专题11 填空压轴题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编

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专题11 填空压轴题
1．（•宁波）如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图象上，轴于点．若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为 　　，点的坐标为 　　．

【答案】；，
【详解】如图，

方法一：作轴于，连接，设和交于，
设点，，
由对称性可得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，（舍去），
，
即：，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，，，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，，
，，
，
，

方法二：如图，连接，，作轴于，直线交轴于，
由上知：，
，
，
，
设，，则，
，，，
，
，
，
，（舍去），
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，，．
2．（2021•宁波）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连结分别与，交于，两点．若，，则的长为 　　，的值为 　　．

【答案】2；
【详解】，
，
，
，
又，
，
，
为中点，
．
连接，，

由翻折可得，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，，
，
平分，
，
，
．
，，，
，
，
设，
则，，
，
，
，
即，
解得（舍或，
，
．
故答案为：2；．
3．（2020•宁波）如图，经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点（点在第一象限），点，，在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为　　，的值为　　．

【答案】24；
【详解】如图，连接，，，，延长交的延长线于，设交轴于．

由题意，关于原点对称，
，的纵坐标的绝对值相等，
，
，的纵坐标的绝对值相等，
，在反比例函数的图象上，
，关于原点对称，
，，共线，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，设，则，，，
，
，
，即，
解法二：设，，则，，，，，
由题意，，，
化简可得，．
故答案为24，．
4．（2019•宁波）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点．为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接．若，的面积为8，则的值为　　．

【答案】6
【详解】连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，
过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
与关于原点对称，
是的中点，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，的面积为8，
，
设点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
故答案为6；
（另解）连接，由题意可知，
，
易知的面积梯形的面积，
设的纵坐标为，则的纵坐标为，
，
解得．

5．（2018•宁波）如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为　　．

【答案】
【详解】延长交的延长线于点．

四边形是菱形，
，，
，
，，
，
，
，
，设，
，
，

，
，
或（舍弃），
，
故答案为．
6．（2022•镇海区一模）如图，在中，，点为中点，点在边上，，将沿折叠至△，若，则　　．

【答案】
【详解】如图，延长交的延长线于点，
，点为中点，
，
，
，
，
，
设，则，
由折叠得：，，
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
，
故答案为：．

7．（2022•宁波模拟）如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作于点，交于点，连结．若，则的长为 　　，的值为 　　．

【答案】；
【详解】设，，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
，
故答案为：；．
8．（2022•北仑区一模）如图，在矩形中，，点是的中点，点是对角线上一动点，，连结，作点关于直线的对称点，直线交于点，当是直角三角形时，的长为 　　．

【答案】1或3或
【详解】四边形是矩形，
，
，．
，
点是边的中点，
，
①如图2，当时，

点是的中点，
，．
，
由对称可得，平分，
，
是等腰三角形，
，
，，，
，
，
，
；
②如图3，

，．
，
由对称可得，，，平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，．，
，，
；
的长为1或3；
当时，如图4，

平分，
，
过点作于点，设，则，，
，
，
，
综上所述，当是直角三角形时，的长为1或3或，
故答案为：1或3或．
9．（2022•宁波模拟）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点．为的中点，连结，若点，，在同一条直线上，，则的长为 　　，的值为 　　．

【答案】；
【详解】四边形是矩形，
，，，
，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
点，，在同一条直线上，
，，
为的中点，
，
设，则，
，
，
，
，
即，
解得：或（舍去），
，
，，
，
，
故答案为：；．
10．（2022•宁波一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连接并延长交于点，点是的中点，连接，则的最小值为 　　．

【答案】
【详解】如图，连接、、、，

过点作于点，则，
在中，，
由折叠的性质得，
，
，
是等腰三角形，
点是的中点，
，
，
点是的中点，
在中，，
，
的最小值为．
故答案为：．
11．（2022•北仑区二模）如图，在中，点在反比例函数上，延长至点，使得，点是直线与轴的交点．过点作交射线于点，连结，则的面积为 　　．

【答案】4.5
【详解】设，，则，，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，

，
，
过作于，过作于，则，

，
，
，即，
，
，
，
故答案为：4.5．
12．（2022•鄞州区模拟）如图，在等边中，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到△．设的中点为，的中点为，，连接．
（1）当时，的长度为 　　；
（2）设，在整个旋转过程中，的取值范围是 　　．

【答案】；
【详解】（1）如图1，当时，与重合，

将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到△，
，
四边形是菱形，
，
的中点为，的中点为，
，
四边形是平行四边形，
；
故答案为：；
（2）如图2，连接，

△是等边三角形，点是的中点，
，，，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
当点在线段上时，有最大值为，
当点在线段上时，有最小值为，
的取值范围是，
故答案为．
13．（2022•海曙区一模）如图，圆的半径为4，点是直径上定点，，过的直线与圆交于，两点，则面积的最大值为 　　；作弦，于，则的最大值为 　　．

【答案】8；
【详解】如图1，

，
当时，面积有最大值，且最大值；
设的边上的高为，的边上 的高为，如图，

，
当面积有最大值时，
．
，
．
的最大值为．
故答案为：8；．
14．（2022•宁波模拟）如图，在菱形中，，是锐角，点是的中点，点在上，，连结，，．若，则的长为 　　，的值为 　　．

【答案】8；
【详解】如图，延长交的延长于，过点作，交的延长线于，

点是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：8；．
15．（2022•海曙区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与比例函数的图象交于，两点，为线段的中点，连接与反比例函数的图象交于点．若，，则的值为 　　．

【答案】
【详解】如图，分别过点，作轴于点，，

，，
，
，
设，则，，，
，，
令，
，
直线与比例函数的图象交于，两点，
，
．
点是的中点，
，．
，，解得，．
，，
．
．
故答案为：．
16．（2022•鄞州区校级一模）如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，已知，，且，设，，则关于的函数关系式是 　　．

【答案】
【详解】延长与的延长线交于点，如下图，

，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．（2022•江北区一模）如图，点，，，是菱形的四个顶点，其中点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，且点，关于原点成中心对称，点，的横坐标相等，则的值为 　　；过点作轴交反比例函数的图象于点，连结并延长交轴于点，连结．若，则的值为 　　．

【答案】，9
【详解】如图，延长交轴于点，连接，交于点，
四边形是菱形，
，，
设点，则，
点、的横坐标相同，且，
点的坐标为，
点、在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，
，，
，
轴，
点的纵坐标为，
点、在反比例函数的图象上，，
点的坐标为，，
，
点的坐标为，
分别过点、作轴的垂线于点、，则，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，9．

18．（2022•镇海区校级模拟）如图，为的直径，为上一点，连结，为的切线，过切点作，交直线于点，连结交于点，若，，则　　．

【答案】
【详解】连接、，延长交于，连接、，过作于，过作于，

为的切线，
，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
为的直径，
，
四边形是矩形，
，
、分别是、中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
19．（2022•镇海区校级模拟）如图，正方形的边长为4，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作交线段的延长线于点，连接，若点为线段中点，则点与点距离的最大值为 　　．

【答案】
【详解】连接，取中点，中点，中点，连接，取中点，连接，，，，，过作于，如图：

是的中位线，
，，
是中位线，
，，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，为中点，
，
，
，为中点，
，
，
，
当，，共线时，最大，最大为，
故答案为：．
20．（2022•镇海区校级模拟）在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“点“．若关于的“函数” ，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线，，且，是常数）交于，，，两点，当，满足时，则直线经过的定点为 　　．
【答案】
【详解】过原点，
，
是“函数”，
，
，
联立直线和抛物线得：
，
即：，
，，
又，
化简得：，

即，
，
当时，，
直线必过定点．
故答案为：．
21．（2022•镇海区校级模拟）如图，在中，，是的外接圆，在劣弧上存在点满足，连结交于点，延长交于点，连结交于点，连结，若，半径为，则　　．

【答案】4
【详解】设，
，
，
，
，
，
，
，
连接并延长交于，过点作于点，过点作交的延长线于点，

是直径，
，，
四边形是的内接四边形，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，，
平分，，
，
点到、的距离相等，，平分，（三线合一），
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
，
，
设，则，
中，，
由，解得，
，，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：4．
22．（2022•宁波模拟）在矩形中，，，点为射线上一个动点，把沿折叠，使点落在点处，若为直角三角形时，的长为　　．

【答案】或8或或
【详解】四边形是矩形，
，，
，
当为直角三角形时，有4种情况：
①当点落在矩形内部时，落在上，如图1所示．
由折叠的性质得：，，
设，则，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得，
；
②当点落在边上时，如图2所示．
此时为正方形，
．
③如图4
当点落在边上时，易知，设，
在中，，
，
，
④如图3中，当点在的延长线上时，设，
则，
在中，，
解得；
综上所述，的长为或8或或；
故答案为：或8或或．

23．（2022•宁波模拟）如图①，在菱形中，点为的中点，点为上一动点．将四边形沿着翻折，得到四边形，与交于点．
（1）如图②，若点与点重合时，恰有，则的值为 　　．
（2）在（1）的基础上，如图①，当平分时，的值为 　　．

【答案】3；
【详解】（1）如图②中，

，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
；
（2）如图①中，连接，过点作于点，过点作于点．

平分，
，即，
，
，，
，
，
，，
在中，，，，设，
，
，
，
，，
．
24．（2022•鄞州区一模）如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点旋转，和相交于点，则的最大值是 　　，连结，当点正好是的内心时，的长是 　　．

【答案】；
【详解】如图，

连接，，和，，交于点，，交于点，作于，作于，
四边形和四边形是正方形，
，，，，，，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，
当为圆直径时，最大，此时点于点重合，
，
当点为的内心时，
，，分别平分，和，
，
，
，，
，
点、、共线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；．
25．（2022•慈溪市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在、轴上，点的坐标为，反比例函数为常数，的图象分别与边、交于点、，连结，将沿翻折得到△，连结，当时，的值为 　　．

【答案】3
【详解】如图，作的角平分线交于点，

设，根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
平分，
，
，在反比例函数为常数，的图象上，，矩形的边，分别在，轴上，
则，，，
，，
，
，
，
，
设点到的距离为，则，
，
，
，解得（舍去）或，
故答案为：3．
26．（2022•镇海区二模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连结，线段恰好经过原点，以为腰作等腰三角形，，点落在第四象限中，且轴．过点作交轴于点，交双曲线第一象限一支于点，若的面积为，则　　．

【答案】2
【详解】如图，过点作于点，连接，
设，则，
，，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入得，，
，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得，，
，
直线的解析式为，
由，得或，
点，，
，
，
设与之间的距离为，则，
，
，
故答案为：2．

27．（2022•余姚市一模）如图，直线交轴于点、交轴于点，点在反比例函数的图象上，且，连结交反比例函数图象于点，若，则的值为 　　．

【答案】4
【详解】如图，过点作轴于点，则
直线交轴于点、交轴于点，
，，
，，
，
设，，则，
，
，
，
，
点、都在反比例函数的图象上，
，
解得（舍，
，
，
故答案为：4．

28．（2022•江北区模拟）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，射线与对角线相交于点，与延长线相交于点，连结，若，，．则线段的长为 　　．

【答案】
【详解】四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
如图，过点作于，过点作于，则，

，，
，
，
，
，
，
设，，则，，
，
，
，即，
，
，
，即，
（负值舍），
．
故答案为：．
29．（2022•宁波模拟）如图，点在轴的负半轴上，交轴于点和点（点在点的左边），交轴于点，抛物线经过，，三点，的延长线交于点，点是上动点，则的半径为 　　；的最小值为 　　．

【答案】3；
【详解】如图1，

连接，，
为的直径，
，
，
可得：，
，
，
，
当时，，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，，
，
的半径为3，
如图2，

在的延长线上截取，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当、、共线时，最小，
，
，
在中，，
，
故答案为：3；．
30．（2022•宁波模拟）如图，将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移4个单位长度后与轴相交于点，点为轴上一点，作点关于点的对称点，再以线段为斜边向下作等腰直角，点和点恰好都落在反比例函数图象在第三象限的分支上，则　　．

【答案】
【详解】连接，作轴于，轴于，
点关于点的对称点，
，
是以线段为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
设，则，的纵坐标为，
将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移4个单位长度后与轴相交于点，
平移后的函数解析式为，
把的坐标代入得，，
把代入得，，
横坐标为，
，的纵坐标为，
，，
点和点恰好都落在反比例函数图象在第三象限的分支上，
，
解得，
，
，
故答案为：．
31．（2022•宁波模拟）如图，在矩形中，点为的中点，点为边上的动点，连结，．将沿着翻折，使点的对应点恰好落在线段上，若，，三点共线，则的值为 　　；若，且这样的点有且只有一个时，则的长为 　　．

【答案】；
【详解】四边形为矩形，
，，，，
由翻折可知，，，
，，三点共线，
，
即，
又，
，
．
，
，，
，
则，
点为的中点，
，
，
即，
，
．
则，
在中，，，
，
解得，
，
在中，，
．
故答案为：；．
32．如图，在矩形中，点在边上，于点，若，，则的值为 　　．

【答案】
【详解】四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
（负值舍去），
．
故答案为：．
33．（2022•鄞州区校级三模）如图，点，，，是菱形的四个顶点，其中点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，且点，关于原点成中心对称，点，的横坐标相等，则的值为 　　；过点作轴交反比例函数的图象于点，连结并延长交轴于点，连结．若，则的值为 　　．

【答案】；18
【详解】如图，延长交轴于点，连接，交于点，
四边形是菱形，
，，
设点，则，
点、的横坐标相同，且，
点的坐标为，
点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，
，，
，
轴，
点的纵坐标为，
点、在反比例函数的图象上，，
点的坐标为，，
，
点的坐标为，
分别过点、作轴的垂线于点、，则，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；18．

34．（2022•鄞州区模拟）如图，点是反比例函数上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点、，若，，则　　，点的坐标为 　　．

【答案】；，
【详解】如图，延长交轴于，延长交轴于点，

设点，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案是：；，．
35．（2022•海曙区校级三模）如图，已知为反比例函数图象上一点，为轴正半轴上一点，过点作轴交反比例函数图象于点，连结，，．当，的面积等于1时，的值为 　　．

【答案】10
【详解】过点作轴于点，交于点，如图所示，


，
轴，
，
，
，
，
的面积的面积，
，
，
，
，
，
，，
，
的面积等于1，
的面积为，
，
的面积，
的面积为，
的面积为，
，
的面积为，
的面积为，
，
故答案为：10．
36．（2022•海曙区校级模拟）如图，是的弦，，点是优弧上的动点，，连接，，是的中线．
（1）若，则　　；
（2）的最大值　　．

【答案】2；
【详解】如图1，过点作于点，
，，
，
，
，
是的中线，
，
，
，
在中，，，
，
又，
点和点重合，
．
故答案为：2；
（2）如图2，
点的运动轨迹是圆，
点的运动轨迹是为直径的圆，
当经过圆心时最大．
，
，
又，
，，
，
，
，
的最大值为．
故答案为：．