数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时当堂达标检测题

第三章　3.2　3.2.1　第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　C　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增

B．函数在区间[1，4]上单调递增

C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减

D．函数在区间[－5，5]上不单调

[解析]　若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．

2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是(　A　)

A．f(x)＝3－x　　 B．f(x)＝x2－3x

C．f(x)＝2x　　 D．f(x)＝－

[解析]　根据一次函数、二次函数、反比例函

数的单调性可知：f(x)＝3－x在(0，＋∞)上单调递减；f(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增；f(x)＝2x，f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增．

3．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　B　)

A．　　　　　　　 B．

C．　　 D．

[解析]　f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B．

4．下列命题正确的是(　D　)

A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数

B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数

C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数

D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1<x2

[解析]　A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．

5．函数y＝x2＋x＋2的单调递减区间是(　C　)

A．　　 B．(－1，＋∞)

C．　　 D．(－∞，＋∞)

[解析]　函数y＝x2＋x＋2的图象是开口向上，且以直线x＝－为对称轴的抛物线，

故函数y＝x2＋x＋2的单调递减区间是.故选C．

6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　C　)

A．(－∞，－3)

B．(0，＋∞)

C．(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

[解析]　因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.

二、填空题

7．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__(－∞，1)和(1，＋∞)__.

[解析]　由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．

8．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝__13__.

[解析]　由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.

9．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是__(－∞，0)__.

[解析]　函数f(x)是反比例函数，若k>0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是

减函数；若k<0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数，所以有k<0.

三、解答题

10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

[解析]　y＝－x2＋2|x|＋3

＝

＝

函数图象如图，

由图象可知，在(－∞，－1)和[0，1]上，函数是增函数，

在[－1，0]和(1，＋∞)上，函数是减函数．

11．求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数．

[证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.

因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．

对于任意的x3，x4∈(0，＋∞)，且x3＜x4，有

f(x3)－f(x4)＝.

因为0＜x3＜x4，所以x4－x3＞0，x4＋x3＞0，xx＞0.

所以f(x3)－f(x4)＞0，即f(x3)＞f(x4)．

所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是(　D　)

A．(－∞，1)　　 B．(1，＋∞)

C．　　 D．

[解析]　∵f(x)在R上为减函数且f(2x)>f(1)．∴2x<1，∴x<.

2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　D　)

A．f(x1)＜f(x2)　　 B．f(x1)＞f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)　　 D．不能确定

[解析]　∵x1，x2不在同一单调区间内，∴大小关系无法确定．

3．(多选题)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　ABD　)

A．y＝2x＋1　　 B．y＝x2＋1

C．y＝3－x　　 D．y＝x2＋2x＋1

[解析]　A中，y＝2x＋1在R上单调递增，符合题意；B中y＝x2＋1，对称轴为x＝0，在(0，＋∞)上单调递增；C中y＝3－x在R上单调递减；D中y＝x2＋2x＋1的对称轴为x＝－1，在(－1，＋∞)上单调递增，符合题意，故选ABD．

4．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　BD　)

A．函数f(x)在R上不具有单调性

B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减

C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1

D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是

[解析]　当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0<a≤，所以a的取值范围是，D正确．

二、填空题

5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为____.

[解析]　y＝－(x－3)|x|＝.作出其图象如图，观察图象知递增区间为.

6．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是__(－∞，40]∪[64，＋∞)__.

[答案]　(－∞，40]∪[64，＋∞)

[解析]　对称轴为x＝，则≤5或≥8，得k≤40或k≥64.

7．已知函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是__[1，3]__.

[解析]　根据题意，函数f(x)＝

是R上的减函数，必有≥1，且a－4<0，且1－(a＋1)＋7≥(a－4)＋5，解得1≤a≤3，即a的取值范围为[1，3]．

三、解答题

8．求证：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

[证明]　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).

因为2<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)．

所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

9．函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

求证：f(x)是R上的增函数．

[证明]　设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，

所以f(x2－x1)>1.

所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.

所以f(x1)<f(x2)，

所以f(x)是R上的增函数．