2018-2019学年北京市海淀区七年级下学期期末考试数学试卷及答案解析

这是一份2018-2019学年北京市海淀区七年级下学期期末考试数学试卷及答案解析，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，小器一容三斛；大器一，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年北京市海淀区七年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）已知三角形的两边a＝3，b＝5，第三边是c，则c的取值范围是（　　）
A．3＜c＜5 B．2＜c＜8 C．2＜c＜5 D．3＜c＜8
2．（3分）下列调查中，适合用全面调查方式的是（　　）
A．了解一批IPAD的使用寿命
B．了解电视栏目《朗读者》的收视率
C．了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率
D．了解某鱼塘中鱼的数量
3．（3分）下列邮票中的多边形中，内角和等于540°的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，天平左盘中物体A的质量为m g，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则m的取值范围在数轴上可表示为（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）若m＜n，则下列不等式中，正确的是（　　）
A．m﹣4＞n﹣4 B．m5＞n5 C．﹣3m＜﹣3n D．2m+1＜2n+1
6．（3分）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）如图所示，已知AC∥ED，∠C＝30°，∠CBE＝40°，则∠BED的度数是（　　）


A．60° B．80° C．70° D．50°
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（3分）小文同学统计了某小区部分居民每周使用共享单车的时间，并绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：
①小文此次一共调查了100位小区居民
②每周使用时间不足15分钟的人数多于45﹣60分钟的人数
③每周使用时间超过30分钟的人数超过调查总人数的一半
④每周使用时间在15﹣30分钟的人数最多
根据图中信息，上述说法中正确的是（　　）

A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
10．（3分）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线相交于点G，EG⊥AC于点E，F为AC中点，GH⊥CD于H，∠FGC＝∠FCG．下列说法正确的是（　　）
①AG⊥CG；②∠BAG＝∠CGE；③S△AFG＝S△GFC；④若∠EGH：∠ECH＝2：7，则∠AFG＝150°．

A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本题共14分，每小题2分）
11．（2分）写出一个解为x=1y=-1的二元一次方程是　 　．
12．（2分）在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆（如图所示），这样做的数学原理是　 　．

13．（2分）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为　 　（斛：古量器名，容量单位）．

14．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　 　．
15．（2分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是　 　．

16．（2分）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为　 　°．

17．（2分）某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船（限乘两人）
四人船（限乘四人）
六人船（限乘六人）
八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）
90
100
130
150
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为　 　元．
三、解答题：（共56分，18-21题每题4分，22，23，24，26题每题5分，25题6分，27题7分，28题7分）
18．（4分）解方程组4x-5y=-12x+y=3
19．（4分）解不等式2x-13＜3﹣x，并把它的解集在数轴上表示出来．

20．（4分）解不等式组3x-2≤x2x+15＜x+12 并写出它的所有非负整数解．
21．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝5．
（1）画出△ABC的高AD和BE；
（2）画出△ABC的中线CF；
（3）计算ADBE的值是　 　．

22．（5分）如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC，交BC于点E，∠B＝20°，∠ADC＝44°，求△DEC各内角的度数．

23．（5分）已知关于x，y的二元一次方程组2x-y=2mx+3y=m-1的解满足x＜y，求m的取值范围．
24．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．

25．（6分）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
26．（5分）某综合实践小组为了了解本校学生参加课外读书活动的情况，随机抽取部分学生，调查其最喜欢的图书类别，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计表与统计图：
图书类别
画记
人数
百分比
文学类



艺体类
正
5

科普类



其他

14

合计

a
100%
请结合图中的信息解答下列问题：
（1）随机抽取的样本容量a为　 　；
（2）在扇形统计图中，“艺体类”所在的扇形圆心角应等于　 　度；
（3）补全条形统计图；
（4）已知该校有600名学生，估计全校最喜欢文学类图书的学生有　 　人．
27．（7分）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．
例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“迥异数”为　 　．
②计算：f（35）＝　 　，f（10m+n）＝　 　．
（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（m+1），且f（b）＝9；另一个“迥异数”c的十位数字是m+4，个位数字是2k﹣1，且f（c）＝11，请求出“迥异数”b和c．
（3）如果一个“迥异数”m的十位数字是x，个位数字是x﹣3，另一个“迥异数”n的十位数字是x﹣4，个位数字是2，且满足f（m）﹣f（n）＜7，请直接写出满足条件的所有x的值　 　．
28．（7分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°．点P是直线AC上一个动点（点P不与点A，C重合），连接BP，在线段BC的延长线上取一点D，使得∠BPC＝∠DPC．过点B作BE⊥DP，交直线DP于点E．

（1）如图1，当点P在线段AC上时，若∠BPC＝60°，则∠ABE＝　 　；
（2）当点P在线段CA的延长线上时，在图2中依题意补全图形，并判断∠ABE与∠ABP有怎样的数量关系，写出你的结论，并证明；
（3）在点P运动的过程中，直接写出∠ABE与∠ABP的数量关系为　 　．

2018-2019学年北京市海淀区七年级下学期期末考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）已知三角形的两边a＝3，b＝5，第三边是c，则c的取值范围是（　　）
A．3＜c＜5 B．2＜c＜8 C．2＜c＜5 D．3＜c＜8
【解答】解：∵三角形的两边a＝3，b＝5，第三边是c，
∴5﹣3＜c＜5+3，
∴2＜c＜8．
故选：B．
2．（3分）下列调查中，适合用全面调查方式的是（　　）
A．了解一批IPAD的使用寿命
B．了解电视栏目《朗读者》的收视率
C．了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率
D．了解某鱼塘中鱼的数量
【解答】解：A、了解一批IPAD的使用寿命，适合用抽样调查方式；
B、了解电视栏目《朗读者》的收视率，适合用抽样调查方式；
C、了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率，适合用全面调查方式；
D、了解某鱼塘中鱼的数量，适合用抽样调查方式；
故选：C．
3．（3分）下列邮票中的多边形中，内角和等于540°的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）180°＝540°，
解得n＝5．
故选：B．
4．（3分）如图，天平左盘中物体A的质量为m g，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则m的取值范围在数轴上可表示为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意得：m＞1m＜2，
解得：1＜m＜2，

故选：D．
5．（3分）若m＜n，则下列不等式中，正确的是（　　）
A．m﹣4＞n﹣4 B．m5＞n5 C．﹣3m＜﹣3n D．2m+1＜2n+1
【解答】解：已知m＜n，
A、m﹣4＜n﹣4，故A选项错误；
B、m5＜n5，故B选项错误；
C、﹣3m＞﹣3n，故C选项错误；
D、2m+1＜2n+1，故D选项正确．
故选：D．
6．（3分）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠B＝60°，∠C＝30°，
故选：A．
7．（3分）如图所示，已知AC∥ED，∠C＝30°，∠CBE＝40°，则∠BED的度数是（　　）


A．60° B．80° C．70° D．50°
【解答】解：∵∠C＝30°，∠CBE＝40°，
∴∠CAE＝∠C+∠CBE＝70°，
∵AC∥ED，
∴∠BED＝∠CAE＝70°，
故选：C．
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
①加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；
②加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；
③加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；
④加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；
故选：C．
9．（3分）小文同学统计了某小区部分居民每周使用共享单车的时间，并绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：
①小文此次一共调查了100位小区居民
②每周使用时间不足15分钟的人数多于45﹣60分钟的人数
③每周使用时间超过30分钟的人数超过调查总人数的一半
④每周使用时间在15﹣30分钟的人数最多
根据图中信息，上述说法中正确的是（　　）

A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【解答】解：①小文此次调查的小区居民的人数为10+60+20+10＝100（位），此结论正确；
②由频数直方图知，每周使用时间不足15分钟的人数与45﹣60分钟的人数相同，均为10人，此结论错误；
③每周使用时间超过30分钟的人数占调查总人数的比例为20+10100=310，此结论错误；
④每周使用时间在15﹣30分钟的人数最多，有60人，此结论正确；
故选：A．
10．（3分）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线相交于点G，EG⊥AC于点E，F为AC中点，GH⊥CD于H，∠FGC＝∠FCG．下列说法正确的是（　　）
①AG⊥CG；②∠BAG＝∠CGE；③S△AFG＝S△GFC；④若∠EGH：∠ECH＝2：7，则∠AFG＝150°．

A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，
∴∠GAC+∠GCA=12∠BAC+12∠ACD=12×180°＝90°，
∵∠GAC+∠GCA+AGC＝∠180°，
∴∠AGC＝90°，
∴AG⊥CG，故①正确；
∵∠AGE+∠EGC＝90°，∠AGE+∠GAE＝90°，
∴∠CGE＝∠GAC，故∠BAG＝∠CGE，故②正确；
∵F为AC中点，
∴AF＝CF，
∴S△AFG＝S△CFG，故③正确；
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH＝180°．
又∵∠EGH：∠ECH＝2：7，
∴∠EGH＝180°×29=40°，∠ECH＝180°×79=140°．
∵CG平分∠ECH，
∴∠FCG=12∠ECH＝70°，
∵AG⊥CG，F为AC中点，
∴FG＝FC，
∴∠FGC＝∠FCG＝70°，
∴∠AFG＝140°，故④错误．
故选：C．
二、填空题（本题共14分，每小题2分）
11．（2分）写出一个解为x=1y=-1的二元一次方程是　x+y＝0　．
【解答】解：根据题意得：x+y＝0．
故答案为：x+y＝0
12．（2分）在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆（如图所示），这样做的数学原理是　三角形的稳定性　．

【解答】解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案是：三角形的稳定性．
13．（2分）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为　5x+y=3x+5y=2　（斛：古量器名，容量单位）．

【解答】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：5x+y=3x+5y=2，
故答案为：5x+y=3x+5y=2．
14．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　6　．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
15．（2分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是　1　．

【解答】解：∵2x﹣a≤﹣3，
∴x≤a-32，
∵x≤﹣1，
∴a＝1．
故答案为：1．
16．（2分）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为　80　°．

【解答】解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．
故∠A的度数为80°．

17．（2分）某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船（限乘两人）
四人船（限乘四人）
六人船（限乘六人）
八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）
90
100
130
150
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为　380　元．
【解答】解：∵共有18人，
当租两人船时，∴18÷2＝9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9＝810元，
当租四人船时，∵18÷4＝4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，
∴租船费用为100×4+90＝490元，
当租六人船时，∵18÷6＝3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3＝390元，
当租八人船时，∵18÷8＝2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，
∴租船费用150×2+90＝390元
当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，100+130+150＝380元
而810＞490＞390＞380，
∴当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，
故答案为：380．
三、解答题：（共56分，18-21题每题4分，22，23，24，26题每题5分，25题6分，27题7分，28题7分）
18．（4分）解方程组4x-5y=-12x+y=3
【解答】解：4x-5y=-1①2x+y=3②，
①+②×5得：14x＝14，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝1，
则方程组的解为x=1y=1．
19．（4分）解不等式2x-13＜3﹣x，并把它的解集在数轴上表示出来．

【解答】解：去分母，得2x﹣1＜9﹣3x．
移项，得2x+3x＜9+1．
合并，得5x＜10．
系数化1，得x＜2．
不等式的解集是在数轴上表示如下：

20．（4分）解不等式组3x-2≤x2x+15＜x+12 并写出它的所有非负整数解．
【解答】解：3x-2≤x①2x+15＜x+12②，
解不等式①得x≤1，
解不等式②得x＞﹣3，
∴不等式组的解集是：﹣3＜x≤1．
∴不等式组的非负整数解为0，1．
21．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝5．
（1）画出△ABC的高AD和BE；
（2）画出△ABC的中线CF；
（3）计算ADBE的值是　512　．

【解答】解：如图，

（1）AD和BE即为所求；
（2）CF即为所求；
（3）∵AD和BE是△ABC的高，
∴12BC•AD=12AC•BE，
∴12AD＝5BE，
∴ADBE的值是512．
故答案为：512．
22．（5分）如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC，交BC于点E，∠B＝20°，∠ADC＝44°，求△DEC各内角的度数．

【解答】解：∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠ACD，
∴∠CDE＝∠DCE，
∴设∠ACD＝∠DCE＝x，
∴∠ACB＝2x，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣2x，
∵∠ADC＝44°，
∴44°+180°﹣20°﹣2x+x＝180°，
∴x＝24°，
∴∠CDE＝∠DCE＝24°，
∴∠CED＝180°﹣24°﹣24°＝132°．
23．（5分）已知关于x，y的二元一次方程组2x-y=2mx+3y=m-1的解满足x＜y，求m的取值范围．
【解答】解：解二元一次方程组2x-y=2mx+3y=m-1得 x=m-17y=-27，
∵x＜y，
∴m-17＜-27，
解得m＜-17．
所以m的取值范围是m＜-17．
24．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．

【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，
∴AE＝CE．
又∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，
在△ADE与△CFE中，
∠ADF=∠F∠A=∠ACFAE=CE
∴△ADE≌△CFE（AAS）．

（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，
∴CF＝AD＝7，
又∵∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵E是边AC的中点，CE＝5，
∴AC＝2CE＝10．
∴AB＝10，
∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．

25．（6分）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
【解答】解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．
则x+3y=962x+y=62，
解得x=18y=26.，
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；

（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得
18a+26（6﹣a）≥130，
解得a≤314
∴2≤a≤314．
∵a是正整数，
∴a＝2或a＝3．
共有两种方案：
方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；
方案二：购买3辆A型车和3辆B型车；
26．（5分）某综合实践小组为了了解本校学生参加课外读书活动的情况，随机抽取部分学生，调查其最喜欢的图书类别，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计表与统计图：
图书类别
画记
人数
百分比
文学类



艺体类
正
5

科普类



其他

14

合计

a
100%
请结合图中的信息解答下列问题：
（1）随机抽取的样本容量a为　50　；
（2）在扇形统计图中，“艺体类”所在的扇形圆心角应等于　36　度；
（3）补全条形统计图；
（4）已知该校有600名学生，估计全校最喜欢文学类图书的学生有　240　人．
【解答】解：（1）a＝14÷28%＝50，
故答案为：50；
（2）在扇形统计图中，“艺体类”所在的扇形圆心角为：360°×550=36°，
故答案为：36；
（3）科普类有50×22%＝11（人），文艺类有：50﹣5﹣11﹣14＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（4）600×2050=240（人），
答：全校最喜欢文学类图书的学生有240人，
故答案为：240．

27．（7分）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．
例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“迥异数”为　21　．
②计算：f（35）＝　8　，f（10m+n）＝　m+n　．
（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（m+1），且f（b）＝9；另一个“迥异数”c的十位数字是m+4，个位数字是2k﹣1，且f（c）＝11，请求出“迥异数”b和c．
（3）如果一个“迥异数”m的十位数字是x，个位数字是x﹣3，另一个“迥异数”n的十位数字是x﹣4，个位数字是2，且满足f（m）﹣f（n）＜7，请直接写出满足条件的所有x的值　5或7　．
【解答】解：（1）①∵对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．
∴“迥异数”为21；
②f（35）＝（35+53）÷11＝8，f（10m+n）＝（10m+n+10n+m）÷11＝m+n；
（2）∵f（10m+n）＝m+n，且f（b）＝9，
∴k+2（m+1）＝9①，
f（c）＝11，
∴m+4+2k﹣1＝11②，
联立①②解得m=2k=3，
故b＝10×3+2×（2+1）＝36，
c＝10×（2+4）+2×3﹣1＝65；
（3）∵f（m）﹣f（n）＜7，
∴x+x﹣3﹣（x﹣4+2）＜7，
解得x＜8，
∵x﹣3＞0，x﹣4＞0，
∴x＞4，
∴4＜x＜8，且x为正整数，
∴x＝5，6，7，
当x＝5时，m＝52，n＝12
当x＝6时，m＝63，n＝22（不合题意舍去）
当x＝7时，m＝74，n＝32．
综上所述：x为5或7．
故答案为：21；8，m+n；5或7．
28．（7分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°．点P是直线AC上一个动点（点P不与点A，C重合），连接BP，在线段BC的延长线上取一点D，使得∠BPC＝∠DPC．过点B作BE⊥DP，交直线DP于点E．

（1）如图1，当点P在线段AC上时，若∠BPC＝60°，则∠ABE＝　15°　；
（2）当点P在线段CA的延长线上时，在图2中依题意补全图形，并判断∠ABE与∠ABP有怎样的数量关系，写出你的结论，并证明；
（3）在点P运动的过程中，直接写出∠ABE与∠ABP的数量关系为　∠ABE＝∠ABP，∠ABE+∠ABP＝180°　．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠BPC＝∠DPC＝60°，
∴∠ACD＝90°，∠D＝30°，
∵BE⊥DP，
∴∠E＝90°，
∴∠EBD＝60°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠EBD﹣∠ABC＝15°；
故答案为：15°．
（2）如图所示：∠ABE＝∠ABP，

证明：∵BE⊥DP，
∴∠EBD+∠D＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DPC+∠D＝90°，
∴∠EBD＝∠DPC，
∵∠BPC＝∠DPC，
∴∠EBD＝∠BPC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABP＝45°﹣∠BPC，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBD＝45°﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠ABP；
（3）由（1）（2）可知：
当点P在线段AC与CA的延长线上时，∠ABE＝∠ABP，
当点P在AC的延长线上时，如下图所示：

设∠D＝∠DBP＝x，
则∠BPE＝2x，
∵BE⊥DP，
∴∠PBE＝90°﹣2x，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBP+∠PBE＝45°+x+90°﹣2x＝135°﹣x，
∠ABP＝45°+x，
∴∠ABE+∠ABP＝180°．
所以当点P在线段AC与CA的延长线上时，∠ABE＝∠ABP，
当点P在AC延长线上时，∠ABE+∠ABP＝180°．
故答案为：∠ABE＝∠ABP，∠ABE+∠ABP＝180°．