人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时课时训练

第二章　2.2　第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列不等式中正确的是(　D　)

A．a＋≥4　　　 B．a2＋b2≥4ab

C．≥　　 D．x2＋≥2

[解析]　a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．

2．不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　D　)

A．a＝4　　 B．a＝

C．a＝－　　 D．a＝±

[解析]　a2＋≥4，当a2＝，a2＝2，a＝±时，等号成立．

3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　D　)

A．10　　 B．25

C．5　　 D．2

[解析]　a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，故选D．

4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　B　)

A．　　 B．

C．　　 D．

[解析]　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．

5．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　C　)

A．6　　 B．8

C．16　　 D．20

[解析]　由已知条件得＋＝＝＋＋10≥2＋10＝16，

当且仅当＝，a＋b＝1时，即a＝，b＝时等号成立．故选C．

6．已知a>0，b>0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为(　D　)

A．A≤B≤C　　 B．A≤C≤B

C．B≤C≤A　　 D．C≤B≤A

[解析]　由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D．

二、填空题

7．当x>1时，(x－1)＋＋2的最小值为__8__.

[解析]　令t＝(x－1)＋＋2，

因为x－1>0，所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8.

8．已知a>b>c，则与的大小关系是__≤__.

[解析]　因为a>b>c，

所以a－b>0，b－c>0.

≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.

9．已知x<0，则2x＋的最大值为__－12__.

[解析]　因为x<0，所以－x>0.

则2x＋＝－≤－2＝－12，当且仅当－2x＝，即x＝－3时，2x＋取得最大值为－12.

三、解答题

10．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？

[解析]　x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．

∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2.

11．设x>0，求证：x＋≥.

[解析]　∵x>0，∴x＋＝x＋

＝＋－

≥2－

＝2－＝.

当且仅当x＋＝.

x＝时取等号．

综上所述，原式得证．

B　组·素养提升

一、选择题

1．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　C　)

A．x＝3　　 B．x＝6

C．x＝5　　 D．x＝10

[解析]　∵x>2，∴x－2>0，∴＋(x－2)≥2＝6，当且仅当＝x－2，即x＝5时，等号成立，故选C．

2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　B　)

A．　　 B．

C．　　 D．

[解析]　由x2＋3xy－1＝0可得y＝.

因为x>0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝.故x＋y的最小值为.

3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　ABC　)

A．ab<1　　 B．1<

C．ab<　　 D．<ab

[解析]　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，

又∵>，a＋b＝2，

∴>1，∴ab<1<.

4．(多选题)下列结论正确的是(　AD　)

A．当x>0时，＋≥2

B．当x>2时，x＋的最小值是2

C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5

D．当x>0，y>0时，＋≥2

[解析]　在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD．

二、填空题

5．若a>0，b>0，且a＋2b＝4，则ab的最大值是__2__.

[解析]　∵a>0，b>0，a＋2b＝4，

∴4＝a＋2b≥2，

∴ab≤2，当且仅当a＝2b时取等号，即a＝2，b＝1时取等号．

故答案为2.

6．当x>0时，若2x＋(a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝__18__.

[解析]　∵a>0，且2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，2x＋取得最小值，

∴＝3，解得a＝18.

7．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值为__8＋4__.

[解析]　∵3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当a＝，b＝时取到最小值．

三、解答题

8．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋>2；(2)<.

[证明]　(1)∵x>0，y>0，∴>0，>0，

∴＋≥2＝2，∴＋≥2.

由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．

∴＋>2.

(2)∵x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2，

∴<1，

∴<，

∴<.

9．已知实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最大值．

[解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝2，

令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，

∴a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，

∴＋＝＋

＝m＋n－4＋＋＝≥＝1，

∴m≤1，所以实数m的最大值为1.