高中第六章 计数原理6.3 二项式定理综合训练题

人教A版（2019）选择性必修第三册 6.3二项式定理 同步练习

一、单选题

1．展开式中项的系数为160，则（       ）

A．2 B．4 C． D．

2．的展开式中所有不含的项的系数之和为（       ）

A． B． C．10 D．64

3．若的展开式中存在常数项，则可能是（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

4．的二项展开式中，奇数项的系数和为（       ）

A． B． C． D．

5．已知的展开式中二项式系数之和为256，则该展开式中含x项的系数为（       ）

A．896 B．1024 C．1792 D．2048

6．的展开式中的系数为

A． B． C．64 D．-128

7．若的展开式中项的系数是，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

8．展开式中的常数项为（       ）

A． B． C． D．

9．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（       ）

A．1 B．5 C．10 D．20

10．使得）的展开式中含有常数项的最小的n为（       ）

A．6 B．5 C．4 D．3

11．在的二项展开式中，的系数是（       ）

A． B． C． D．

12．的展开式中的系数为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，则___________.

14．若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.

15．若存在，使得和（其中）的展开式中含项的系数相等，则的最大值为______.

16．在的展开式中，x的系数是___________（用数字作答）.

三、解答题

17．求证：.

18．在的展开式中.求：

（1）所有项的系数和；

（2）的系数；

（3）系数最大的项.

19．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．

（1）求的值；

（2）求展开式中的系数．

20．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.

（1）求n；

（2）求展开式中系数最大的项.

21．已知在的展开式中，第项为常数项．

(1)求；

(2)求含项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

参考答案：

1．C

先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.

【详解】

二项式展开式的通项为，

令可得二项式展开式中的系数为，

∴展开式中的系数为，

可得，解得，

故选：C．

2．A

根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可.

【详解】

在的展开式中，通项公式为

若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项.

令，得这些项的系数之和为

故选：

3．D

求的展开式的通项公式为，令的幂指数等于零，求得，即可得出结论.

【详解】

的展开式中第项为，

若展开式中存在常数项，则存在，使得，即，则答案中只有10满足，

故选:.

4．C

设，令、计算即可求解.

【详解】

设，

令可得，

令可得，

两式相加可得：，

所以奇数项系数之和为，

故选：C.

5．C

由展开式中二项式系数之和为256，可得，从而可得展开式的通项公式为，再令求出，即可得答案.

【详解】

解：因为的展开式中二项式系数之和为256，所以，解得，

所以展开式的通项公式为，

令，可得，所以该展开式中含x项的系数为，

故选：C.

6．D

先求得展开式的通项公式，再令x的次数为3求解.

【详解】

展开式的通项公式为，

令，则，

所以的展开式中的系数为.

故选：D

7．A

根据二项式的通项及特定项系数求参数值.

【详解】

二项展开式的通项为，

令，解得，

则，，

解得，

故选：A.

8．B

求出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】

的展开式通项为，

又因为，

所以，展开式的通项为，

由，可得，

因此，展开式中的常数项为.

故选：B.

9．C

将代入即为各项系数之和，可求出，再结合展开式得通项即可求解常数项.

【详解】

展开式的各项系数之和为32,

令，得，解得，

则的展开式的通项为，

令，可得常数项为.

故选：C.

本题主要考查了二项式定理的应用，熟记二项式展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.

10．D

在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出和的关系，即可求得的最小值．

【详解】

的展开式的通项公式为：，

令，可得，

当时，取得最小值为3，

故选：D．

11．C

由二项式展开式通项，即可确定的系数.

【详解】

由二项式通项，

∴当时，，则.

∴的系数是.

故选：C.

12．B

由已知可得出，写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】

，

的展开式通项为，的展开式通项为，

所以，的展开式通项为，

其中，，且、，

令，可得或或，

因此，的展开式中的系数为.

故选：B.

结论点睛：的展开式通项为.

13．12

将写成，再利用二项式的展开式的通项公式即可获解.

【详解】

因为，

此二项式的展开式的通项为，

当时，所以

故答案为：12.

14．

根据的展开式中各项系数的和为0，令求得a，再利用通项公式求解.

【详解】

因为的展开式中各项系数的和为0，

令得，

解得，

所以的常数项为.

故答案为：-120

15．

分别利用通项公式，求得和的展开式中含项的系数，然后由其相等求解.

【详解】

由的展开式中第项为，

令，得，

∴含项的系数为.

同理的展开式中含项的系数为.

由，得，

又在上是减函数.

∵，∴，

故的最大值为.

故答案为：

16．240

只要求出的展开式含x的系数，即可得到答案；

【详解】

的展开式的通项为：，

当，即时，展开式x的系数为：.

当显然不成立；

故答案为：240

17．证明见解析.

利用二项式定理直接证明.

【详解】

左边=

=1=右边.

即证.

18．（1）；（2）；（3）.

（1）令求解即可.

（2）先求得展开式的通项公式， 再令求解.

（3）设第项的系数最大，由求解.

【详解】

（1）令，该展开式中所有项的系数和为.

（2）该展开式的通项公式为，，

令，解得，

故的系数为.

（3）设第项的系数最大，

则，

解得，

又，

所以，

故该展开式中系数最大的项为.

19．（1）；（2）5．

（1）由所有二项式系数之和为32，可得，从而可求出的值；

（2）由（1）可得二项展开式的通项为，然后令，求出的值，从而可求出答案

【详解】

解：（1）由题意可得，，解得；

（2），

二项展开式的通项为．

由，得．

∴展开式中的系数为．

20．（1）；（2）系数最大的项为.

（1）由题意利用等差数列的定义、二项展开式的通项公式，求得的值．

（2）二项展开式的通项公式求得展开式中系数最大的项．

【详解】

解：（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，

∴

解得(舍去).

（2）设第项的系数为最大，则，

则.解得.

当时，

当时，，

因此，第3项和第4项的系数最大，

故系数最大的项为.

21．(1)；

(2)；

(3)，，.

利用二项展开式的通项公式求出通项，令时的指数为，即可得出结果；

将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果；

令通项中的指数为整数，求出结果即可.

(1)

解：通项公式为.

因为第项为常数项，所以时，有，解得.

(2)

解：由可知，令，解得.

所以含项的系数为.

(3)

解：由题意可知，，

则可能的取值为，，.

所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.