2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位后，得到的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知中，，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列因式分解正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点，连接则下列结论不一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如果实数，满足方程组，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知一次函数，当时，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，将绕点按顺时针方向旋转至，使点落在的延长线上已知，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，过点作交于点，过点作交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  如图，在中，平分，若，，则          ．

13.  把三角板的斜边紧靠直尺单位：厘米平移，三角板的一个顶点从刻度“”平移到刻度“”，则这个顶点平移的距离为______ 厘米．

14.  在中，，，，如图所示．如果将绕着点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，连接，那么的长等于______．

15.  关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值为______ ．

16.  如图，在等腰直角三角形中，，，点，分别为边，上的动点，且，当的值最小时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
因式分解：
 

18.  本小题分
已知：整式
当时，求的值；
若的取值范围如图所示，求的所有负整数值．

19.  本小题分
已知，求的值．

20.  本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点网格线的交点上．

将向上平移个单位，再向右平移个单位，得到，请画出；
以边的中点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出；
线段的长为______ ．

21.  本小题分
为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共个，购买资金不超过元．若每个篮球元，每个足球元，求篮球最多可购买多少个？

22.  本小题分
如图，已知，点是的平分线上一点，点，分别是边，上的点，且．
求证：是等边三角形；
若点到的距离为，则 ______ ．

23.  本小题分
在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使得．

如图，延长到点，使得，连接，求证：；
如图，连接，的延长线交于点，若，判断与的位置关系，并说明理由．

24.  本小题分
某网店直接从工厂购进、两款自拍杆，进货价和销售价如表：注：利润销售价进货价

网店第一次用元购进、两款自拍杆共个，求这两款自拍杆分别购进多少个？
第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进、两款自拍杆共个进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元求最多可以购进多少个款自拍杆？并直接写出再次购进、两款自拍杆的最大销售利润．

25.  本小题分
已知：在等腰中，，把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点．

如图，若，平分，求的度数；
在旋转过程中，若直线，相交于点，
如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数；
设，请直接用含的式子表示；
如图，若，请直接写出的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：将点向下平移个单位后，纵坐标减，所以平移后点的坐标为．
故选：．
根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可．
本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握点的平移规律是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
故选：．
按照解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据等腰三角形两底角相等得出，再根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，无法分解因式，此选项错误，故该选项不符合题意；
B、，此选项错误，故该选项不符合题意；
C、此选项错误，故该选项不符合题意；
D、，此选项正确，故该选项符合题意．
故选：．
直接利用提取公因式以及公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
，，
，
，，选项正确，选项不一定正确，
故选：．
由作图可得是线段的垂直平分线，所以，，所以，进而可以进行判断．
本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
方程组中第二个方程整理后求出的值，原式利用平方差公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
本题主要考查了二元一次方程组的解，以及平方差公式，将原式进行适当的变形是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，
，
随着的增大而减小，
当时，则的取值范围是，
故选：．
先求出时，的值，再根据一次函数的性质与系数的关系即可确定答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：旋转的性质可得，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理及外角的性质可得答案．
此题考查的是旋转的性质，掌握三角形内角和定理及其性质是解决此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
作于，由，得到，求出，得到，因此，求出的长，即可得到的长，从而求出的长．
本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【解答】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
．
故答案为：．
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．  

13.【答案】 

【解析】解：厘米．
故答案为：．
图形平移，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动，三角板平移后，三角板的各顶点都向同一个方向移动相同的距离，顶点平移的距离是：厘米．
本题考查了平移的性质，图形平移要注意：方向；距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于，

将绕着点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
过点作，交的延长线于，由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组有且只有三个整数解，
不等式组的整数解为、、，
则，所以的最大值为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解情况可得的范围，继而得出答案．
本题考查的是一元一次不等式组整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，且，连接，交于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
则，

在等腰直角中，，，
在和中，

≌，
，
，
即的最小值即为的长，此时点与点重合，
，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理，
得，
，
或舍去，
，
，
，，
∽，
，
即
解得，
取得最小值时，的长度为，
故答案为：．
过点作，且，连接，交于点，过点作，交的延长线于点，可证≌，根据全等三角形的性质可得，可知的最小值即为的长，此时点与点重合，再证明∽，根据相似三角形的性质可得：：，即可求出当的值最小时，的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

18.【答案】解：根据题意得，；
由数轴知，，
即，
，
解得，
为负整数，
，． 

【解析】把代入代数式中进行计算便可；
根据数轴列出的不等式进行解答便可．
本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第题关键是根据数轴列出的不等式．
 

19.【答案】解：，
，
得：，




． 

【解析】把已知条件进行化简，再对所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求．

线段的长．

根据平移的性质可得；
根据旋转的性质可得．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设篮球可购买个，则足球可购买个，根据题意得：
，
解得：，
为整数，
最大取，
故篮球最多可购买个． 

【解析】设篮球可购买个，则足球可购买个，根据购买足球和篮球的资金不超过元建立不等式求出其解即可．
本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】证明：作于点，于点，则，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形．
解：，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
≌，
，
，
故答案为：．
作于点，于点，可证明，则，由角平分线的性质得，即可证明≌，得，所以是等边三角形；
由，，得，则，所以，得，再证明≌，则，而，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
；
解：，理由如下：
延长至点，使，连接，，

由同理得，，，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用证明≌，得，再根据平行线的判定即可证明结论；
延长至点，使，连接，，由同理得，，，再说明，即可证明结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：设网店第一次购进个款自拍杆，个款自拍杆，
根据题意得：，
解得：．
答：网店第一次购进个款自拍杆，个款自拍杆；
设购进个款自拍杆，则购进个款自拍杆，
根据题意得：，
解得：，
设再次购进、两款自拍杆的销售利润为元，则，
即．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：最多可以购进个款自拍杆，再次购进、两款自拍杆的最大销售利润为元． 

【解析】设网店第一次购进个款自拍杆，个款自拍杆，利用总价单价数量，结合网店第一次用元购进、两款自拍杆共个，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进个款自拍杆，则购进个款自拍杆，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设再次购进、两款自拍杆的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润销售数量购进数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

25.【答案】解：，，
，
把绕点逆时针旋转得到，
，
平分，
，
，
的度数是；
设，
，
，
把绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
；
设，
，
，
把绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
；
即；
在线段上取一点，使，连接，如图：

，，
≌，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得，
． 

【解析】由，，可得，根据把绕点逆时针旋转得到，可得，又平分，即得，故；
设，有，从而，又，得，故，即得；
设，同的方法可得；
在线段上取一点，使，连接，证明≌，得，，可得，设，即可得，由，知，，根据，，得，可得，故，解得．
本题考查几何变换综合应用，涉及等腰三角形的性质及应用，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．