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    专题15 二次函数与反比例函数综合题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编

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    专题15 二次函数与反比例函数综合题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编

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    这是一份专题15 二次函数与反比例函数综合题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编,文件包含专题15二次函数与反比例函数综合题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编解析版docx、专题15二次函数与反比例函数综合题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共42页, 欢迎下载使用。


    专题15 二次函数与反比例函数综合题
    1.(•宁波)如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点.
    (1)求点的坐标和反比例函数表达式.
    (2)若点在该反比例函数图象上,且它到轴距离小于3,请根据图象直接写出的取值范围.

    【答案】(1),反比例函数的关系式为;(2)的取值范围为或
    【详解】(1)把的坐标代入,即,
    解得,

    又点是反比例函数的图象上,

    反比例函数的关系式为;
    (2)点在该反比例函数图象上,且它到轴距离小于3,
    或,
    当时,,当时,,
    由图象可知,
    若点在该反比例函数图象上,且它到轴距离小于3,的取值范围为或.
    2.(2021•宁波)如图,二次函数为常数)的图象的对称轴为直线.
    (1)求的值.
    (2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

    【答案】(1);(2)
    【详解】(1)由二次函数为常数)知,该抛物线与轴的交点坐标是和.
    对称轴为直线,

    解得;
    (2)由(1)知,,则该抛物线解析式是:.
    抛物线向下平移3个单位后经过原点.
    平移后图象所对应的二次函数的表达式是.
    3.(2020•宁波)如图,在平面直角坐标系中,二次函数图象的顶点是,与轴交于,两点,与轴交于点.点的坐标是.
    (1)求,两点的坐标,并根据图象直接写出当时的取值范围.
    (2)平移该二次函数的图象,使点恰好落在点的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

    【答案】(1)见解析;(2)点平移到点,抛物线向右平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的解析式为
    【详解】(1)把代入,得,解得,


    对称轴为直线,,关于对称,

    当时,.

    (2),
    点平移到点,抛物线向右平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的解析式为.
    4.(2019•宁波)如图,已知二次函数的图象经过点.
    (1)求的值和图象的顶点坐标.
    (2)点在该二次函数图象上.
    ①当时,求的值;
    ②若点到轴的距离小于2,请根据图象直接写出的取值范围.

    【答案】(1),顶点坐标为;(2)①11;②
    【详解】(1)把点代入中,


    顶点坐标为;
    (2)①当时,,
    ②点到轴的距离小于2,



    5.(2018•宁波)已知抛物线经过点,.
    (1)求该抛物线的函数表达式;
    (2)将抛物线平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
    【答案】(1);(2)将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为
    【详解】(1)把,代入抛物线解析式得:,
    解得:,
    则抛物线解析式为;
    (2)抛物线解析式为,
    将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为.
    6.(2022•镇海区一模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数图象的顶点是,与轴交于,两点,与轴交于点.点的坐标是.
    (1)求,两点的坐标,并根据图象直接写出当时的取值范围.
    (2)将图象向上平移个单位后,二次函数图象与轴交于,两点,若,求的值.

    【答案】(1)见解析;(2)8
    【详解】(1)把代入,得,解得,


    对称轴为直线,,关于对称,

    当时,.
    (2)抛物线向上平移个单位,可得抛物线的解析式为,
    设二次函数图象与轴交于,,,两点,则,,





    7.(2022•宁波模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,抛物线的对称轴交轴于点,交直线于点,连结.
    (1)求抛物线的表达式及对称轴;
    (2)求的面积.

    【答案】(1)抛物线的表达式为,对称轴为直线(2)
    【详解】(1)把,代入中,

    解方程组得:,,

    抛物线的对称轴为直线,
    即对称轴为直线.
    (2)设直线得解析式为:

    把,代入直线解析式得

    ,,

    抛物线的对称轴为直线,
    即,
    把代入中,





    故得面积为.
    8.(2022•北仑区一模)如图,抛物线经过点和点.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若将上述抛物线向右平移个单位,此时点平移到点,点平移到点,连接,,,若四边形是菱形,求平移后抛物线的解析式.

    【答案】(1);(2)向右平移5个单位后,函数解析式为
    【详解】(1)将点和点代入得,

    解得,

    (2)如图,、.
    ,,

    由勾股定理得,,
    四边形是菱形,



    向右平移5个单位后,函数解析式为.
    9.(2022•宁波模拟)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点.
    (1)求点的坐标及抛物线的对称轴.
    (2)当时,的最大值是2.求当时,的最小值.
    【答案】(1)点坐标为,抛物线对称轴为直线;(2)
    【详解】(1)将代入得,
    点坐标为,

    抛物线对称轴为直线.
    (2),
    抛物线开口向下,
    抛物线对称轴为直线,
    当时,时取最大值2,
    将代入得,
    解得,

    将代入得,
    的最小值为.
    10.(2022•宁波一模)如图所示,已知二次函数的图象与轴的一个交点为,另一个交点为,与轴的交点为点.
    (1)求的值;
    (2)若经过点的一次函数平分的面积.求、的值.

    【答案】(1);(2)
    【详解】(1)解:二次函数的图象与轴的一个交点为,


    (2)一次函数平分线段,
    一次函数经过的中点,
    令,
    解得,,
    点的坐标为,
    当时,,
    点的坐标为,
    点的坐标为,
    一次函数经过点

    解得:.
    11.(2022•鄞州区模拟)如图,已知抛物线经过、两点.
    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
    (2)当时,求的取值范围;
    (3)点为抛物线上一点,若,求出此时点的坐标.

    【答案】(1)抛物线的解析式为,顶点坐标为(2);(3)点坐标为或
    【详解】(1)把、分别代入中,
    得:,解得:,
    抛物线的解析式为.

    顶点坐标为.
    (2)由图可得当时,.
    (3)、,

    设,则,


    ①当时,,解得:,,
    此时点坐标为或;
    ②当时,,方程无解;
    综上所述,点坐标为或.
    12.(2022•海曙区一模)二次函数的自变量与函数值的对应值如表,根据下表回答问题.





    0





    0
    4

    (1)该二次函数与轴交点是   ,对称轴是   .
    (2)求出该二次函数的表达式;
    (3)向下平移该二次函数,使其经过原点,求出平移后图象所对应的二次函数表达式.
    【答案】(1);直线;(2);(3)
    【详解】(1)由表格可得,当时,,
    二次函数与轴交点是,
    和的函数值相同,都是,
    抛物线的对称轴是直线,
    故答案为:,直线;
    (2),,均在抛物线上,

    解得,
    抛物线的解析式为:;
    (3)抛物线向下平移4个单位后经过原点.
    平移后图象所对应的二次函数的表达式是.
    13.(2022•宁波模拟)已知抛物线经过,,三点.
    (1)求抛物线的表达式和顶点坐标.
    (2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在点处,并写出平移后抛物线的表达式.
    【答案】(1)抛物线的表达式为,顶点为;(2)见解析
    【详解】(1)抛物线经过,,三点,而、两点的纵坐标相同,
    抛物线的对称轴为直线,
    ,即,
    把的坐标代入得,
    解得,
    抛物线的表达式为,

    顶点为;
    (2)抛物线的顶点为,,
    把抛物线向左平移一个单位,向上平移2个单位平移后抛物线的顶点落在点处,
    平移后抛物线的表达式为.
    14.(2022•海曙区校级一模)已知二次函数是实数).
    (1)小明说:当的值变化时,二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动,你认为他的说法对吗?为什么?
    (2)已知点,都在该二次函数图象上,求证:.
    【答案】见解析
    【详解】(1)解:小明说法正确,理由如下:
    是实数),
    顶点坐标为,
    二次函数图象的顶点始终在直线上运动,
    故小明说法正确;
    (2)证明:点,都在该二次函数图象上,
    对称轴为直线,





    15.(2022•鄞州区校级一模)已知二次函数的图象经过点,,与轴交于点.
    (1)求该二次函数的解析式;
    (2)点在该二次函数上.
    ①当时,求的值;
    ②当时,的最小值为,求的取值范围.
    【答案】(1);(2)①1或5;②
    【详解】(1)设二次函数的解析式为,
    把点代入得,
    解得,

    该二次函数的解析式为;
    (2)①当时,则,
    解得,;
    故的值为1或5;
    ②,
    当时,函数有最小值,
    当时,即时,有最小值,
    故的取值范围是.
    16.(2022•江北区一模)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为,与直线相交于、两点,点是原点.
    (1)求二次函数的解析式.
    (2)求点的坐标.
    (3)直接写出不等式的解.

    【答案】(1);(2),;(3)
    【详解】(1)设抛物线顶点式为,
    将代入得,
    解得,

    (2)令,
    解得,,
    将代入,
    点坐标为,.
    (3)由图象可得时,抛物线在直线下方,
    不等式的解为.
    17.(2022•镇海区校级模拟)如图,直线与双曲线交于、两点,是第一象限内的双曲线上任意一点.
    (1)若点坐标为,,求点坐标.
    (2)若,连接,若的面积是34,求值.
    (3)设直线、分别与轴相交于、两点,且,,求的值.

    【答案】(1);(2);(3)2
    【详解】(1)把点代入得:,
    反比例函数解析式为,
    点坐标为,
    由反比例函数与正比例函数图象的对称性可得点坐标为,
    设,又,,
    ,,,


    整理化简得,

    解得(与重合,舍去)或(舍去)或或(舍去),

    (2)设,,则,
    将代入,得:,

    ,则,

    如图2,过点作交于点,过点作轴于点,过点作轴于点,
    则,



    ,,
    是等腰直角三角形,


    ,,
    ,,
    设直线的解析式为,
    则,
    解得:,
    直线的解析式为,
    联立方程组,得:,
    解得:,,
    是第一象限内的双曲线上任意一点,
    ,,

    过点作于点,
    则,

    的面积是34,
    ,即,


    (3)设,代入得:,

    解得:,,
    ,,,,
    过点、、分别作轴的垂线、、,垂足分别为、、,过点作轴的平行线交于,交于,
    则,,,,
    ,,,
    ,,
    ,,
    ,,
    ,,

    的值为2.

    18.(2022•宁波模拟)已知反比例函数为常数)的图象在第一、三象限.
    (1)求的取值范围;
    (2)如图,若该反比例函数的图象经过的顶点,点,的坐标分别为,,求出该反比例函数的解析式;
    (3)若,,,都在该反比例函数的图象上,且,则和有怎样的大小关系?

    【答案】(1);(2);(3)
    【详解】(1)的图象在第一、三象限,


    (2)四边形为平行四边形,
    ,,
    点坐标为,

    该反比例函数的解析式为;
    (3),
    ,两点都在第一象限,
    又该反比例函数在每一个象限内,函数值都随的增大而减小,

    19.(2022•宁波模拟)如图,二次函数为常数)的图象的对称轴为直线.
    (1)求的值.
    (2)向上平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

    【答案】(1);(2)
    【详解】(1)由二次函数为常数)知,该抛物线与轴的交点坐标是和.
    对称轴为直线,

    解得;
    (2)由(1)知,,则该抛物线解析式是:,即.
    抛物线向上平移3个单位后经过原点.
    平移后图象所对应的二次函数的表达式是.
    20.(2022•鄞州区一模)如图,抛物线与抛物线相交于点,点的横坐标为1.过点作轴的平行线交抛物线于点,交抛物线于点,抛物线与分别与轴交于点,.
    (1)求抛物线的对称轴和点的横坐标;
    (2)求线段和的长;
    (3)点在抛物线上,点在抛物线上,请比较与的大小关系并说明理由.

    【答案】(1)点的对称轴为,横坐标为;(2);(3)见解析
    【详解】(1)抛物线的对称轴为,
    轴,
    点与点关于对称轴对称,
    点的横坐标为;
    (2)抛物线的对称轴为,
    轴,
    点与点关于对称轴对称,
    点的横坐标为3,

    点是抛物线与抛物线的交点,


    令,则,,

    (3)根据,,的横坐标以及函数图象可知,点在下方,点在上方,

    21.(2022•慈溪市一模)如图,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于,两点.抛物线经过点,且交线段于点,.
    (1)求的值.
    (2)求点的坐标.
    (3)向左平移抛物线,使得抛物线再次经过点,求平移后抛物线的函数解析式.

    【答案】(1);(2);(3)
    【详解】(1)令,
    解得,,
    点坐标为,
    将代入得,
    解得.
    (2)令,
    解得,,
    将代入得,
    点坐标为.
    (3)将代入得,
    解得,,
    抛物线经过,
    抛物线向左平移2个单位后再次经过点,

    22.(2022•镇海区二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线、均为常数)交于点和点.
    (1)求和的值;
    (2)求点的坐标,并结合图象写出不等式的解集;
    (3)点是直线上的一个动点,点在点正下方(即轴),且,若线段与抛物线只有一个公共点,请直接写出点的横坐标的取值范围.

    【答案】(1),;(2)或;(3)或
    【详解】(1)将点的坐标代入抛物线表达式得:,解得:,
    将点的坐标代入直线表达式得:,解得;
    故,;
    (2)由(1)得,直线和抛物线的表达式为:,,
    联立上述两个函数表达式并解得,或(不符合题意,舍去),
    即点的坐标为,
    从图象看,不等式的解集为或;
    (3)由题意设点的坐标为,则点,
    线段与抛物线只有一个公共点,

    解得:或,
    点的横坐标的取值范围为或.
    23.(2022•余姚市一模)已知:一次函数,二次函数,为常数),
    (1)如图,两函数图象交于点,.求二次函数的表达式,并写出当时的取值范围.
    (2)请写出一组,的值,使两函数图象只有一个公共点,并说明理由.

    【答案】(1);(2)见解析
    【详解】(1)将代入得,
    将代入得,
    解得,
    抛物线经过点,,
    将,代入得,
    解得,

    由图象可得时,抛物线在直线上方,
    时的取值范围是.
    (2)令,整理得,
    当△时,两函数图象只有一个公共点,
    ,,满足题意.
    24.(2022•江北区模拟)小刚在用描点法画抛物线时,列出了下面的表格:


    0
    1
    2
    3
    4



    3
    6
    7
    6
    3

    (1)请根据表格中的信息,写出抛物线的一条性质:  ;
    (2)求抛物线的解析式;
    (3)将抛物线先向下平移3个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到新的抛物线;求抛物线的解析式.
    【答案】(1)抛物线与轴交于或抛物线的对称轴为直线或抛物线的顶点是(答案不唯一,写出一条即可);(2);(3)
    【详解】(1)由,可知抛物线与轴交于,
    由,;,知抛物线的对称轴为直线,
    结合,可知抛物线的顶点是等,
    故答案为:抛物线与轴交于或抛物线的对称轴为直线或抛物线的顶点是(答案不唯一,写出一条即可);
    (2)将,,代入得:

    解得,
    抛物线的解析式为;
    (3),
    抛物线的顶点是,
    把先向下平移3个单位长度,再向左平移4个单位长度得,
    抛物线的顶点为,
    抛物线的解析式为,
    即.
    25.(2022•宁波模拟)已知二次函数为常数)的图象与轴交于,两点,顶点为.
    (1)若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点,求的值.
    (2)①若,在已知的二次函数图象上,比较,的大小;
    ②求的面积.
    【答案】(1);(2)①;②1
    【详解】(1)二次函数图象向下平移3个单位后解析式为,
    由题意得,
    解得.
    (2)①,
    抛物线开口向上,对称轴为直线,


    ②令,则,
    解得,,
    ,点坐标为欸,

    26.(2022•宁波模拟)二次函数的图象如图所示,抛物线顶点为,与轴、轴分
    别交于点和点.
    (1)求,的值,并根据图象直接写出当时,的取值范围;
    (2)平移该二次函数的图象,使点恰好落在点的位置上,求平移后图象与坐标轴的交点.

    【答案】(1),;当时,的取值范围为;(2)函数图象与轴的交点为,和,,与轴的交点为
    【详解】(1)由题意得:,
    解得:,

    令,则,
    解得:,,
    二次函数的图象与轴的交点坐标为和,
    结合图象可知,当时,的取值范围为,
    ,;当时,的取值范围为,
    (2),
    点平移到点,抛物线向左平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的解析式为,
    令时,,
    函数图象与轴的交点坐标为,
    令,则,
    解得:,
    函数图象与轴的交点为,和,,与轴的交点为.
    27.(2022•宁波模拟)已知二次函数的部分图象如图所示.
    (1)求该二次函数图象的对称轴,并利用图象直接写出一元二次方程的解.
    (2)向上平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

    【答案】(1)抛物线对称轴为直线,,;(2)
    【详解】(1),
    抛物线对称轴为直线,
    抛物线经过,
    抛物线过点,
    的解为,.
    (2)抛物线经过原点,
    抛物线解析为.
    28.(2020秋•平阴县期末)如图,已知,是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.
    (1)求反比例函数和一次函数的解析式;
    (2)求的面积;
    (3)求不等式的解集(请直接写出答案).

    【答案】(1);(2)6;(3)或
    【详解】(1)把代入得,
    所以反比例函数解析式为,
    把代入得,解得,则点坐标为,
    把、代入得,解得,
    所以一次函数解析式为;
    (2)把代入得,解得,则点坐标为,
    所以;
    (3)或.
    29.(2022•鄞州区校级三模)已知点和都在二次函数的图象上.
    (1)求、的值;
    (2)将二次函数图象向上平移几个单位后,得到的图象与轴只有一个公共点?
    【答案】(1),= 5;(2)3个
    【详解】(1)点、是二次函数图象上的两点,且两点纵坐标都为
    点、关于抛物线对称轴对称,
    抛物线对称轴是直线,
    ,解得,
    抛物线解析式为,
    当时,;
    (2)设平移后抛物线的关系式为,
    平移后的图象与轴仅有一个交点,
    △,解得,
    即将二次函数图象向上平移3个单位时,函数图象与轴仅有一个公共点.
    30.(2022•鄞州区模拟)已知抛物线与轴交于点、,其中点坐标为,对称轴是直线,且抛物线与轴交于点.
    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标.
    (2)点是轴右侧抛物线上的动点,且到轴的距离不超过3,求的取值范围.

    【答案】(1)抛物线的解析式,顶点坐标为;(2)
    【详解】(1)抛物线与轴交于点、,点坐标为,对称轴是直线,
    点坐标为,
    设抛物线解析式为,
    把代入得,
    解得,
    抛物线解析式为,
    即;

    抛物线的顶点坐标为;
    (2)当时,,
    当时,,
    当时,,
    是轴右侧抛物线上的动点,且到轴的距离不超过3,
    的取值范围为.
    31.(2022•海曙区校级三模)如图,直线和抛物线都经过点,.
    (1)求的值和抛物线的解析式;
    (2)求不等式的解集.(直接写出答案)

    【答案】(1),;(2)或
    【详解】(1)把点,分别代入直线和抛物线得:
    ,,
    ,,,
    所以,;
    (2),解得:或.

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