高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时随堂练习题

第五章　5.5.1 第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．cos的值等于(　C　)

A．　　 B．

C． D．

[解析]　cos＝－cos＝－cos

＝－

＝－＝.

2.cos－sin的值是(　B　)

A．0 B．

C．－ D．2

[解析]　cos－sin＝2＝2＝2sin＝2sin＝.

3．若cos αcos β＝1，则cos(α＋β)＝(　C　)

A．－1 B．0

C．1 D．±1

[解析]　因为|cos α|≤1，|cos β|≤1，所以|cos αcos β|≤1，于是或所以sin α＝0，sin β＝0，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1，故选C．

4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝(　B　)

A．8 B．4

C．2 D．6

[解析]　由已知得则＝4.故选B．

5．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定为(　D　)

A．等边三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

[解析]　∵sin Asin B<cos Acos B，

∴cos Acos B－sin Asin B>0，

∴cos(A＋B)>0，∵A，B，C为三角形的内角，∴A＋B为锐角，∴C为钝角．

6．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cos β＝(　C　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　∵α、 β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sin α＝.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.

二、填空题

7．计算sin 133°cos 13°－sin 13°cos 133°的结果为．

[解析]　原式＝sin(133°－13°)＝sin 120°＝.

8．已知α是锐角，sin α＝，则cos等于．

[解析]　易知cos α＝，

故cos＝coscos α－sin·sin α＝＝.

9．设α∈，β∈，cos α＝，且tan α＝，则sin(α－β)＝．

[解析]　由已知得tan α＝＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α＝.

三、解答题

10．化简求值：

(1)cos 44°sin 14°－sin 44°cos 14°；

(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．

[解析]　(1)原式＝sin(14°－44°)

＝sin(－30°)＝－.

(2)原式＝sin [(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.

11．已知cos α＝－，<α<π，求cos ，cos 的值．

[解析]　∵cos α＝－，且<α<π，

∴sin α＝＝，

∴cos ＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝，

cos ＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝－.

B　组·素养提升

一、选择题

1．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是(　C　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等腰非直角三角形

[解析]　由题设知sin [(A－B)＋B]≥1，

∴sin A≥1而sin A≤1，∴sin A＝1，A＝，

∴△ABC是直角三角形．

2．(多选题)若α∈[0，2π]，sinsin＋cos·cos＝0，则α的值是(　CD　)

A． B．

C． D．

[解析]　由已知得coscos＋sinsin＝0，

即cos＝0，cos α＝0，又α∈[0，2π]，

所以α＝或α＝.

3．(多选题)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　BD　)

A．对任意的角α，β都成立

B．α＝β＝0时成立

C．只对有限个α，β的值成立

D．有无限个α，β的值使等式成立

[解析]　因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．

4．已知cos＝，0<θ<，则cos θ等于(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　因为θ∈，所以θ＋∈，

所以sin＝，

故cos θ＝cos

＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.

二、填空题

5.＝．

[解析]　

＝

＝

＝＝sin 30°＝.

6．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为1，最小值为－1．

[解析]　因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin [(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－sin φ·cos(x＋φ)＝sin x，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为－1.

7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝．

[解析]　由已知，得

即

解得

所以tan α·tan β＝＝.

三、解答题

8．已知cos αcos β＋sin αsin β＝，－<β<0<α<.

(1)求sin(α－β)的值；

(2)若sin β＝－，求sin α的值．

[解析]　(1)∵cos αcos β＋sin αsin β＝，

∴cos(α－β)＝，

∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，

∴sin(α－β)＝.

(2)又sin β＝－，∴cos β＝，

由(1)得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝，

∴sin α＝sin [(α－β)＋β]

＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β

＝×＋×＝.

9．已知cos α＝，sin(α－β)＝且α，β∈.求：

(1)cos(2α－β)的值；

(2)β的值．

[解析]　(1)因为α，β∈，

所以α－β∈.

又因为sin(α－β)＝>0，

所以0<α－β<.

所以sin α＝＝，

cos(α－β)＝＝.

cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]

＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)

＝×－×＝.

(2)cos β＝cos [α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝，

又因为β∈，所以β＝.