精品解析：北京市海淀外国语实验学校2023届高三三模检测数学试题（解析版）

海淀外国语2022－2023学年第二学期高三数学检测试卷

一、单选题（每小题4分，共10小题，总计40分）

1 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式得到，根据题意得到，再由集合交集的概念得到结果.

【详解】由集合，解不等式得到：，

又因为，根据集合交集的概念得到：，故D正确.

故选：D

2. 若，则z=（    ）

A. 1–i B. 1+i C. –i D. i

【答案】D

【解析】

【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.

【详解】因为，所以.

故选：D

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.

3. 已知函数，则

A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数

C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质可得y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，据此分析可得答案．

【详解】根据题意，f（x）＝（）x﹣2x，

有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，

又由y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，

故选D．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题．

4. 若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由，因为，可得，当不确定，所以A错误；

对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；

对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；

对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.

故选：D.

5. 某班分成了A､B､C､D四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用列举法结合古典概型概率公式即得.

【详解】从A､B､C､D四个学习小组中随机抽取两个小组有共6种结果，

其中组和组恰有一个组被抽到的结果有共4种结果，

所以组和组恰有一个组被抽到的概率为.

故选：C.

6. 已知平面，则 “∥”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】若以“”作为条件，先证明l垂直于γ，进而证明“”；若以“”作为条件，结合正方体即可判断.

【详解】如图1，设，在内作直线m，使得，而，所以.

在内作直线n，使得，而，所以.

于是，又因为，所以，而，所以，故.

如图2，

过直线l作平面与平面交于r，若，则以，而，故.

如图3，在正方体，记平面，平面，平面ABCD，平面分别为，容易判断，但.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7. 已知函数，是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题中条件求出的值，结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.

【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，，

，

因为是的一个极值点，则，则，

因为，，则，

因此，.

故选：D.

8. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得的值，进而根据离心率可求得结果.

【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；

由圆的方程知：圆心为，半径；

与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，

两条渐近线截圆所得弦长相等，

不妨取，即，则圆心到直线距离，

弦长为，解得：，

双曲线离心率.

故选：C.

9. 已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（    ）

A.  B.  C. 是递减数列 D. 存在最小值

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列的性质分别进行判断即可.

【详解】A：当时，，，成立，当时，，，不成立，A选项错误；

B：成立，B选项正确；

C：当时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，C选项错误；

D：当时，存在最小值，当时，存在最大值，D选项错误；

故选：B.

10. 定义函数的值为不超过正实数x的素数的个数（素数是大于1且只以1和自身为因数的正整数），则表示正整数集合，中素数所占的比例．数学家发现，当n非常大时这个比例接近于的值．由此估计，下列选项中与区间中素数的个数最接近的是（    ）（提示：，）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列出素数的个数计算公式即可求解.

【详解】由题意可得

.

故选：B

二、填空题（每小题5分，共5小题．总结25分）

11. 已知，则__________．（用数字作答）

【答案】

【解析】

【分析】在已知条件中分别令，，将所得两式相减即得所求

【详解】

令，则

令，则

所以

故答案为：

12. 已知，是单位向量，.若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】先通过得到，再通过计算可得答案.

【详解】且

即

故答案为：.

13. 已知O为坐标原点，点，，则的面积为_____________．

【答案】##

【解析】

【分析】由题意，得，计算，，再利用三角形的面积公式代入计算即可.

【详解】由题意，可得，，，所以

故答案为：

14. 如图，在三棱锥中，，，平面平面为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】首先设，然后利用三棱锥的体积公式求出三棱锥体积的表达式，最后根据二次函数求解最值即可.

【详解】如图，在三棱锥中，

由题意，，，

底面是等腰直角三角形，

为的中点，则，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，平面，，是直角三角形，

因为，，，、平面，

平面，

设，三棱锥的体积为，其中为到平面的距离，

，

，

故当时，三棱锥的体积达到最大值，最大值为.

故答案为：

15. 已知数列满足，，给出下列四个结论：

①数列的前n项和；

②数列的每一项都满足；

③数列的每一项都满足；

④存在，使得成立．

其中，所有正确结论的序号是________．

【答案】②③

【解析】

【分析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对②③④进行判断，算出即可判断①.

【详解】，，，

，①错误；

，为单调递减数列，

又因为，所以，所以，②正确；

由可得，即，

又，两边同时除以，可得：

，，… ，，

累加可得，即有，

当时，，所以，④错误；

，，，满足；

由④可知，且时，

，

可得，则，故③正确.

故答案为：②③.

【点睛】思路点睛：

数列中出现大小比较时，若通过原数列或者构造新数列不能找到大小关系，常见思路为对数列进行放缩，通过将数列放缩为一个简单的通项公式再进行大小比较.

三、解答题

16. 已知函数．

（1）求函数取最大值时的取值集合；

（2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简，再求取得最大值时的的取值集合即可；

（2）求得的单调减区间，结合题意，即可求得的最大值.

【小问1详解】

由题意，得，

当取最大值时，即，此时，

所以的取值集合为．

【小问2详解】

由，得，

，，

即，，

所以的减区间，，

当，得是一个减区间，且，

所以，

所以，所以的最大值为．

17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．

（1）求证：；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．

条件①：；

条件②：平面平面；

条件③：．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)由底面是正方形得，用线面平行的判定定理证得平面，再用线面平行的性质定理证得；

(2) 若选条件①②，由平面平面得，，由为正方形得，即可建立空间直角坐标系，由点的坐标求出向量的坐标，从而求出平面和平面的法向量，代入夹角公式即可求出平面与平面所成锐二面角的大小；若选条件①③，易证得平面，从而证得，所以平面，从而得到，又因为，则可说明为等腰直角三角形，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解；若选条件②③，由平面平面，可证平面，所以，，又由平面，可证，结合可得点为的中点，则可得，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解.

【小问1详解】

证明：因为底面是正方形，所以，

平面，平面，所以平面，

又因为平面与交于点，平面，平面平面

所以．

【小问2详解】

选条件①②，则，平面平面.

因为侧面为等腰直角三角形，且，即，，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又因为平面，平面，所以，，

又由为正方形得．

以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

因为，所以点为的中点，则,

从而，，，

设平面的法向量为，则，

令，可得,

设平面的法向量为，则，

令，可得，

所以，

则两平面所成的锐二面角为．

选条件①③，则，．

侧面为等腰直角三角形，且，即，，

因为，，且两直线在平面内，可得平面，

因为平面，则．

又因为，，且两直线在平面内，

则平面，

因为平面则，

因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点.

又因为，所以为等腰直角三角形，

则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下用与①②相同的过程求解．

选条件②③，则平面平面，．

因为侧面为等腰直角三角形，且，

即，，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又因为平面，平面，所以，，

又由为正方形得．

因为，，且两直线在平面内，则平面，

因为平面，则，

因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点，则.

则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下的过程与①②相同．

18. 单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分.最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：

（1）从上表5站中随机选取一站，求在该站甲运动员的比赛成绩高于乙运动员的比赛成绩的概率；

（2）设甲乙成绩相互独立，从甲的5站比赛成绩和乙的5站比赛成绩中分别随机选取一个，求两人的比赛成绩中至少有一人高于88分的概率；

（3）甲5站的比赛成绩的平均值为，甲乙5站比赛成绩的总平均值记为，比较与的大小（直接写出结果）.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）<.

【解析】

【分析】（1）由题意确定甲乙各站对应成绩，进而判断甲成绩比乙高的站数，即可得概率.

（2）首先确定抽到甲、乙低于88分的概率，再利用对立事件的概率公式及独立事件的乘法求概率.

（3）根据数据求出甲的平均成绩、甲乙两人的总平均成绩，即可判断它们的大小.

【小问1详解】

由表格数据知：各站甲乙对应成绩如下，

其中第2、4站甲成绩比乙高，故随机选取一站，甲运动员成绩高于乙运动员的概率.

【小问2详解】

由（1）知：甲成绩低于88分有3站,，乙成绩低于88分有1站，

所以抽到甲低于88分的概率为，抽到乙低于88分的概率为，

抽到甲乙都低于88分的概率为，则两人至少有一人高于88分的概率为.

【小问3详解】

由（1），，

，

所以.

19. 已知椭圆的焦距为2，一个顶点为A（0，2）.

（1）求椭圆E的标准方程及离心率；

（2）过点P（0，3）的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B、C，直线AB、AC分别交直线于点M、N.求|的值.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知及椭圆参数关系求出椭圆参数，即可得标准方程和离心率；

（2）由题意可得、且，联立椭圆方程，应用韦达定理及，即可求值.

【小问1详解】

由题设，则，故E标准方程为且.

【小问2详解】

由题设，，则，同理，

而，联立椭圆可得，

所以，可得或，

且，，

所以

20. 已知函数

（1）若，求的单调区间；

（2）是函数的极小值点，求实数a的取值范围；

（3）若的最小值为，求实数a的值.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为和．   

（2）   

（3）或

【解析】

【分析】（1）由导数与单调性的关系求解

（2）由导数与极值的关系求解

（3）根据的取值分类讨论单调性后列方程求解

【小问1详解】

当时，， ，

当或时，，当时，，

故的单调递增区间为，单调递减区间为和．

【小问2详解】

，，

令，得或，

若是函数的极小值点，则，得，经检验，满足题意

故a的取值范围为．

【小问3详解】

由（2）得，

①时，当或时，，当时，，

在和上单调递减，在上单调递增，

而趋向正无穷大时，，

若的最小值为，令，得，满足题意，

②时，在上单调递减，无最小值，不合题意，

③时，当或时，，当时，，

在和上单调递减，在上单调递增，

而趋向正无穷大时，，

若的最小值为，令，得，满足题意，

综上，或

21. 已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项（），顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，．

（1）判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；

数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．

（2）数列的子列长度为m，且为完全数列，证明：m的最大值为6；

（3）数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．

【答案】（1）数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由见详解   

（2）证明见详解    （3）

【解析】

【分析】（1）根据题意逐项分析判断即可；

（2）根据题意利用反证法结合等差数列求和分析说明；

（3）根据题意转化为求的各项最小值，结合题意分析运算即可.

【小问1详解】

数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由如下：

数列①：因为，所以数列①不是完全数列；

数列②：因为，

，

即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列②是完全数列.

【小问2详解】

假设存在完全数列，其长度为，则，

则长度为的数列的每一子列的所有项的和有个，

设其所有项的和的最小值为，最大值为，

则，

可得，

整理得，

当时，；

当时，；

当时，；

当，则，，

所以；

综上所述：当时，不存在，使得成立.

所以假设不成立，则，且，符合题意，

所以m的最大值为6.

【小问3详解】

因为长度，且为完全数列，且，

可知的最小值为1，的最小值为2，取；

因为，则的最小值为4，取；

因为，则的最小值为8，取；

因为，

，

则的最小值为16，取；

此时均取到对应的最小值，则均取到对应的最大值，

则，

所以的最大值为.

【点睛】关键点睛：1.对于数列新定义问题，要充分理解题意，根据题意分析运算；

2.对于直接证明比较困难，可以采用反证法，适当放缩运算求解.