数学必修 第一册3.3 幂函数当堂检测题

第三章　3.3　

A　组·素养自测

一、选择题

1．幂函数y＝xα(α是常数)的图象(　B　)

A．一定经过点(0，0)

B．一定经过点(1，1)

C．一定经过点(－1，1)

D．一定经过点(1，－1)

[解析]　x＝1时，y＝1，所过点(1，1)．

2．下列函数中，定义域为R的是(　C　)

A．y＝x－2　　　 B．y＝x

C．y＝x2　　 D．y＝x－1

[解析]　对A，由y＝x－2＝，知x≠0；

对B，由y＝x＝，知x≥0；

对D，由y＝x－1＝，知x≠0.

故A，B，D中函数的定义域均不为R，从而选C．

3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于(　C　)

A．1　　 B．2

C．3　　 D．4

[解析]　由题意，得，∴

∴m＋n＝3.

4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　A　)

A．1，5　　 B．－3，1

C．－3，5　　 D．－3，1，5

[解析]　定义域为R的函数中，α可取1，5；若函数y＝xα为奇函数，α可取－3，1，5，故α取1，5.故选A．

5．幂函数f(x)＝x2m－1在上为增函数，则实数m的值为(　D　)

A．1　　 B．0或2

C．0　　 D． 2

[解析]　因为f(x)是幂函数，所以m2－2m＋1＝1，解得m＝0或2，当m＝0时，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上为增函数，符合题意，所以m＝2.故选D．

6．如图所示，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(　B　)

A．－2，－，，2

B．2，，－，－2

C．－，－2，2，

D．2，，－2，－

[解析]　要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2.

二、填空题

7．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)＝__x__.

[解析]　设f(x)＝xα，

由题意得＝3α，

∴3＝3α，∴α＝，∴f(x)＝x.

8．已知函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，且其图象过原点，则m＝__－3__.

[解析]　由题意得m2＋3m＋1＝1，

∴m2＋3m＝0，

∴m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1＝，

其图象不过原点，∴m＝－3.

9．若幂函数f(x)的图象过点，则f(x)的值域为__(0，＋∞)__.

[解析]　由题意设f(x)＝xm，由点在函数图象上得4m＝，解得m＝－2.

所以f(x)＝x－2＝，故其值域为(0，＋∞)．

三、解答题

10．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．

[解析]　根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，

解得m＝3或m＝－2.

当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求，故m＝3.

11．点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，那么求当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．

[解析]　设f(x)＝xα，则由题意得4＝2α，

∴α＝2，即f(x)＝x2.

再设g(x)＝xβ，则由题意得＝2β，

∴β＝－1，即g(x)＝x－1.

在同一直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．

由图象可知，

(1)当x>1或x<0时，f(x)>g(x)．

(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)．

(3)当0<x<1时，f(x)<g(x)．

B　组·素养提升

一、选择题

1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为(　A　)

A．y＝x－4　　 B． y＝x－1

C．y＝x2　　 D． y＝x

[解析]　函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；

函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；

函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；

函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A．

2．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是(　A　)

A．(3，5)　　 B．(－1，＋∞)

C．(－∞，5)　　 D．(－1，5)

[解析]　已知幂函数f(x)＝x－＝的定义域为{x|x>0}，且在(0，＋∞)上单调递减，若f(a＋1)<f(10－2a)，

则即

解得3<a<5，即a的取值范围是(3，5)．

3．(多选题)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　BD　)

A．0　　　　　　 B．1

C．－2　　　　　　 D．－3

[解析]　因为f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，

所以3m－5＜0，故m＜.

又因为m∈Z，所以m＝1，0，－1，－2，－3，….当m＝0时，

f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；

当m＝1时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；

当m＝－2时，f(x)＝x－11，f(x)≠f(－x)不符合题意，当m＝－3时，f(x)＝x－14，f(x)＝f(－x)，符合题意，故选BD．

4．(多选题)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α是(　BCD　)

A．－1　　 B．1

C．　　 D．3

[解析]　α依次取值时，y＝x－1＝，y＝x，y＝x＝，y＝x3，显然除α＝－1外，其他函数的定义域都是R且都为奇函数．

二、填空题

5．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f的值为____.

[解析]　由题意可设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3，即2α＝3，所以f＝α＝2－α＝3－1＝.

6．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调递增区间是__[0，＋∞)__.

[解析]　由题设知f(3)＝9，

即3α＝9，所以α＝2.

所以f(x)＝x2，其单调递增区间为[0，＋∞)．

7．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是__9__.

[解析]　由题意可知函数y＝xα中，当x＝4时，y＝2，

∴2＝4α，∴α＝.∴y＝x.

∴当y＝3时，x＝3，∴x＝9.

三、解答题

8．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f(x)的解析式．

[解析]　∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，

∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0，1，2，而m＝0，2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．∴f(x)＝x4.

9．(2022·湖北巴东高一联考)已知幂函数f(x)＝(－3m2－2m＋2)x1＋3m在(0，＋∞)上为增函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－(2a＋1)x＋a2－1在区间(a,2a－1)上单调递减，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)∵幂函数的解析式为f(x)＝(－3m2－2m＋2)x1＋3m，

∴－3m2－2m＋2＝1，解得m＝－1或m＝.

当m＝－1时，f(x)＝x－2，在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意，舍去；

当m＝时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上为增函数，符合题意，

∴f(x)＝x2.

(2)∵g(x)＝f(x)－(2a＋1)x＋a2－1＝x2－(2a＋1)x＋a2－1在区间(a，2a－1)上单调递减，

又∵函数g(x)的减区间为.

∴(a,2a－1)⊆，

∴解得1<a≤，

则实数a的取值范围是.