湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题及答案

这是一份湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知直线等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．  B．  C．   D．2．复数z满足，则z的实部是A．－1     B．1     C．－3     D．33．已知是偶函数，则a＝A．－1     B．1     C．－2     D．24．若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为A．   B．   C．   D．5．有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程（千米）与时间t（时）的关系为，乙物体运动的路程（千米）与时间t（时）的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间A．    B．    C．    D．6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝A．4     B．6     C．    D．7．已知定义在R上的函数满足对任意的实数x，y，都有，则A．2023     B．－2023    C．0     D．18．欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程，以及数论中的欧拉函数等等．个数叫互质数）的正整数（包括1）的个数，记作．例如：小于或等于4的正整数中与4互质的正整数有1，3这两个，即．记为数列的前n项和，则A．   B．   C．   D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线：，：，圆C：，下列说法正确的是A．若经过圆心C，则B．直线与圆C相离C．若，且它们之间的距离为，则D．若，与圆C相交于M，N，则10．某统计机构对1000名拥有汽车的人进行了调查，对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图表，下列关于样本的说法错误的是A．30岁以上人群拥有汽车的人数为720B．40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多C．55岁以上人群每年购买车险的总费用最少D．40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用，比18～30岁和55岁以上人群购买车险的总费用之和还要多11．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，，，且，M，N分别为AD，BC的中点，EM与底面ABCD所成的角为，过点E作，垂足为H．下列说法正确的有A．AD⊥平面EFNM        B．C．异面直线EM与BF所成角的余弦值为  D．点H到平面ABFE的距离为12．已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为－1，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则A．          B．C．的最大值是       D．的最大值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知单位向量，满足，则向量与的夹角为               ．14．过点作曲线的切线，则切点的横坐标为               ，这条切线在x轴上的截距为               ．（本题第一空3分，第二空2分）15．在直三棱柱中，已知，，，则该三棱柱外接球的表面积为               ．16．现安排A，B，C，D，E这5名同学参加校园文化艺术节，校园文化艺术节包含书法、唱歌、绘画、剪纸四个项目，每个项目至少有一人参加，每人只能参加一个项目，A不会剪纸但能胜任其他三个项目，剩下的人都能胜任这四个项目，则不同的安排方案有               种．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记等差数列的前n项和为，已知，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，若，求m的值．18．（12分）已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值．19．（12分）为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行分析，把他们的成绩分成以下6组：，，，，，．整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值并估计全校学生的平均成绩μ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分，为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分但不超过81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15元．试估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元．（结果四舍五入保留整数）参考数据：，，．20．（12分）在图1中，△ABC为等腰直角三角形，，，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．（1）证明：FO⊥平面ABC．（2）求二面角E－FA－C的余弦值．21．（12分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线l与E交于A，B两点，的周长为8，且点在E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与圆O：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．22．（12分）已知函数，．（1）若，求的最小值；（2）若有两个极值点，，证明：．      高三数学考试参考答案1．A【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．因为，，所以2．C【解析】本题考查复数的有关概念，考查数学运算的核心素养．因为，所以z的实部是－3．3．D【解析】本题考查函数的性质，考查数学运算的核心素养．因为，所以，由，解得a＝2．4．A【解析】本题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养．因为，所以，把点的坐标代入方程，得，所以，则C的标准方程为．5．B【解析】本题考查函数的应用，考查直观想象的核心素养．设当甲、乙再次相遇时，所用的时间为t小时，则，分别作出，的大致图象，令，则为增函数，有唯一的极值点，则在上单调递减，在）上单调递增，由于，，，所以．6．D【解析】本题考查解三角形的知识，考查数学运算的核心素养．因为，所以，移项得，即，所以．7．C【解析】本题考查抽象函数的求值，考查数学抽象的核心素养．因为，所以，即．所以8．B【解析】本题考查数学文化与等比数列的求和，考查数学抽象与数学运算的核心素养．由题意，若正整数，且与不互质，则这个数为偶数或3的倍数，共有个，所以，即数列是首项为2，公比为6的等比数列，所以．9．AC【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养．对于A，因为圆心在直线上，所以，解得，A正确；对于B，因为直线恒过点，，即点在圆C内，所以与圆C相交，B错误；对于C，因为，则，与之间的距离，所以，C正确；对于D，因为圆心到直线的距离，所以，D错误．10．ABC【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养．对于A，由，知30岁以上人群拥有汽车的人数为820，故A错误；对于B，由图得不出40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多，故B错误；对于C，55岁以上人群每年购买车险的总费用约为元，18～30岁之间的人群每年购买车险的总费用约为1000×18%×2800＝504000元，故C错误；对于D，40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用约为元，，故D正确．11．AC【解析】本题考查几何体中线面垂直、夹角与距离，考查直观想象的核心素养．对于A，因为，M是AD的中点，所以EM⊥AD．又因为底面ABCD是矩形，点N是BC的中点，所以．因为MN∩EM＝M，所以AD⊥平面EFNM，所以A正确．由A的结论知，平面ABCD⊥平面EFNM，平面ABCD∩平面EFNM＝MN，因为，所以EH⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt△EMH中，，，，，则，，，，所以，．设直线EM与BF所成角为θ，则，所以B错误，C正确．对于D，，，，设平面ABEF的法向量为，所以，令，则，所以，所以D错误．12．BC【解析】本题考查抛物线的定义及性质，考查直观想象的核心素养．由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线对称，所以．设，，，则，同理可得，，则，得，所以，由，得．将代入抛物线C的方程，得，解得，故抛物线C的方程为，A错误，B正确．设，作MM＇垂直准线于（图略），由抛物线的性质可得，所以，当最小时，的值最大，所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即最小．由题意可得，设切线MN的方程为，联立方程组，消去x，得，由，可得，将代入，可得，所以，即M的坐标为，所以，，所以的最大值为，C正确，D错误．13．【解析】本题考查平面向量的夹角，考查数学运算的核心素养．因为，所以，解得．设向量与向量的夹角为θ，则，又，所以．14．－2；【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．设切点坐标为，因为，所以，即，解得，所以切线方程为，可知该切线在x轴上的截距为．15．36π【解析】本题考查三棱柱的外接球的表面积，考查直观想象的核心素养．由题设知AB，AC，两两垂直，设直三棱柱外接球的半径为R，则，解得，所以所求外接球的表面积．16．180【解析】本题考查排列组合的知识，考查数学建模与数学运算的核心素养．若A与其他一人参加同一个项目，则有种；若A独自一人参加一个项目，则有种．故共有种不同的安排方案．17．解：（1）设的公差为d，因为，所以，解得．又，所以．所以．（2）因为，所以．由，解得评分细则：【1】第一问，求出，得2分，求出，累计得4分，第一问全部正确解出，累计得5分．【2】第二问，求出，累计得7分，求出，累计得9分，最后求出，累计得10分．【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．18．解：（1）因为，所以的最小正周期为π．由，，解得，，所以的单调递增区间为．（2）因为，所以，所以，所以，当，即时，，所以的最大值为，此时．评分细则：【1】第一问，将化简为，得3分，求出最小正周期，累计得4分，第一问全部正确解出，累计得6分．【2】第二问，求出，累计得8分，求出，累计得10分，最后求出正确答案，累计得12分．19．解：（1）由题意可知，，解得（2）设参加知识竞赛的每位学生获得的学校食堂消费券为Y元，，，，，Y的分布列如下表：Y051015P0.158650.6827013590.02275，（元）．故估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券5114元．评分细则：【1】第一问，求出，得2分，求出，累计得4分．【2】第二问，每求出一个概率得1分，正确写出分布列累计得10分，正确写出期望累计得11分，直至最后写出正确结果为5114元，累计得12分．【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．20．（1）证明：连接OB，因为△ABC为等腰直角三角形，，，所以AC＝4，OB＝2．在等边三角形FAC中，，．又，所以，即．因为，所以FO⊥平面ABC．（2）解：以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，．设平面FAE的法向量为，由，得，令，得．易知平面FAC的一个法向量为．设二面角E－FA－C的大小为θ，则．评分细则：（方法二）（1）同上（1）．（2）作EM⊥AC，垂足为M，作MN⊥AF，垂足为N，连接EN．易证EM⊥平面ACF，从而EM|AF．又MN⊥AF，MN∩EM＝M，所以AF⊥平面EMN，则AF⊥EN，所以二面角E－FA－C的平面角为∠ENM．因为EM∥OB，所以，解得．在Rt△AMN中，，，所以，所以，所以，即二面角E－FA－C的余弦值为．21．解：（1）因为的周长为8，所以，解得．将点的坐标代入椭圆方程，解得．所以椭圆E的方程为．（2）由（1）知圆O的方程为，设直线l的方程为，则圆心O到直线l的距离．由，可得．设，，联立方程组，消去x得，则，，所以．设，则，易知在上单调递增，从而在上单调递增，因为，所以．评分细则：【1】第一问，求出，得2分，求出，累计得3分，求出标准方程累计得4分．【2】第二问，求出，累计得5分，求出，累计得6分，根据韦达定理写出，，累计得7分，求出，累计得8分，直到给出正确结论，累计得12分．【3】第二问，直线l的方程也可以设为和，参照上述步骤给分．22．（1）解：若，则，．令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值．（2）证明：，因为有两个极值点，，所以，是的两个根，即，所以．①令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，则，的图象如图所示．不妨设，，则，所以，所以，所以，②下面要证．．令，，则，令，则，所以在上单调递减，所以，从而，所以在上单调递减，所以，即，所以．③由②知，所以，即．评分细则：【1】第一问，写出，得1分，求出的单调区间，累计得3分，求出最小值为，累计得4分．【2】第二问，写出，累计得6分，推导出，累计得8分，分析出要证，累计得9分，证出，累计得11分，直至证出，累计得12分．【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．