2023年广东省广州市增城区官湖学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省广州市增城区官湖学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形具有两条对称轴的是(    )

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正方形

2.  如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列四个实数中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知三角形的两边长分别为和，则下列数据中能作为第三边长的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在半圆的直径上作个正三角形，如这半圆周长为，这个正三角形的周长和为，则和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

7.  在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  要反映我市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用(    )

A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布统计图

9.  方程的解是(    )

A.  B.  C. 或 D.

10.  如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上．连接，交于点，交于点给出以下结论：
；
；
和的面积相等；
当点与点重合时，，
其中正确的结论共有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知，则代数式的值为______．

12.  线段两端点的坐标分别为，，若将线段平移，使得点的对应点为点则平移后点的对应点的坐标为______ ．

13.  分解因式：____________．

14.  如图，是的弦，于点，连接、点是半径上任意一点，连接若，，则的长度可能是______ 写出一个符合条件的数值即可
 

15.  如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接若，，则的最小值为______．

16.  如图，中，，，，四边形是正方形，点是直线上一点，且，是线段上一点，且，过点作直线与平行，分别交，于点，，则的长是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解分式方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，已知，，是上一点，求证：．

19.  本小题分
已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

20.  本小题分
我市去年成功举办郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”我市有，，，，五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游只选一个景区的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是______人，______，并补全条形统计图；
若该小区有居民人，试估计去地旅游的居民约有多少人？
小军同学已去过地旅游，暑假期间计划与父母从，，，四个景区中，任选两个去旅游，求选到，两个景区的概率．要求画树状图或列表求概率
 

21.  本小题分
某工厂以元箱的价格购进箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产产品．甲车间用每箱原材料可生产出产品千克，需耗水吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的产品比甲车间少千克，但耗水量是甲车间的一半．已知产品售价为元千克，水价为元吨如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润最大？最大利润是多少？注：利润产品总售价购买原材料成本水费
 

22.  本小题分
阅读下列材料：
如图，在中，、、所对的边分别为、、，可以得到：

证明：过点作，垂足为．
在中，


同理：


通过上述材料证明：

运用中的结论解决问题：
如图，在中，，，，求的长度．

如图，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择、、三个测量点，在点测得在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶到达点，测得在北偏西方向上，根据以上信息，求、、三点围成的三角形的面积．
本题参考数值：，，，结果取整数
 

23.  本小题分
如图所示，的外接圆圆心在上，点是延长线上一点，于，交于，且是的边上的中线．
求证：；
试判断与的位置关系，并证明你的结论．

24.  本小题分
锐角中，，，两动点，分别在边，上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为．
中边上高______；
当______时，恰好落在边上如图；
当在外部时如图，求关于的函数关系式注明的取值范围，并求出为何值时最大，最大值是多少？

 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，过点作轴交抛物线于点．
求此抛物线的表达式；
点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；
若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、等边三角形有条对称轴，故本选项错误；
B、平行四边形无对称轴，故本选项错误；
C、矩形有条对称轴，故本选项正确；
D、正方形有条对称轴，故本选项错误；
故选：．
根据轴对称及对称轴的定义，结合所给图形即可作出判断．
本题考查了轴对称图形及对称轴的定义，常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，右齐．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查实数大小的比较，解答此类问题的关键是明确负数小于、小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
根据选项中的数据，可以比较它们的大小，从而可以解答本题．
【解答】
解：，
最小的实数是．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握各运算法则是解题的关键．根据积的乘方法则判断；根据单项式除以单项式的法则判断；根据单项式乘以单项式的法则判断；根据合并同类项的法则判断．
【解答】
解：，错误，故本选项不符合题意；
B.，错误，故本选项不符合题意；
C.，正确，故本选项符合题意；
D.，错误，故本选项不符合题意；
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：设这个三角形的第三边为．
根据三角形的三边关系定理，得：，
解得．
故选：．
首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
本题考查了三角形的三边关系定理．一定要注意构成三角形的条件：两边之和第三边，两边之差第三边．
 

6.【答案】 

【解析】解：设半圆的直径为，则半圆周长为：，
个正三角形的周长和为：，
，

故选B．
首先设出圆的直径，然后表示出半圆的周长与三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案．
本题考查了圆的认识及等边三角形的性质，解题的关键是设出圆的直径并表示出和．
 

7.【答案】 

【解析】解：设圈出的第一个数为，则第二数为，第三个数为，
三个数的和为：
三个数的和为的倍数
由四个选项可知只有不是的倍数，
故选A．
因为挂历上同一列的数都相对于前一个数相差，所以设第一个数为，则第二个数、第三个数分别为、，求出三数之和，发现其和为的倍数，对照四选项即可求解．
此题主要考查了列代数式，解决此题的关键是找出三数的关系，然后根据三数之和与选项对照求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，要求直观反映我市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．
故选：．
根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
此题主要考查统计图的选择，根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程变形得：，
分解因式得：，
解得：，．
故选：．
方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设与交于点，

将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，
垂直平分，
，，，，故正确，
，
，
又，
，
，

又，
，故正确，
，
四边形是菱形，
当点与点重合时，则，
，
，

，即，故正确，
过点作于点，

四边形是菱形，
平分，
，
又为公共边
，即
和的面积不相等，故错误；
故选C．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了求代数式的值以及单项式乘以多项式，正确将原式变形是解题关键．直接将原式变形，再利用已知代入原式得出答案．
【解答】
解：，
．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：，点的对应点为点．
变化规律是横坐标减，纵坐标减，
，
平移后点的对应点的坐标为，
故答案为．
先得到点的对应规律，依此得到的坐标即可．
考查点的平移变换；得到一对对应点的变换规律是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
首先将原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
由勾股定理得：，
由垂径定理得：，
只要举出的数大于等于且小于等于即可，如，
故答案为：．
根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可得出的范围是大于等于且小于等于，举出即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是求出的范围．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，

根据折叠的性质，≌，
，，
是边的中点，，
，
，
，
．
故答案为：．
如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出．
本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：中，，，，
，，
则，
为直角三角形，，
如图，当点位于点左侧时，
设直线交于点，

，
，，
又四边形是正方形，且，
，，
即，
解得，
，，
∽，
，
，
解得，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得；
如图，当点位于点右侧时，

与同理，此时，
，
∽，
，
，
解得，
综上所述，的长为或．
故答案为或．
结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明∽，∽，然后利用相似三角形的性质求解，注意对于点的位置要进行分类讨论．
本题考查勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质．
 

17.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验时，，
所以是分式方程的解． 

【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
 

18.【答案】证明：连接，
，
．
又，
两点确定一条直线，
是线段的垂直平分线．
．
．
．
． 

【解析】先利用线段的垂直平分线性质求出，为等腰三角形后即可求出．
线段垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等有关知识．只需转换等角的关系即可解，难度一般．
 

19.【答案】解：是等腰三角形，
理由：当时，，
，
是等腰三角形，

是直角三角形，
理由：方程有两个相等的实数根，
，
，
是直角三角形；

是等边三角形，
，
原方程可化为：，
即：，
，
，，
即：这个一元二次方程的根为，． 

【解析】将代入方程中，化简即可得出，即可得出结论；
利用一元二次方程有两个相等的实数根，用建立方程，即可得出，进而得出结论；
先判断出，再代入化简即可得出方程，解方程即可得出结论．
此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程．
 

20.【答案】解：；；

估计去地旅游的居民约有人；

画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中选到，两个景区的有种结果，
所以选到，两个景区的概率为． 

【解析】

【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
先由景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得；
利用样本估计总体思想求解可得；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到选到，两个景区的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】
解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，
则，即，
景区人数为人，
补全条形图如下：

故答案为，；

见答案；

见答案．  

21.【答案】解：设甲车间用箱原材料生产产品，则乙车间用箱原材料生产产品．
由题意得，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，取得最大值，为元．
答：甲车间用箱原材料生产产品，乙车间用箱原材料生产产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为元． 

【解析】设甲车间用箱原材料生产产品，则乙车间用箱原材料生产产品，根据题意列出不等式，确定的取值范围，然后列出，利用一次函数的性质，即可解答．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出关系式，利用一次函数的性质解决问题．
 

22.【答案】解：，
，
，
：同理得：，
；
由题意得：，，，
，即，
，
；
由题意得：，，
，
由得：，
，
． 

【解析】根据材料中的，化为比例式可得结论；
根据公式，直接代入可得结论；
先根据公式计算的长，由可得结论．
本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关键是理解并运用公式解决问题．
 

23.【答案】证明：为的直径，
，则，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
；
是的切线．理由如下：
连接，如图，
是的边上的中线，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

是的切线． 

【解析】根据圆周角定理得到，则，而，根据等角的余角相等得到，然后根据“”判断≌，则；
根据直角三角形斜边上的中线性质得，则，所以，而，于是得到，
即，然后根据切线的判定定理得到是的切线．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查来了三角形全等的判定与性质．
 

24.【答案】解：；
；  
设分别交，于，，则四边形为矩形．

设，交于如图，，．
，
∽．
，即，
．
，
配方得：．
当时，有最大值，最大值是． 

【解析】

【分析】
根据三角形的面积公式求出中边上高的长度．
根据∽，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，求出的值；
用含的式子表示矩形的的长，从而求出面积的表达式，根据二次函数的性质即可求解．
本题结合相似三角形的性质及矩形面积计算方法，考查二次函数的综合应用，解题时，要始终抓住相似三角形对应边上高的比等于相似比，表示相关边的长度．
【解答】
解：由，，得；
当恰好落在边上时，设交于，
，∽．
，
即，或；
见答案．  

25.【答案】解：抛物线交轴于点，交轴于点和点，
，得，
此抛物线的表达式是；
抛物线交轴于点，
点的坐标为，
轴，点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，
点的纵坐标是，点到的距离是，
当时，，得或，
点的坐标为，
，
的面积是：；
设点的坐标为，如右图所示，
设过点，点的直线的函数解析式为，
，得，
即直线的函数解析式为，
当时，，
，
的面积是：，
点是直线下方的抛物线上一动点，
，
当时，取得最大值，此时，点的坐标是，
即点的坐标是时，的面积最大，此时的面积是． 

【解析】根据题意可以求得、的值，从而可以求得抛物线的表达式；
根据题意可以求得的长和点到的距离，从而可以求得的面积；
根据题意可以求得直线的函数解析式，再根据题意可以求得的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．