数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时测试题

第三章　3.2　3.2.1　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为(　B　)

A．f，f　　 B．f(0)，f

C．f，f(0)　　 D．f(0)，f(3)

[解析]　由图象可知，f(0)最大，f最小．故选B．

2．函数f(x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　C　)

A．[0，3]　　 B．[1，4]

C．[0，6]　　 D．[0，4]

[解析]　f(x)＝x＋在[0，4]上单调递增，所以f(x)max＝f(4)＝6，f(x)min＝f(0)＝0，所以值域为[0，6]，故选C．

3．若函数f(x)＝|x＋2|在[－4，0]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　B　)

A．1　　 B．2

C．3　　 D．4

[解析]　作出函数f(x)＝|x＋2|＝的图象如图所示，

由图象可知M＝f(x)max＝f(0)＝f(－4)＝2，m＝f(x)min＝f(－2)＝0，所以M＋m＝2.故选B．

4．若函数y＝2ax－b 在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　C　)

A．1　　 B．－1

C．1或－1　　 D．0

[解析]　当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a<0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.

5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　C　)

A．－1　　 B．0

C．1　　 D．2

[解析]　f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，

∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，

∴f(x)在[0，1]上单调递增．

又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，

∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

6．函数f(x)＝的值域为(　A　)

A．　　 B．[－1，2]

C．　　 D．

[解析]　f(x)＝＝1－，在上为单调递增函数，f(x)的最小值为f＝－1，f(x)的最大值为f(2)＝，所以f(x)的值域为.故选A．

二、填空题

7．函数f(x)＝x－在[1，2]上的最大值是__1__.

[解析]　函数f(x)＝x－在[1，2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1.

8．函数y＝x2－2x－1的值域是__[－2，＋∞)__.

[解析]　因为二次函数图象开口向上，所以它的最小值为＝－2.故值域为[－2，＋∞)．

9．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2)__≤__ f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”)

[解析]　∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)判断函数f(x)在区间(2，5)上的单调性，并用定义来证明所得结论．

[解析]　(1)f(x)＝＝＝1＋，

定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}．

(2)由函数解析式可知该函数在(2，5)上是减函数，下面证明此结论．

证明：任取x1，x2∈(2，5)，

设x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为2<x1<x2<5，

所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，

所以f(x1)>f(x2)．

故函数在(2，5)上为减函数．

11．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋b(a>0)在区间[－1，4]上的最小值为1，最大值为10.

(1)求a，b的值；

(2)设g(x)＝，证明：函数g(x)在(，＋∞)上是增函数．

[解析]　(1)因为a>0，二次函数f(x)的对称轴为x＝1，

所以f(x)在[－1，1]上为减函数，在[1，4]上为增函数，

从而得，解得.

(2)由(1)得f(x)＝x2－2x＋2，则g(x)＝＝x＋－2，

设任意的x1，x2∈(，＋∞)且x1<x2，则x2－x1>0，

那么g(x2)－g(x1)＝－

＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)＝，

因为<x1<x2，x2－x1>0，x1x2>2，所以x1x2－2>0，g(x2)－g(x1)>0，所以g(x2)>g(x1)，

所以g(x)＝x＋－2是(，＋∞)上的增函数．

B　组·素养提升

一、选择题

1．函数f(x)＝的最大值是(　C　)

A．　　 B．

C．　　 D．

[解析]　f(x)＝，当分母x2－x＋1取最小值时，f(x)取到最大值，x2－x＋1＝2＋≥，所以f(x)≤.

即f(x)最大值为.故选C．

2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　B　)

A．45.606万元　　 B．45.6万元

C．45.56万元　　 D．45.51万元

[解析]　设在甲地销售量为a辆，则在乙地销售量为15－a辆，设利润为y万元，则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15且a∈N)，

则y＝－0.15a2＋3.06a＋30，可求ymax＝45.6万元．

3．(多选题)已知f(x)＝－，则(　AD　)

A．定义域为[0，1]

B．f(x)max＝， f(x)无最小值

C．f(x)min＝1, f(x)无最大值

D．f(x)max＝1, f(x)min＝－1

[解析]　要使f(x)有意义，应满足，

∴0≤x≤1，显然f(x)在[0，1]上单调递增，

所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1.故选AD．

4．(多选题)关于函数f(x)＝的结论，下列说法正确的有(　AC　)

A．f(x)的单调增区间是[－1，1]

B． f(x)的单调减区间是[1，＋∞]

C．f(x)的最大值为2

D． f(x)没有最小值

[解析]　要使函数有意义，有－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，可知选项B错误，当x＝－1或x＝3时－x2＋2x＋3＝0，此时函数有最小值0，可知选项D错误，令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知选项A正确，根据函数的单调性及定义域，可知f(x)max＝f(1)＝2，从而选项C正确．故选AC．

二、填空题

5．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是__(－∞，－1]__.

[解析]　∵f(x)＝2x－3在[1，＋∞)上单调递增，

∴f(x)≥f(1)＝－1.

∵m≤f(x)恒成立，∴m≤－1.

6．求函数f(x)＝－的最小值为__－__.

[解析]　由得x∈.

在定义域内，y＝2x＋3是递增的，故y＝也是递增的．

又y＝2x＋5是增函数，从而y＝也是增函数．

∴f(x)在上是递增的，

∴当x＝－时，函数有最小值，f(x)min＝－.

7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__1＜a≤3__.

[解析]　画f(x)＝x2－6x＋8的图象，

∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.

三、解答题

8．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．

(1)写出函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在区间的最大值．

[解析]　f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．

(1)f(x)在和[0，＋∞)上是增函数，在上是减函数，

因此f(x)的单调增区间为，[0，＋∞)，单调减区间.

(2)∵f＝，f＝，∴f(x)在区间的最大值为.

9．(2021·北京海淀区联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值．

[解析]　f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]．

当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数f(x)的图象如图(2)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a)上单调递减，在区间(a,1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；

当a≤－1时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.

综上所述，f(x)min＝