高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数同步达标检测题

第四章　4.4.3

A　组·素养自测

一、选择题

1．有一组实验数据如下表所示：

下列所给函数模型较适合的是(　C　)

A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)

C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)

[解析]　通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C．

2．一辆汽车在某路段中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　A　)

A．分段函数 B．二次函数

C．指数函数 D．对数函数

[解析]　由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．

3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(　C　)

A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x D．y＝100x

[解析]　对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；

对于B中的函数，当x＝3或4时，误差也较大；

对于C中的函数，当x＝1，2，3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差较小；

对于D中的函数，当x＝2，3，4时，据函数关系式得到的结果与实际值相差都很远，综上，只有C中的函数误差最小，故选C．

4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中最有可能正确的是(　C　)

[解析]　即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A，D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A，D)．故选C．

二、填空题

5．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：

其中关于x呈对数函数型变化的变量是y3，呈指数函数型变化的变量是y2，呈幂函数型变化的变量是y1．

[解析]　根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化．

6．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：

①当x>1时，甲走在最前面；

②当x>1时，乙走在最前面；

③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．

其中，正确结论的序号为③④⑤．

[解析]　四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．

三、解答题

7．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?

[解析]　设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：

连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；

生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.

则＝.

∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴>1，即M>N.

因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．

B　组·素养提升

一、选择题

1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　C　)

A．y＝0.2x B．y＝x2＋2x

C．y＝ D．y＝0.2＋log16x

[解析]　将x＝1，2，3依次代入各函数表达式中得

与已知值0.2，0.4，0.76相比较可知选C．

2．(多选题)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法中正确的是(　BC　)

A．前5 min温度增加越来越快

B．前5 min温度增加越来越慢

C．5 min后温度保持匀速增加

D．5 min后温度保持不变

[解析]　前5 min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B、C正确，故选BC．

二、填空题

3．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10__000倍．

[解析]　由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A9，5级地震的最大振幅为A5，则有lg A9－lg 0.001＝9，得A9＝106；同理得A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．

4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg的函数关系是v＝2 000ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的e6－1倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.

[解析]　设M＝tm，则有2 000ln(1＋t)＝12 000，即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.

三、解答题

5．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8，64]内时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x所在的范围．

[解析]　(1)由题意知y＝logax是增函数，

∴a>1，

又当x∈[8，64]，y∈[3，6]，

∴∴a＝2，∴y＝

(2)由题意得

解得16≤x≤100，

∴年奖金y∈[4，10](万元)时，年销售额x的取值范围为[16，100]．