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专题15 二次函数与反比例函数综合题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编
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专题15 二次函数与反比例函数综合题
1.(•宁波)如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点.
(1)求点的坐标和反比例函数表达式.
(2)若点在该反比例函数图象上,且它到轴距离小于3,请根据图象直接写出的取值范围.
【答案】(1),反比例函数的关系式为;(2)的取值范围为或
【详解】(1)把的坐标代入,即,
解得,
,
又点是反比例函数的图象上,
,
反比例函数的关系式为;
(2)点在该反比例函数图象上,且它到轴距离小于3,
或,
当时,,当时,,
由图象可知,
若点在该反比例函数图象上,且它到轴距离小于3,的取值范围为或.
2.(2021•宁波)如图,二次函数为常数)的图象的对称轴为直线.
(1)求的值.
(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)由二次函数为常数)知,该抛物线与轴的交点坐标是和.
对称轴为直线,
.
解得;
(2)由(1)知,,则该抛物线解析式是:.
抛物线向下平移3个单位后经过原点.
平移后图象所对应的二次函数的表达式是.
3.(2020•宁波)如图,在平面直角坐标系中,二次函数图象的顶点是,与轴交于,两点,与轴交于点.点的坐标是.
(1)求,两点的坐标,并根据图象直接写出当时的取值范围.
(2)平移该二次函数的图象,使点恰好落在点的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【答案】(1)见解析;(2)点平移到点,抛物线向右平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的解析式为
【详解】(1)把代入,得,解得,
,
,
对称轴为直线,,关于对称,
,
当时,.
(2),
点平移到点,抛物线向右平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的解析式为.
4.(2019•宁波)如图,已知二次函数的图象经过点.
(1)求的值和图象的顶点坐标.
(2)点在该二次函数图象上.
①当时,求的值;
②若点到轴的距离小于2,请根据图象直接写出的取值范围.
【答案】(1),顶点坐标为;(2)①11;②
【详解】(1)把点代入中,
,
,
顶点坐标为;
(2)①当时,,
②点到轴的距离小于2,
,
,
;
5.(2018•宁波)已知抛物线经过点,.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
【答案】(1);(2)将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为
【详解】(1)把,代入抛物线解析式得:,
解得:,
则抛物线解析式为;
(2)抛物线解析式为,
将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为.
6.(2022•镇海区一模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数图象的顶点是,与轴交于,两点,与轴交于点.点的坐标是.
(1)求,两点的坐标,并根据图象直接写出当时的取值范围.
(2)将图象向上平移个单位后,二次函数图象与轴交于,两点,若,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)8
【详解】(1)把代入,得,解得,
,
,
对称轴为直线,,关于对称,
,
当时,.
(2)抛物线向上平移个单位,可得抛物线的解析式为,
设二次函数图象与轴交于,,,两点,则,,
,
,
,
,
.
7.(2022•宁波模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,抛物线的对称轴交轴于点,交直线于点,连结.
(1)求抛物线的表达式及对称轴;
(2)求的面积.
【答案】(1)抛物线的表达式为,对称轴为直线(2)
【详解】(1)把,代入中,
解方程组得:,,
,
抛物线的对称轴为直线,
即对称轴为直线.
(2)设直线得解析式为:
,
把,代入直线解析式得
,,
,
抛物线的对称轴为直线,
即,
把代入中,
,
,
.
故得面积为.
8.(2022•北仑区一模)如图,抛物线经过点和点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若将上述抛物线向右平移个单位,此时点平移到点,点平移到点,连接,,,若四边形是菱形,求平移后抛物线的解析式.
【答案】(1);(2)向右平移5个单位后,函数解析式为
【详解】(1)将点和点代入得,
,
解得,
;
(2)如图,、.
,,
由勾股定理得,,
四边形是菱形,
,
,
,
向右平移5个单位后,函数解析式为.
9.(2022•宁波模拟)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点.
(1)求点的坐标及抛物线的对称轴.
(2)当时,的最大值是2.求当时,的最小值.
【答案】(1)点坐标为,抛物线对称轴为直线;(2)
【详解】(1)将代入得,
点坐标为,
,
抛物线对称轴为直线.
(2),
抛物线开口向下,
抛物线对称轴为直线,
当时,时取最大值2,
将代入得,
解得,
,
将代入得,
的最小值为.
10.(2022•宁波一模)如图所示,已知二次函数的图象与轴的一个交点为,另一个交点为,与轴的交点为点.
(1)求的值;
(2)若经过点的一次函数平分的面积.求、的值.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)解:二次函数的图象与轴的一个交点为,
,
.
(2)一次函数平分线段,
一次函数经过的中点,
令,
解得,,
点的坐标为,
当时,,
点的坐标为,
点的坐标为,
一次函数经过点
,
解得:.
11.(2022•鄞州区模拟)如图,已知抛物线经过、两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)当时,求的取值范围;
(3)点为抛物线上一点,若,求出此时点的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为,顶点坐标为(2);(3)点坐标为或
【详解】(1)把、分别代入中,
得:,解得:,
抛物线的解析式为.
,
顶点坐标为.
(2)由图可得当时,.
(3)、,
.
设,则,
,
.
①当时,,解得:,,
此时点坐标为或;
②当时,,方程无解;
综上所述,点坐标为或.
12.(2022•海曙区一模)二次函数的自变量与函数值的对应值如表,根据下表回答问题.
0
0
4
(1)该二次函数与轴交点是 ,对称轴是 .
(2)求出该二次函数的表达式;
(3)向下平移该二次函数,使其经过原点,求出平移后图象所对应的二次函数表达式.
【答案】(1);直线;(2);(3)
【详解】(1)由表格可得,当时,,
二次函数与轴交点是,
和的函数值相同,都是,
抛物线的对称轴是直线,
故答案为:,直线;
(2),,均在抛物线上,
,
解得,
抛物线的解析式为:;
(3)抛物线向下平移4个单位后经过原点.
平移后图象所对应的二次函数的表达式是.
13.(2022•宁波模拟)已知抛物线经过,,三点.
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标.
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在点处,并写出平移后抛物线的表达式.
【答案】(1)抛物线的表达式为,顶点为;(2)见解析
【详解】(1)抛物线经过,,三点,而、两点的纵坐标相同,
抛物线的对称轴为直线,
,即,
把的坐标代入得,
解得,
抛物线的表达式为,
,
顶点为;
(2)抛物线的顶点为,,
把抛物线向左平移一个单位,向上平移2个单位平移后抛物线的顶点落在点处,
平移后抛物线的表达式为.
14.(2022•海曙区校级一模)已知二次函数是实数).
(1)小明说:当的值变化时,二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动,你认为他的说法对吗?为什么?
(2)已知点,都在该二次函数图象上,求证:.
【答案】见解析
【详解】(1)解:小明说法正确,理由如下:
是实数),
顶点坐标为,
二次函数图象的顶点始终在直线上运动,
故小明说法正确;
(2)证明:点,都在该二次函数图象上,
对称轴为直线,
,
,
,
,
.
15.(2022•鄞州区校级一模)已知二次函数的图象经过点,,与轴交于点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)点在该二次函数上.
①当时,求的值;
②当时,的最小值为,求的取值范围.
【答案】(1);(2)①1或5;②
【详解】(1)设二次函数的解析式为,
把点代入得,
解得,
,
该二次函数的解析式为;
(2)①当时,则,
解得,;
故的值为1或5;
②,
当时,函数有最小值,
当时,即时,有最小值,
故的取值范围是.
16.(2022•江北区一模)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为,与直线相交于、两点,点是原点.
(1)求二次函数的解析式.
(2)求点的坐标.
(3)直接写出不等式的解.
【答案】(1);(2),;(3)
【详解】(1)设抛物线顶点式为,
将代入得,
解得,
.
(2)令,
解得,,
将代入,
点坐标为,.
(3)由图象可得时,抛物线在直线下方,
不等式的解为.
17.(2022•镇海区校级模拟)如图,直线与双曲线交于、两点,是第一象限内的双曲线上任意一点.
(1)若点坐标为,,求点坐标.
(2)若,连接,若的面积是34,求值.
(3)设直线、分别与轴相交于、两点,且,,求的值.
【答案】(1);(2);(3)2
【详解】(1)把点代入得:,
反比例函数解析式为,
点坐标为,
由反比例函数与正比例函数图象的对称性可得点坐标为,
设,又,,
,,,
,
,
整理化简得,
,
解得(与重合,舍去)或(舍去)或或(舍去),
;
(2)设,,则,
将代入,得:,
,
,则,
,
如图2,过点作交于点,过点作轴于点,过点作轴于点,
则,
,
,
,
,,
是等腰直角三角形,
,
,
,,
,,
设直线的解析式为,
则,
解得:,
直线的解析式为,
联立方程组,得:,
解得:,,
是第一象限内的双曲线上任意一点,
,,
,
过点作于点,
则,
,
的面积是34,
,即,
,
;
(3)设,代入得:,
,
解得:,,
,,,,
过点、、分别作轴的垂线、、,垂足分别为、、,过点作轴的平行线交于,交于,
则,,,,
,,,
,,
,,
,,
,,
,
的值为2.
18.(2022•宁波模拟)已知反比例函数为常数)的图象在第一、三象限.
(1)求的取值范围;
(2)如图,若该反比例函数的图象经过的顶点,点,的坐标分别为,,求出该反比例函数的解析式;
(3)若,,,都在该反比例函数的图象上,且,则和有怎样的大小关系?
【答案】(1);(2);(3)
【详解】(1)的图象在第一、三象限,
,
;
(2)四边形为平行四边形,
,,
点坐标为,
,
该反比例函数的解析式为;
(3),
,两点都在第一象限,
又该反比例函数在每一个象限内,函数值都随的增大而减小,
.
19.(2022•宁波模拟)如图,二次函数为常数)的图象的对称轴为直线.
(1)求的值.
(2)向上平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)由二次函数为常数)知,该抛物线与轴的交点坐标是和.
对称轴为直线,
.
解得;
(2)由(1)知,,则该抛物线解析式是:,即.
抛物线向上平移3个单位后经过原点.
平移后图象所对应的二次函数的表达式是.
20.(2022•鄞州区一模)如图,抛物线与抛物线相交于点,点的横坐标为1.过点作轴的平行线交抛物线于点,交抛物线于点,抛物线与分别与轴交于点,.
(1)求抛物线的对称轴和点的横坐标;
(2)求线段和的长;
(3)点在抛物线上,点在抛物线上,请比较与的大小关系并说明理由.
【答案】(1)点的对称轴为,横坐标为;(2);(3)见解析
【详解】(1)抛物线的对称轴为,
轴,
点与点关于对称轴对称,
点的横坐标为;
(2)抛物线的对称轴为,
轴,
点与点关于对称轴对称,
点的横坐标为3,
;
点是抛物线与抛物线的交点,
,
,
令,则,,
;
(3)根据,,的横坐标以及函数图象可知,点在下方,点在上方,
.
21.(2022•慈溪市一模)如图,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于,两点.抛物线经过点,且交线段于点,.
(1)求的值.
(2)求点的坐标.
(3)向左平移抛物线,使得抛物线再次经过点,求平移后抛物线的函数解析式.
【答案】(1);(2);(3)
【详解】(1)令,
解得,,
点坐标为,
将代入得,
解得.
(2)令,
解得,,
将代入得,
点坐标为.
(3)将代入得,
解得,,
抛物线经过,
抛物线向左平移2个单位后再次经过点,
.
22.(2022•镇海区二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线、均为常数)交于点和点.
(1)求和的值;
(2)求点的坐标,并结合图象写出不等式的解集;
(3)点是直线上的一个动点,点在点正下方(即轴),且,若线段与抛物线只有一个公共点,请直接写出点的横坐标的取值范围.
【答案】(1),;(2)或;(3)或
【详解】(1)将点的坐标代入抛物线表达式得:,解得:,
将点的坐标代入直线表达式得:,解得;
故,;
(2)由(1)得,直线和抛物线的表达式为:,,
联立上述两个函数表达式并解得,或(不符合题意,舍去),
即点的坐标为,
从图象看,不等式的解集为或;
(3)由题意设点的坐标为,则点,
线段与抛物线只有一个公共点,
,
解得:或,
点的横坐标的取值范围为或.
23.(2022•余姚市一模)已知:一次函数,二次函数,为常数),
(1)如图,两函数图象交于点,.求二次函数的表达式,并写出当时的取值范围.
(2)请写出一组,的值,使两函数图象只有一个公共点,并说明理由.
【答案】(1);(2)见解析
【详解】(1)将代入得,
将代入得,
解得,
抛物线经过点,,
将,代入得,
解得,
,
由图象可得时,抛物线在直线上方,
时的取值范围是.
(2)令,整理得,
当△时,两函数图象只有一个公共点,
,,满足题意.
24.(2022•江北区模拟)小刚在用描点法画抛物线时,列出了下面的表格:
0
1
2
3
4
3
6
7
6
3
(1)请根据表格中的信息,写出抛物线的一条性质: ;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将抛物线先向下平移3个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到新的抛物线;求抛物线的解析式.
【答案】(1)抛物线与轴交于或抛物线的对称轴为直线或抛物线的顶点是(答案不唯一,写出一条即可);(2);(3)
【详解】(1)由,可知抛物线与轴交于,
由,;,知抛物线的对称轴为直线,
结合,可知抛物线的顶点是等,
故答案为:抛物线与轴交于或抛物线的对称轴为直线或抛物线的顶点是(答案不唯一,写出一条即可);
(2)将,,代入得:
,
解得,
抛物线的解析式为;
(3),
抛物线的顶点是,
把先向下平移3个单位长度,再向左平移4个单位长度得,
抛物线的顶点为,
抛物线的解析式为,
即.
25.(2022•宁波模拟)已知二次函数为常数)的图象与轴交于,两点,顶点为.
(1)若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点,求的值.
(2)①若,在已知的二次函数图象上,比较,的大小;
②求的面积.
【答案】(1);(2)①;②1
【详解】(1)二次函数图象向下平移3个单位后解析式为,
由题意得,
解得.
(2)①,
抛物线开口向上,对称轴为直线,
,
.
②令,则,
解得,,
,点坐标为欸,
.
26.(2022•宁波模拟)二次函数的图象如图所示,抛物线顶点为,与轴、轴分
别交于点和点.
(1)求,的值,并根据图象直接写出当时,的取值范围;
(2)平移该二次函数的图象,使点恰好落在点的位置上,求平移后图象与坐标轴的交点.
【答案】(1),;当时,的取值范围为;(2)函数图象与轴的交点为,和,,与轴的交点为
【详解】(1)由题意得:,
解得:,
,
令,则,
解得:,,
二次函数的图象与轴的交点坐标为和,
结合图象可知,当时,的取值范围为,
,;当时,的取值范围为,
(2),
点平移到点,抛物线向左平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的解析式为,
令时,,
函数图象与轴的交点坐标为,
令,则,
解得:,
函数图象与轴的交点为,和,,与轴的交点为.
27.(2022•宁波模拟)已知二次函数的部分图象如图所示.
(1)求该二次函数图象的对称轴,并利用图象直接写出一元二次方程的解.
(2)向上平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【答案】(1)抛物线对称轴为直线,,;(2)
【详解】(1),
抛物线对称轴为直线,
抛物线经过,
抛物线过点,
的解为,.
(2)抛物线经过原点,
抛物线解析为.
28.(2020秋•平阴县期末)如图,已知,是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求的面积;
(3)求不等式的解集(请直接写出答案).
【答案】(1);(2)6;(3)或
【详解】(1)把代入得,
所以反比例函数解析式为,
把代入得,解得,则点坐标为,
把、代入得,解得,
所以一次函数解析式为;
(2)把代入得,解得,则点坐标为,
所以;
(3)或.
29.(2022•鄞州区校级三模)已知点和都在二次函数的图象上.
(1)求、的值;
(2)将二次函数图象向上平移几个单位后,得到的图象与轴只有一个公共点?
【答案】(1),= 5;(2)3个
【详解】(1)点、是二次函数图象上的两点,且两点纵坐标都为
点、关于抛物线对称轴对称,
抛物线对称轴是直线,
,解得,
抛物线解析式为,
当时,;
(2)设平移后抛物线的关系式为,
平移后的图象与轴仅有一个交点,
△,解得,
即将二次函数图象向上平移3个单位时,函数图象与轴仅有一个公共点.
30.(2022•鄞州区模拟)已知抛物线与轴交于点、,其中点坐标为,对称轴是直线,且抛物线与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标.
(2)点是轴右侧抛物线上的动点,且到轴的距离不超过3,求的取值范围.
【答案】(1)抛物线的解析式,顶点坐标为;(2)
【详解】(1)抛物线与轴交于点、,点坐标为,对称轴是直线,
点坐标为,
设抛物线解析式为,
把代入得,
解得,
抛物线解析式为,
即;
,
抛物线的顶点坐标为;
(2)当时,,
当时,,
当时,,
是轴右侧抛物线上的动点,且到轴的距离不超过3,
的取值范围为.
31.(2022•海曙区校级三模)如图,直线和抛物线都经过点,.
(1)求的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式的解集.(直接写出答案)
【答案】(1),;(2)或
【详解】(1)把点,分别代入直线和抛物线得:
,,
,,,
所以,;
(2),解得:或.
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