2022北京三十五中高一6月月考数学

2022北京三十五中高一6月月考

数    学

2022.6

一､选择题（共25个小题，每题3分，共75分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题纸相应的题号处）

1. 在复平面内，复数，那么（    ）

A. 1 B.  C.  D.

2. 下列命题中，正确的命题是（    ）

A. 空间不同三点确定一个平面

B. 若一直线与两条平行线都相交，则这三条直线在同一平面内

C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D. 有三条直线两两相交，则三条直线一定共面

3. 下列函数中，最小正周期为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. （    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知在中，，则等于（    ）

A  B.  C. 或 D.

6. 若a，b是异面直线，直线，则c与b的位置关系是（    ）

A 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交

7. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 的虚部是 B. 的共轭复数是

C.  D. 复数在复平面内对应的点在第四象限

8. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 分别在两个平面内的直线是异面直线

B. 在空间中不相交的两条直线是异面直线

C. 平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线

D. 不在任何同一平面内的两条直线是异面直线

9. 若长方体的三条棱长分别是，则长方体体对角线长为（    ）

A.  B.

C.  D.

10. “”是“”成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

11. 要得到函数的图象，只需将函数的图象

A. 向左平移单位 B. 向右平移单位

C 向左平移单位 D. 向右平移单位

12. 已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（    ）

A.  B. 4 C.  D. .

13. 在中，的面积等于，则等于（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

14. 函数的最小正周期是（    ）

A.  B.  C.  D.

15. “”是“”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

16. 在中，角的对边分别为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

17. 已知函数的最小正周期为4π，则（       ）

A. 函数f（x）的图象关于原点对称 B. 函数f（x）的图象关于直线对称

C. 函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D. 函数f（x）在区间（0，π）上单调递增

18. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为　　

A.  B.  C.  D.

19. 在区间内，函数与的图像交点的个数是（    ）个.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

20. 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数为（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

21. 函数是

A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2

C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为

22. 已知函数（为常数）为奇函数，那么（    ）

A.  B. 0 C. 1 D.

23. 在中，若，则是（    ）三角形

A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰或直角

24. 将函数的图像向右平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

25. 如图，，是半径为1的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大小为（弧度制）.图中阴影区域的面积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､填空题（共10个小题，每题3分，共30分.）

26. 计算___________.

27. 复数的虚部是___________.

28. 已知，则___________.

29. 若角的终边经过点，则___________.

30. 一个边长为的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为___________，体积为___________.

31. 若是第二象限角，则___________.

32. 锐角中，，则___________，此时若，则___________.

33. 已知正三棱锥，已知它的底面边长为，斜高为，则侧棱长为___________；高为___________.

34. 若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．

35. 如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下图中的_______________. （要求：把可能的图的序号都填上）

三､解答题：

36. 设函数.

（1）求函数的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值；

（2）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，写出表达式和单调递增区间.

37. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，

（1）求角A的大小；

（2）求的面积.

参考答案

一､选择题（共25个小题，每题3分，共75分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题纸相应的题号处）

1. 【答案】D

【解析】

【分析】根据复数代数形式的乘法化简复数，再根据复数模的计算公式计算可得；

【详解】解：，所以；

故选：D

2. 【答案】B

【解析】

【分析】根据空间中几个基本事实（公理及其推论）判断即可；

【详解】解：对于A：由公理3，过不共线的三点有且只有一个平面，故A错误；

对于B，设，，，如图所示，

，

与确定一个平面．

，，

，，，，

，

，，在同一个平面内．即B正确．

对于C：平面内两组对边相等的四边形是平行四边形，但在空间中，两组对边相等的四边形不一定是平行四边形，比如空间四边形，故C错误；

对于D：比如墙角处的三条交线，就不能确定一个平面，只有空间两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D错误；

故选：B．

3. 【答案】D

【解析】

【分析】由三角函数的性质对选项逐一判断

【详解】对于A，函数的最小正周期为，

对于B，函数的最小正周期为，

对于C，函数的最小正周期为，，

对于D，函数，由正弦函数对称性与图象变换可知其最小正周期为

故选：D

4. 【答案】A

【解析】

【分析】根据两角差的正弦公式即可求解.

【详解】

故选：A

5. 【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦定理，结合三角形中的边角关系，即可求得答案.

【详解】由正弦定理,得，

因为，故或，

故选：C

6. 【答案】D

【解析】

【分析】

通过反证法的思想，可以判断出选项正误.

【详解】若a，b是异面直线，直线，则c与b不可能是平行直线．否则，若，则有，得出a， b是共面直线．与已知a，b是异面直线矛盾，故c与b的位置关系为异面或相交，

故选：D

7. 【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的虚部的概念可判断A；根据共轭复数的概念判断B;根据复数模的计算可判断C；根据复数的除法求得，结合复数的几何意义判断D.

【详解】因为的虚部是，故A错误；

的共轭复数是，故B错误；

，故C错误；

复数，故在复平面内对应的点在第四象限，D正确，

故选：D

8. 【答案】D

【解析】

【分析】根据异面直线的定义结合空间两条直线的位置关系，可判断答案.

【详解】分别在两个平面内的直线可能是平行直线，故A错误；

在空间中不相交的两条直线可能是平行直线，故B错误；

平面内的一条直线和平面外的一条直线可能是平行直线，故C错误；

不在任何同一平面内的两条直线是异面直线，符合异面直线的定义，D正确，

故选：D

9. 【答案】A

【解析】

【分析】利用勾股定理计算可得；

【详解】解：如图长方体中、，，

则，

所以；

故选：A

10. 【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．

【详解】解：，

则，

根据充分必要条件定义可判断：

“ ”是“”成立的充要条件

故选：C．

11. 【答案】D

【解析】

【详解】因为：y=sin(2x+)=sin2(x+).

根据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2(x+)相右平移个单位得到函数y=sin2x的图象．

故选D.

点睛：图象变换

(1)振幅变换 

(2)周期变换 

(3)相位变换 

(4)复合变换 

12. 【答案】B

【解析】

【分析】根据正方体外接球的直径即为正方体的体对角线及球的体积公式求出外接球的半径，即可得解；

【详解】解：正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，

则，解得，所以正方体的体对角线等于；

故选：B

13. 【答案】C

【解析】

【分析】由已知利用三角形面积公式可求，进而利用余弦定理可求的值．

【详解】解：，，的面积等于，

解得：，

由余弦定理可得：．

故选：C．

14. 【答案】A

【解析】

【分析】化简解析式，由此求得的最小正周期.

【详解】，最小正周期为.

故选：A

15. 【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A．

考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．

16. 【答案】C

【解析】

【分析】由正弦定理可求得，判断B的范围，根据同角的三角函数的关系求得答案.

【详解】由正弦定理 得： ，

由得，，故 ，

故选：C

17. 【答案】C

【解析】

【详解】分析：函数的最小正周期为4π，求出，可得的解析式，对各选项进行判断即可.

详解：函数的最小正周期为4π，

，

，

，

由对称中心横坐标方程：，

可得，

A不正确；

由对称轴方程：，

可得，

B不正确；

函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，可得：，图象关于原点对称，

C正确；

令，

可得：，

函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增，

D不正确；

故选C.

点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．

18. 【答案】A

【解析】

【分析】由题意设出球的半径，圆的半径，二者与构成直角三角形，求出圆的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．

【详解】解：设球的半径为，圆的半径，

由图可知，，

，，

截面圆的面积为：，

则所得截面的面积与球的表面积的比为：．

故选：A.

19. 【答案】C

【解析】

【分析】对分类讨论，结合正弦、正切函数的性质判断即可；

【详解】解：当时，故是函数与的一个交点，

当时，则，因为，，

所以，则，即，所以，此时函数与无交点，

当时，，，所以，此时函数与无交点，

当时，故是函数与的一个交点，

综上可得函数与的图像在内有且仅有个交点；

故选：C

20. 【答案】D

【解析】

【分析】还原为正方体，如图所示，然后利用由正方体的性质求解即可

【详解】还原为正方体，如图所示：

由正方体的性质可知，CB⊥平面AB，

所以CB⊥AB，即∠ABC＝90°，

故选：D．

21. 【答案】D

【解析】

【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.

【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，

又，

所以当时，取最大值.

故选：D.

22. 【答案】D

【解析】

【分析】根据余弦函数的 奇偶性求出，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；

【详解】解：因为函数（为常数）为奇函数，

所以，

所以，，

当为偶数，则，

当为奇数，则，

即；

故选：D

23. 【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得；

【详解】解：因为，由正弦定理可得，

即，即，所以或，

即或，所以为等腰三角形或直角三角形；

故选：D

24. 【答案】D

【解析】

【分析】把函数整理成正弦型函数，利用平移以后关于轴对称即可得到的式子，根据范围即可确定的具体值.

【详解】，将图像向右平移个单位长度后，变为，

此时图像关于轴对称，所以当时，，，

则.

又，则的最小值是.

故选：D.

25. 【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得，当为弧的中点时，阴影部分的面积取最大值，再分析条件求解即可.

【详解】如下图所示，设圆的圆心为，分别连接，，，，

观察图形可知，当为弧的中点时，阴影部分的面积取最大值，

由圆的性质得，所以

面积的最大值为：

.

故选：A.

二､填空题（共10个小题，每题3分，共30分.）

26. 【答案】

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；

【详解】解：

故答案为：

27. 【答案】

【解析】

【分析】利用复数的乘法化简复数，即可得解.

【详解】，因此，复数的虚部为.

故答案为：.

28. 【答案】

【解析】

【分析】根据求得，结合，确定答案.

【详解】由可得 ，

因为，故，

故答案为：

29. 【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的定义求出和的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，，则，

所以，，

所以，

故答案为：.

30. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由圆锥的定义与其体积与表面积公式求解

【详解】由题意得该旋转体是两个圆锥的组合体，

圆锥的底面半径，母线，高，

则该旋转体的表面积，体积

故答案为：，

31. 【答案】

【解析】

【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算可得；

【详解】解：因为，所以

；

故答案为：

32. 【答案】    ① ##;    ②. .

【解析】

【分析】利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值.

【详解】解：由得,

所以.

因为，所以由余弦定理得.

故答案为：.

33. 【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】设点在底面内的射影为点，取线段的中点，连接、、，利用勾股定理可求得该三棱锥的棱长和高.

【详解】设点在底面内的射影为点，取线段的中点，连接、、，

在正三棱锥中，，为的中点，则且，

，

易知为等边的中心，则，.

因此，该三棱锥的侧棱长为，高为.

故答案为：；.

34. 【答案】（均可）

【解析】

【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.

【详解】因为，

所以，解得，故可取.

故答案为：（均可）.

【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.

35. 【答案】②③

【解析】

【分析】根据图像考虑上下平面，左右平面，前后平面的投影，对比选项得到答案.

【详解】根据图像知：

四边形BFD1E在在上下平面的投影为②；在左右平面的投影为③，在前后平面的投影为②.

故答案为：②③.

三､解答题：

36. 【答案】（1）最小正周期为，最大值为，   

（2），单调增区间为

【解析】

【分析】(1)将函数化为的形式，再求函数的最小正周期和最大值，及此时取得最大值时的值即可；

(2)根据图象变换求出的解析式，再求其单调递增区间即可.

【小问1详解】

所以周期；

当，即时，.

【小问2详解】

由题意知，，

由，得，

所以函数的单调增区间为.

37. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理可得，从而求出，即可求出；

（2）由（1）可得，再根据利用两角和的正弦公式求出，最后根据面积公式计算可得；

【小问1详解】

解：由正弦定理，又，所以，所以，

又，所以，即，

又，所以；

【小问2详解】

解：由（1）可得，又，所以，

所以

，

所以；