 B. 4 C. 2或4 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，由题知，进而解方程并结合弧长公式求解圆心角的弧度数即可.

【详解】解：设扇形所在圆的半径为，弧长为，由扇形的周长为6，面积为2，

所以，，解得或，

由弧长公式，得，

所以，当，时，可得；

当，时，可得．以上均满足条件．

所以，该扇形的圆心角的弧度数为1或4.

故选：A

7. 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（）（参考数据：）

A. 22.2% B. 43.8% C. 56.2% D. 77.8%

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．

【详解】解：由题意知，，

即，

即，

所以，解得．

故选：D．

8. 已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，……，，则（）

A. 6 B. 12 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，，可判断出，均为奇函数，从而可得，的图象都关于点对称，进而可求得结果.

【详解】令，则

，

所以为奇函数，图象关于原点对称，

所以图象关于点对称，

令，则，

所以为奇函数，图象关于原点对称，

所以图象关于点对称，

所以函数与图象的交点关于点对称，

所以，

故选：C．

二、多选题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 下列各式中成立的是（）

A.  B.

C. （其中，） D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据指数幂的运算法则逐一判断即可.

【详解】解：对于A，，故错误；

对于B，，故正确；

对于C，，故错误；

对于D，，故正确．

故选：BD.

10. 已知函数为幂函数，则（）

A. 函数奇函数 B. 函数在区间上单调递增

C. 函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递减

【答案】BC

【解析】

【分析】由幂函数的定义求，根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，根据幂函数的性质判断其单调性.

【详解】因为为幕函数，

所以，即，

所以．

函数的定义域为，，

所以函数为偶函数，

又函数在为增函数．

故选：BC.

11. 下列命题为真命题的是（）

A. 若，则

B. 若，，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.

【详解】由不等式性质知若，则，即，A对，

取，则，，，B错，

因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，而，故，C对，

因为，所以，，所以，D对，

故选：ACD.

12. ，其中表示x，y，z中的最小者，下列说法正确的是（）

A. 函数为偶函数

B. 若有7个根，则

C. 当时，有

D. 当时，

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，画出的图象，得到，从而根据函数奇偶性定义进行判断；

B选项，在同一坐标系内画出与的图象，数形结合得到，B错误；

C选项，将与的图象画在同一坐标系内，数形结合得到答案；

D选项，观察图象得到当时，，令，由题意可知：，故.

【详解】在同一直角坐标系中，作出的函数图象，如图所示：

则的图象如下：

从图象可知：，

当时，，

当时，，故，

故为偶函数，A正确；

在同一坐标系内画出与的图象，

显然当经过点时，即时，两函数图象有5个交点，

数形结合，要想有7个根，则，B错误；

当时，，故，

令，解得：，将与的图象画在同一坐标系内，

数形结合可得：当时，有，C正确；

从的图象可以看出，当时，，即当时，，

令，由题意可知：，故，D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分.

13. 已知，，且，则ab的最大值为___________．

【答案】4

【解析】

【分析】利用基本不等式，可得答案.

【详解】∵，，，当且仅当时等号成立，即，整理可得，所以ab最大值为4．

故答案为：.

14. 已知角和角的顶点为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若点在角终边上，角终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，则__________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据三角函数的定义求的正弦和余弦，由条件确定的关系，结合诱导公式求.

【详解】终边上一点坐标为，所以，，

由已知可得，

所以，故．

故答案为：.

15. 已知定义域为R的函数满足以下两个条件：①对任意实数x、y，恒有；②在R上单调递增.请写出一个同时满足上述两个条件的函数解析式__________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据指数运算以及指数函数的单调性写出的一个解析式.

【详解】由，则可知指数函数满足该条件要求，

是上的单调递增函数则指数函数的底数要，

故均满足题意，故答案可以是．

故答案为：（答案不唯一）

16. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数t的取值范围是____________，设，则______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】

画出函数的图象，结合图象找到，，然后利用、可得答案.

【详解】有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，

函数的图象如下图，且与的交点的横坐标为， 与的交点的横坐标为，

由图可知，

由二次函数的对称性，可得，

由，得，

即，得，所以，故.

故答案为：①；②-8.

【点睛】本题考查了函数零点的问题，解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．考查了数形结合思想.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，已知角顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点．

（1）分别求出、和的值；

（2）求的值．

【答案】（1），，；

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义进行求解即可；

（2）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【小问1详解】

由三角函数定义知，

所以，

；

【小问2详解】

．

.

18. 已知函数．

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）当时，恒成立．求实数的取值范围．

【答案】（1）奇函数，证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可.

（2）该题参数已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的取值范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则可以取该值.

【小问1详解】

由函数，得，

即，解得或，

所以函数的定义域为，关于原点对称．

又，

，

所以是奇函数；

【小问2详解】

恒成立，则，

即在恒成立，

令，

因为在上单调递增，

当时，，

所以时，，

则实数的取值范围是．

19. 已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性并证明.

【答案】（1）1（2）在上为减函数，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质可得，即可求出的值，再根据奇函数的定义检验即可；

（2）根据指数型复合函数的单调性判断，再利用定义法证明即可；

【小问1详解】

解：由为定义在上奇函数可知，解得.

经检验，此时对任意的都有

故.

【小问2详解】

解：由递增，可知在上为减函数，

证明如下：

对于任意实数，，不妨设，

则.

∵单调递增，且，

∴即，，，

∴，∴，

故在上为减函数.

20. 全集，集合，集合，其中．

（1）当时，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A、B，结合并集的概念和运算即可求解；

（2）根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合补集的定义和运算与充分条件、必要条件的概念即可求解.

【小问1详解】

，

当时，

所以；

【小问2详解】

由，得，

所以集合，

因为是的充分不必要条件，

所以是的充分不必要条件，所以B是A的真子集，

所以且等号不同时成立，

解得．

即实数a的取值范围是．

21. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：

已知第10天的日销售收入为505元．

（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
 

（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．

【答案】（1）选择模型②：，

（2）441

【解析】

【分析】(1)由表格中的数据知，当时间x变长时，先增后减，所以选择模型②：.由,确定，，确定的值，就可确定;

(2)由第10天的日销售收入为505元确定，根据题意确定的解析式，分别用基本不等式和函数单调性求得最小值.

【小问1详解】

由表格中的数据知，当时间x变长时，先增后减，

①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．

所以选择模型②：，

由，可得，解得，

由，

解得，，

则日销售量与时间x的变化的关系式为．

【小问2详解】

因为第10天的日销售收入为505元，则，解得．

由（1）知，

由

当，时，，

当且仅当时，即时等号成立，

当，时，为减函数，

所以函数的最小值为，

综上可得，当时，函数取得最小值441．

22. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立；则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．

（1）判断函数，是否是R上的有界函数；

（2）试探究函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）不是，是

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据有界函数的定义，结合二次函数与对勾函数性质，依次讨论，的值域即可判断；

（2）由题知，进而结合指数型复合函数的单调性，并分，，三种情况讨论求解即可.

【小问1详解】

解：因为，所以其值域为，

所以，，不存在符合题意的常数，使得，

所以不是R上的有界函数，

当时，，

由对勾函数性质，，

所以，在R上的值域为，

所以，，

所以，存在，使得，

所以是R上的有界函数；

【小问2详解】

解：

①当时，，，此时的取值范围是，

②当时，易得在上是严格减函数，其值域为，

所以，，此时的取值范围是，

③当时，，

若在上是有界函数，则区间为的定义域的子集，

所以，恒不零，也即恒正或恒负，

所以，或，解得或，

此时的值域为，

（i），即或时，

，此时取值范围是，

（ii），即时，，此时的取值范围是，

综上，当或时，的取值范围是；

当或时，的取值范围是；

当时，不是区间上的有界函数．