高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时同步训练题

第五章　5.5.1 第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．cos(－75°)的值(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　cos(－75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°·cos 30°－sin 45°sin 30°＝.

2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)·sin(α＋15°)＝(　A　)

A． B．－

C． D．－

[解析]　原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)·sin(α＋15°)＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.

3．设α∈，若sin α＝，则cos＝(　B　)

A． B．

C．－ D．－

[解析]　α∈，sin α＝，cos α＝，

原式＝

＝(cos α＋sin α)＝.

4．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　B　)

A．－ B．

C． D．

[解析]　∵sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，可解得：

sin θ＝，cos θ＝－＝－，

又∵sin＝－，φ是第三象限角，

cos φ＝－，sin φ＝－＝－，

∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝×＋×＝.

5．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是(　B　)

A．sin 2x B．cos 2y

C．－cos 2x D．－cos 2y

[解析]　原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)·sin(x－y)＝cos [(x＋y)－(x－y)]＝cos 2y.

6．已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，则cos α＝(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，

∴cos(30°＋α)＝－，

又cos α＝cos [(30°＋α)－30°]

＝cos(30°＋α)cos 30°＋sin(30°＋α)sin 30°＝－×＋×＝.

二、填空题

7．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)·sin(31°＋2α)＝．

[解析]　原式＝cos [(61°＋2α)－(31°＋2α)]

＝cos 30°＝.

8．已知sin＝，α∈，则cos α的值为．

[解析]　∵sin＝，α∈，

∴＋α∈，cos＝－.

∴cos α＝cos＝cos·cos＋sinsin＝－×＋×＝.

9．计算：sin 60°＋cos 60°＝．

[解析]　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°

＝cos(30°－60°)＝cos(－30°)

＝.

三、解答题

10．已知角α的终边过点P(－4，3)．

(1)求的值；

(2)若β为第三象限角，且tan β＝，求cos(α－β)的值．

[解析]　(1)因为角α的终边过点P(－4，3)．

所以sin α＝，cos α＝－，

所以

＝

＝＝－.

(2)因为β为第三象限角，且tan β＝，

所以sin β＝－，cos β＝－.

由(1)，知sin α＝，cos α＝－.

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝0.

11．已知sin＝，且<α<，求cos α的值．

[解析]　∵sin＝，且<α<，

∴<α＋<π.

∴cos＝－＝－.

∴cos α＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α等于(　D　)

A．sin α B．cos α

C．sin β D．cos β

[解析]　cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝cos [(α＋β)－α]＝cos β，故选D．

2.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形与大正方形面积之比为4∶9，且直角三角形的两锐角分别为α，β，则cos(α－β)的值为(　A　)

A． B．

C． D．0

[解析]　设大正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为4∶9，可得小正方形的边长为，

所以有sin α－cos α＝，①

cos β－sin β＝，②

由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得＝sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＋cos αsin β＝cos2β－(cos αcos β＋sin αsin β)＋sin2β＝1－cos(α－β)，

解得cos(α－β)＝.

3．(多选题)满足cos αcos β＝－sin αsin β的α，β的值可能是(　BC　)

A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝

C．α＝，β＝ D．α＝，β＝

[解析]　由条件cos αcos β＝－sin αsin β得

cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝，α＝，β＝，α＝，β＝都满足，故选BC．

4．(多选题)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　AC　)

A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝－

C．β－α＝ D．β－α＝－

[解析]　由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝，

∴C正确，D错误，故选AC．

二、填空题

5．已知cos＋sin α＝，则cos的值是．

[解析]　cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，

cos α＋sin α＝，

∴cos＝cos α＋sin α＝.

6．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝－．

[解析]　因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，

所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α，

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α

＝2sin2α－1

＝2×－1＝－.

7．函数f(x)＝sin 2xsin －cos 2xcos 在上的单调递增区间为．

[解析]　f(x)＝sin 2xsin －cos 2xcos ＝sin 2xsin ＋cos 2xcos ＝cos.当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．取k＝0，得－≤x≤，故函数f(x)在上的单调递增区间为.

三、解答题

8．已知α、β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．

[解析]　∵α、β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，

∴α＋β∈，β－∈，

∴cos(α＋β)＝＝，

cos＝－＝－，

∴cos＝cos ＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)·sin＝×＋×＝－.

9．已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若cos α＝，求cos β的值．

[解析]　(1)由|AB|＝，得

＝，

∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，

∴cos(α－β)＝.

(2)∵cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，

∴sin α＝，sin(α－β)＝±.

当sin(α－β)＝时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝

cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.当sin(α－β)＝－时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.

∵β为锐角，∴cos β＝.