高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算第2课时课后测评

第一章　1.3　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁UA等于(　B　)

A．{1，2}　　　 B．{3，4，5}

C．{1，2，3，4，5}　　 D．∅

[解析]　∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴∁UA＝{3，4，5}．

2．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁RA)∩B等于(　A　)

A．{－2，－1}　　 B．{－2}

C．{－1，0，1}　　 D．{0，1}

[解析]　因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}．

3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是(　C　)

A．A∩B　　 B．A∪B

C．B∩(∁UA)　　 D．A∩(∁UB)

[解析]　题图阴影部分表示由所有属于B且不属于A的元素组成的集合，故为B∩(∁UA)．

4．(2022·眉山市期末)若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4}，则集合{5，6}等于(　D　)

A．M∪N　　 B． M∩N

C．(∁UM)∪(∁UN)　　 D．(∁UM)∩(∁UN)

[解析]　由题意可知：M∪N＝{1，2，3，4}，M∩N＝∅，(∁UM)∪(∁UN)＝{1，2，3，4，5，6}，(∁UM)∩(∁UN)＝{5，6}，故选D．

5．设集合U＝{－1，1，2，3}，M＝{x|x2＋px＋q＝0}，若∁UM＝{－1，1}，则实数p＋q的值为(　D　)

A．－1　　 B．－5

C．5　　 D．1

[解析]　由已知可得M＝{2，3}，

则2，3为方程x2＋px＋q＝0的两根，

则p＝－(2＋3)＝－5，

q＝2×3＝6，故p＋q＝－5＋6＝1.故选D．

6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则(　C　)

A．k<0或k>3　　 B．2<k<3

C．0<k<3　　 D．－1<k<3

[解析]　∁UA＝{x|1<x<3}，借助于数轴可得∴0<k<3.

二、填空题

7．设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁RB)＝__{x|3<x<4}__.

[解析]　∵B＝{x|－1≤x≤3}，

则∁RB＝{x|x<－1或x>3}，

∴A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}．

8．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是__{a|a≥2}__.

[解析]　因为∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，又A＝{x|x<a}，观察∁RB，A在数轴上所表示的区间，如图所示．

可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R.

9．有15人进入家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买的有3人，则这两种均没买的有__2__人．

[解析]　设这15人构成全集U，买电视机的9人构成集合A，买电脑的7人构成集合B，用Venn图表示，如图所示．

则两种均没买的有15－(9－3)－3－(7－3)＝2(人)．

三、解答题

10．已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|3<x<6}，全集U＝R.

(1)求∁U(A∩B)；

(2)求(∁UA)∩(∁UB)．

[解析]　(1)∵A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|3<x<6}，

∴A∩B＝{x|3<x≤4}．

∴∁U(A∩B)＝∁R(A∩B)＝{x|x≤3或x>4}．

(2)∵A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|3<x<6}, 全集U＝R,

∴∁UA＝{x|x<1或x>4}, ∁UB＝{x|x≤3或x≥6}．

∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<1或x≥6}．

11．(2021·河南郑州高一月考)已知集合A＝{x|3－2m≤x≤2＋m}，集合B＝{x|(x－1)(x－3)≥0}．

(1)当m＝1时，求A∩B，A∪(∁RB)；

(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)当m＝1时，集合A＝{x|3－2m≤x≤2＋m}＝{x|1≤x≤3}，

集合B＝{x|x≤1或x≥3}，

所以A∩B＝{1，3}．

又∁RB＝{x|1<x<3}，

所以A∪(∁RB)＝{x|1≤x≤3}．

(2)若A＝∅，满足A∩B＝∅，则3－2m>2＋m，解得m<；

若A≠∅，则解得≤m<1.

综上所述，实数m的取值范围是{m|m<1}．

B　组·素养提升

一、选择题

1．设P＝{x|x>4}，Q＝{x|－2<x<2}，则(　D　)

A．P⊆Q　　 B．Q⊆P

C．P⊇∁RQ　　 D．Q⊆∁RP

[解析]　∵Q＝{x|－2<x<2}，

而∁RP＝{x|x≤4}，

∴Q⊆∁RP.

2．设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，则∁UA的所有非空子集的个数为(　B　)

A．4　　 B．3

C．2　　 D．1

[解析]　∵∁UA＝{2，4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B．

3．图中阴影部分所表示的集合是(　A　)

A．B∩[∁U(A∪C)]　　 B．(A∪B)∪(B∪C)

C．(A∪C)∩(∁UB)　　 D．[∁U(A∪C)]∪B

[解析]　阴影部分中的元素既在集合B中，又要去掉属于集合A和C中的元素，故选A．

4．(多选题)已知集合U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4<x<6}，集合B＝{x|2≤x<5}，下列集合运算正确的是(　BC　)

A．∁UA＝{x|x<1或3<x<4或x>6}

B．∁UB＝{x|x<2或x≥5}

C．A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}

D．(∁UA)∪B＝{x|x<1或2<x<5或x>6}

[解析]　由∁UA＝{x|x<1或3<x≤4或x≥6}知选项A错误；

由∁UB＝{x|x<2或x≥5}知选项B正确；

由A∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3或4<x<6}∩{x|x<2或x≥5}＝{x|1≤x<2或5≤x<6}知选项C正确；

由(∁UA)∪B＝{x|x<1或3<x≤4或x≥6}∪{x|2≤x<5}＝{x|x<1或2≤x<5或x≥6}知选项D错误．

二、填空题

5．已知集合A＝{x|m－4<x<2m}，B＝{x|－1<x<4}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为__{m|2≤m≤3}__.

[解析]　∵A∩B＝B，∴B⊆A，∵A＝{x|m－4<x<2m}，B＝{x|－1<x<4}，

∴解得2≤m≤3，

即实数m的取值范围为{m|2≤m≤3}．

6．设全集I＝{3，5，x2－2x＋3}，A＝{11}，∁IA＝{3，y}，且xy<0，则实数x＝__－2__，y＝__5__.

[解析]　由已知，，解得又xy<0，∴x＝－2，y＝5.

7．学校举办秋季运动会时，高一(2)班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有__4__人．

[解析]　由题意，画出Venn图如图所示．

根据题意可知

解方程组得所以同时参加田赛与径赛的有4人．

三、解答题

8．已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，集合B＝{x|x<－1或x>5}，全集U＝R.

(1)若a＝1，求(∁UA)∪B；

(2)若AB，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)当a＝1时，A＝{x|1≤x≤3}，所以∁UA＝{x|x<1或x>3}，则(∁UA)∪B＝{x|x<1或x>3}．

(2)因为A真含于B，所以满足a＋2<－1或a>5，解得：a∈{a|a<－3或a>5}，所以实数a的取值范围是{a|a<－3或a>5}．

9．已知集合A＝{x|x2＋ax＋2b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．

[解析]　∵(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B，

∴4－2a＋b＝0.①

又∵A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A，

∴16＋4a＋2b＝0.②

联立①②，得，解得.

经检验，符合题意：∴a＝－1，b＝－6.