人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示第2课时课后测评

第三章　3.1　3.1.2　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　B　)

[解析]　根据题意知，这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B．

2．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　D　)

A．1　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍)．当－b≥1，即b≤时，2×＝4，解得b＝.故选D．

3．f(x)＝则f(5)的值是(　A　)

A．24　　 B．21

C．18　　 D．16

[解析]　f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A．

4．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是(　A　)

A．(－3，1)∪(3，＋∞)

B．(－3，1)∪(2，＋∞)

C．(－1，1)∪(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，3)

[解析]　画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3，1，3，所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3，1)∪(3，＋∞)．故选A．

5．函数f(x)＝的值域是(　D　)

A．R　　 B．(0，2)∪(2，＋∞)

C．(0，＋∞)　　 D．[0，2]∪[3，＋∞)

[解析]　当0≤x≤1时，2x2∈[0，2]；当x≥2时，x＋1≥3，所以函数f(x)的值域是[0，2]∪[3，＋∞)，故选D．

6．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的(　B　)

[解析]　由已知得y＝.故选B．

二、填空题

7．已知函数f(x)＝，若f[f(0)]＝a，则实数a＝____.

[解析]　依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f[f(0)]＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.

8．已知函数f(x)＝则f(2)＝__1__.

[解析]　∵2≥1，∴f(2)＝＝1.

9．函数y＝的定义域为__(－∞，0)∪(0，＋∞)__，值域为__{－2}∪(0，＋∞)__.

[解析]　由题目解析式中的信息可知，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)；当x<0时，y＝－2，当x>0时，x2>0，y＝x2∈(0，＋∞)；∴函数的值域为{－2}∪(0，＋∞)．

三、解答题

10．已知f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；

(2)求f(x)的值域．

[解析]　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．

(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.

由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，

当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1]．

11．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过6吨时每吨3元，当用水超过6吨但不超过15吨时，超过部分每吨5元，当用水超过15吨时，超过部分每吨10元．

(1)求水费y(元)关于用水量x(吨)之间的函数关系式；

(2)若某户居民某月所交水费为93元，试求此用户该月的用水量．

[解析]　(1)y＝

(2)因为93>63，所以63＋10(x－15)＝93⇒x＝18.

即此用户该月的用水量为18吨．

B　组·素养提升

一、选择题

1．设函数f(x)＝，则f的值为(　A　)

A．　　 B．－　　

C．　　 D．18

[解析]　∵x>1时，f(x)＝x2＋x－2，

∴f(2)＝22＋2－2＝4，

∴＝

∴f＝f，

又∵x≤1时，f(x)＝1－x2，

∴f＝1－2＝1－＝，

故选A．

2．已知f(x)＝，若f＝10，则a＝(　D　)

A．－3或3　　 B．3或5

C．－3或5　　 D．3

[解析]　由题意，当a≥0时，f＝a2＋1＝10，解得a＝3或a＝－3(舍去)；

当a<0，f＝2a＝10，解得a＝5(舍去)；

综上，a＝3.故选D．

3．(多选题)著名的Dirichlet函数D(x)＝

则与D[D(x)]相等的有(　AB　)

A．D(2)　　 B．D(3)　　

C．D()　　 D．D(π)

[解析]　因为D(x)∈{0，1}，所以D(x)为有理数，所以D[D(x)]＝1，而D(2)＝D(3)＝1，D()＝D(π)＝0，所以A，B都符合．

4．(多选题)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的(　ABC　)

A．点M　　 B．点N　　

C．点P　　 D．点Q

[解析]　由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以N，M点不可能；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与题中图2矛盾，因此不可能是P点，故选ABC．

二、填空题

5．设函数f(x)＝，若f(x0)＝8，则x0＝__－或4__.

[解析]　当x0≤2时，x＋2＝8，∴x＝6，

∴x0＝±，

∵x0≤2，∴x0＝－.当x0>2时，2x0＝8，x0＝4.

综上可知x0＝－或4.

6．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是__{x|x≤1}__.

[解析]　当x≥0时，f(x)＝1，由xf(x)＋x≤2，知x≤1，

∴0≤x≤1；

当x＜0时，f(x)＝0，知x≤2，∴x＜0.

综上，不等式的解集为{x|x≤1}．

7．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是__(－∞，1]__.

[解析]　由题意知

f(x)＝

画出图象为

由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝

(1)求f(－3)，f的值；

(2)若f(a)＝2，求a的值．

[解析]　(1)因为－3<－1，所以f(－3)＝－3＋2＝－1.

因为－1<<2，所以f＝2×＝3.

又3>2，所以f＝f(3)＝.

(2)当a≤－1时，由f(a)＝2，得a＋2＝2，a＝0，舍去；

当－1<a<2时，由f(a)＝2，得2a＝2，a＝1；

当a≥2时，由f(a)＝2，

得＝2，a＝2或a＝－2(舍去)．

综上所述，a的值为1或2.

9．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．

(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；

(2)求函数φ(x)的定义域，值域．

[解析]　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.

令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.

结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝

(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1]．