2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知点在反比例函数的图象上，则下列说法错误的是(    )

A.  B. 图象经过
C. 随增大而增大 D. 当时，

5.  由个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，它的三视图中面积最大的是(    )

A. 主视图
B. 左视图
C. 俯视图
D. 无法确定

6.  如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以海里小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则、之间的距离为(    )

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

7.  如图，平行四边形，是延长线上一点，与、分别交于点、，则下列说法错误的是(    )

A. ：： B. ：：
C. ：： D. ：：

8.  有一矩形长边米，短边米，现将长边加长米、短边同时缩短米，使变化后的矩形面积为平方米，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，已知中，，，，将绕直角顶点顺时针旋转得到，若点是的中点，连接，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  某天早晨，小明从家出发步行上学，小明爸爸发现若小明按目前步行速度每分钟米的速度上学则要迟到，于是立即骑上自行车从家出发追赶小明，追上小明后带着小明一起到学校，结果比小明步行到达学校少用分钟，假设步行和骑车的速度均为匀速，如图表示小明爸爸出发时间分钟与离家距离米的函数图象，则小明家到学校的距离是米．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  把用科学记数法表示为______．

12.  函数中，自变量的取值范围是______．

13.  计算： ______ ．

14.  把多项式分解因式的结果是______ ．

15.  不等式组的解集是______ ．

16.  一个扇形的半径是，面积是，则此扇形的圆心角为______ 度
 

17.  已知边长为的正方形中，点为上一点，，为中点，过作直线分别与、相交于、，若，则 ______ ．

18.  如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则 ______ 度
 

19.  小明的卷子夹中放了大小相同的试卷共张，其中语文张、数学张、英语张，则随机抽出一张试卷为数学试卷的概率为______ ．

20.  如图，四边形中，，，，，在上，连、，若，，则______．

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

21.  先化简，再求值，其中
 

四、解答题（本大题共6小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22.  本小题分
已知：图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，点、点在小正方形的顶点上．
在图中画出点在小正方形的顶点上，使是等腰三角形且为钝角三角形；
在图中画出点在小正方形的顶点上，使是等腰三角形且直接写出的面积．

 

23.  本小题分
为了响应国家提出的“每天锻炼小时”的号召，某校积极开展了形式多样的“阳光体育”运动，小明对该班同学参加锻炼的情况进行了统计，每人只能选其中一项并绘制了下面的图和图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
小明这次一共调查了多少名学生？
通过计算补全条形统计图．
若该校有名学生，请估计该校喜欢足球的学生约有多少人？

 

24.  本小题分
在平行四边形中，点在上，点在上，连接、、、，．

如图，求证：四边形是平行四边形；
如图，若是的中点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以为边或以为对角线的所有平行四边形．

25.  本小题分
某汽车销售公司销售、两种品牌汽车，每辆品牌汽车售价比每辆品牌汽车售价多万，月份品牌汽车销售额为万元，品牌汽车销售额为万元，销售的品牌汽车数量恰好是品牌汽车销售数量的倍．
求、品牌汽车的售价分别是多少万元？
品牌汽车进价每辆万元，品牌汽车进价每辆万元，时值五一黄金周，汽车销售公司让利销售，决定每售出一辆品牌汽车，返还顾客现金万元；每售出一辆品牌汽车，按九折付款为了完成五月份的两种汽车销量都比月份翻一番，并且保证利润不低于万元，则返还顾客的现金万元最多是多少？

26.  本小题分
如图，在中，直径弦．
求证：劣弧劣弧；
如图，弦与弦交于点，弦，连接，若弧弧，求证：；
如图，在的条件下，设与交于点，与交于点，延长至点，使，连接并延长交于点，若，，，求的长．

 

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，，点的横坐标为，且为抛物线的顶点，点的横坐标为．
求的值；
如图，作轴，交抛物线于另一点，交轴于点，若线段与轴交于点点不与点，重合，连接交轴于点，设的面积为，求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，在延长线上取点，连接并延长，交轴于点，连接，若，的面积为，求与的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：旋转，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；
B.旋转，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
C.旋转，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
D.旋转，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
故选：．
根据中心对称图形的性质得出图形旋转，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，故A正确，不合题意；
，故B正确，不合题意；
，
反比例函数的图象在每个象限随的增大而增大，故C错误，符合题意；
，
反比例函数的图象在二，四象限，
当时，，故D正确，不合题意．
故选：．
根据反比例函数系数即可判断出；根据各点横坐标的特点即可判断；根据反比例函数的增减性即可判断、；
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：作图如下：

所以它的三视图中面积最大的是主视图．
故选：．
主视图有列，每列小正方形数目分别为，，；左视图有列，小正方形数目为；俯视图有列，小正方形数目分别为，，．
本题考查了作图三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．解题的难点是推知是等腰直角三角形．如图，根据题意易求是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求的长度．
【解答】
解：如图，，，
，
．
又，，，
．
在直角中，，
海里．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，，，
，
∽，
：：，所以选项不符合题意；
，
：：，
，
：：，所以选项不符合题意；
，
∽，
：：，所以选项符合题意；
，
∽，
：：，
，
：：，所以选项不符合题意．
故选：．
先根据平行四边形的性质得到，，，，再证明∽，则利用相似三角形的性质可对选项进行判断；由于，根据平行线分线段成比例定理得到：：，然后利用可对选项进行判断；通过证明∽，则利用相似三角形的性质可对选项进行判断；证明∽得到：：，然后利用可对选项进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：变化后的长边米，短边米，
变化后的矩形面积．
故选：．
由原矩形的长和宽，可得出变化后的长边米，短边米，结合变化后的矩形面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，如图，
绕直角顶点顺时针旋转得到，
，，，
，
点是的中点，
为的中位线，
，，
在中，．
故选：．
作于，如图，利用旋转的性质得，，，再证明为的中位线，，，然后根据勾股定理计算的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象得，爸爸的速度为米秒，
设爸爸送小明上学的时间为分钟，
则，
解得，
米，
小明家到学校的距离为米．
故选：．
根据图象求出爸爸的速度，再设爸爸送小明上学的时间为分钟，根据两人所走路程相同列出方程，解方程即可．
本题考查一次函数的应用，关键是从图象中读取有效信息求出爸爸的速度．
 

11.【答案】 

【解析】解：把用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，．
故答案为：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得，
解得．
故不等式组的解集为．
故答案为：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

16.【答案】 

【解析】解：设这个扇形的圆心角为，
，
解得，，
故答案为：．
根据一个扇形的半径为，面积为，然后根据扇形面积公式，即可求得这个扇形的圆心角的度数．
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式．
 

17.【答案】或 

【解析】解：根据题意画出图形，过作，交于点，
四边形为正方形，
，
在中，，
，
，
，
，即，
根据勾股定理得：，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即，
在中，，，
，
由对称性得到，
综上，等于或．
故答案为：或．
根据题意画出图形，过作，交于点，由为正方形，得到，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长，进而利用勾股定理求出的长，根据为中点求出的长，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到，，再由与平行，得到，进而得到垂直于，在直角三角形中，根据的长，利用锐角三角函数定义求出的长，再利用对称性确定出的长即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
，
点是弧的中点，
，
，
．
故答案为：．
接，易得，根据三角形内角和定理得，由点是弧的中点得，所以，然后利用进行计算．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

19.【答案】 

【解析】解：试卷共张，其中语文张、数学张、英语张，
随机抽出一张试卷为数学试卷的概率为．
故答案为：．
直接利用概率公式计算可得答案．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

20.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
由勾股定理得：；
，
，
又，
，
为等边三角形，
，
，
又，
，
在和，

≌．
．
故答案为：．
过点作于点，利用含角的直角三角形的性质求得，则的值可求，再用勾股定理求得、和的值，然后判定为等边三角形，之后判定≌，由全等三角形的性质可得答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理在计算中的应用等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可知：，
原式，
，
，
当时，原式． 

【解析】根据锐角三角函数的值以及分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

22.【答案】解：即为所求；
即为所求；

 

【解析】利用勾股定理发现，作即可解决问题；
由是等腰三角形且，可知是等腰直角三角形，作，即可；
本题考查作图应用与设计、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：名，
名，补全统计图如图：

，名
答：若该校有名学生，估计该校喜欢足球的学生约有人． 

【解析】用打篮球的人数除以打篮球人数所占的比例进行计算即可；
求出打乒乓球的人数，不全条形图即可；
用总人数乘以喜欢足球的人所占的比例，即可求得．
本题考查条形统计图，正确从图中获取有用信息是解题关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
在和中，，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：是的中点，
，
以为边的平行四边形有平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形；
以为对角线的平行四边形有． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，，由证明≌，得出，即可得出四边形是平行四边形；
由中点的定义得出，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：设品牌汽车售价是万元，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
万元，
答：、品牌汽车的售价分别是万元和万元．
辆，辆，
，
解得：，
答：返还顾客的现金万元最多是万元． 

【解析】求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：销售的品牌汽车数量恰好是品牌汽车销售数量的倍．
根据利润不低于万元得出不等式解答即可．
本题考查分式方程和一元一次不等式的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
 

26.【答案】证明：连接，，令交于点，

直径弦，
，
劣弧劣弧；
证明：连接，，如图，

，，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
；
解：连接，如图，

为的直径，
，
，
，
，
，
设，则
由知．
，
，
，
，
，
延长交于点，

，
．
设，则，
过点作于，连接，
，
为斜边中线，
，
，，
设，则，
，
，
，
，
，
在和中，

≌，
，
在中，
，
，
过点作于点，则，
，，
，
，
是的中位线，
，，
在中，
，
，
中，
由勾股定理得：，
，
．
，
又，
为等腰直角三角形，
，且．
在中，
，
过点作于，
是等腰三角形，
，
在中，
由勾股定理得：，
，
过点作于，
则，
，
，
．
在中，
由勾股定理得：，
连接，
，
，，
，
，
．
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，
，
．
在中，
由勾股定理得：．
过点作于，
等腰中，，
，．
，
．
在中，
，
，
在中，
由勾股定理得：，
． 

【解析】连接，，利用垂径定理和圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理解答即可；
连接，，利用圆周角定理得到，再利用全等三角形的判定定理和性质定理解答即可；
连接，利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到，设，利用三角形的内角和定理及其推论得到；延长交于点，设，则，过点作于，连接，利用直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线的性质和三角形的内角和定理及其推论得到，通过证明≌，求得，在中，利用勾股定理和浙江省举行的边角关系定理得到；过点作于点，过点作于，过点作于，过点作于，利用勾股定理和直角三角形的边角关系定理求得相关线段的长度，最后利用求得结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的中位线，本题综合性较强，添加恰当的辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：点的横坐标为，且为抛物线的顶点，
由顶点坐标公式得：，
解得：；

，
轴，
根据点的对称性，点的横坐标为，
，，

直线交轴于点，
，
过点作轴于，

，
，
∽，
，
，则，
，
交点的横坐标为，
，，
解得：，
，
故，，
，
抛物线顶点在第四象限，
，
，
且，；

设交轴于点，过点作轴于，延长交于，

，
，
．
，，
，
，，
≌，
，，

，
，
，
，
，
由题意得：，则，
，则，
点的横坐标是，则，
点的横坐标是，则，
，
，，

，
，，
由知，，，
，
则，
解得：，
，
综上，，． 

【解析】点的横坐标为，且为抛物线的顶点，，即可求解；
证明∽，得到，则，进而求解；
由，得到，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形全等、解直角三角形、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．