高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时练习

第五章　5.5.1 第4课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．若sin＝，则cos α等于(　C　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.

2．(2021·全国高考乙卷文科)cos 2－cos 2＝(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意，cos 2－cos 2＝cos 2－cos 2＝cos 2－sin 2＝cos＝.故选D．

3．函数y＝的最小正周期是(　B　)

A． B．

C．π D．2π

[解析]　y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos 4x，所以最小正周期T＝＝.

4．sin 2α＝－，则cos2的值为(　C　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　cos2＝

＝＝＝.

5．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A等于(　A　)

A． B．－

C． D．－

[解析]　∵sin 2A＝2sin Acos A＝，

∴sin Acos A＝.

∵在△ABC中，0<A<π，∴sin A>0，

∴cos A>0，

∴sin A＋cos A＝＝＝＝.

6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，

∴tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]

＝＝－1，

又α为锐角，∴2α＝，∴α＝.

二、填空题

7．若sin ＝， 则cos 2θ＝－．

[解析]　由sin＝cos θ＝，

得cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.

8．计算：tan －＝－2．

[解析]　原式＝＝＝－2.

9．若cos 2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝．

[解析]　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，又cos 2θ＝－，

∴sin22θ＝1－cos22θ＝.

∴原式＝1－sin22θ＝1－×＝.

三、解答题

10．求下列各式的值：

(1)；

(2)2tan 15°＋tan215°；

(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.

[解析]　(1)原式＝

＝

＝

＝＝＝8.

(2)原式＝tan 30°(1－tan215°)＋tan215°

＝×(1－tan215°)＋tan215°＝1.

(3)方法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°

＝cos 20°cos 40°cos 80°

＝

＝

＝＝·＝.

方法二：令x＝sin 10°sin 50°sin 70°，y＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy＝sin 10°cos 10°·sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°，

＝sin 20°·sin 100°·sin 140°

＝sin 20°sin 80°sin 40°

＝cos 10°cos 50°cos 70°＝y.

∵y≠0，∴x＝.

从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝.

11．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求tan 2α的值；

(2)求cos 2α的值；

(3)求α－β的值．

[解析]　(1)tan 2α＝＝；

(2)因为α为锐角，且tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，

所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝.

(3)由(1)知，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，

因为α，β为锐角，cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，

sin(α－β)＝sin [2α－(α＋β)]＝sin 2α·cos(α＋β)－cos 2αsin(α＋β)＝×－×＝－，又α，β为锐角，

∴α－β∈，故α－β＝－.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于(　C　)

A．10° B．20°

C．70° D．80°

[解析]　由三角函数的定义tan α＝＝＝＝＝＝tan 70°.

所以α＝70°.

2．(2021·山西晋中高三适应性考试)若sin＝，则sin＝(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意及诱导公式可得

sin＝cos＝

cos，

又由余弦的倍角公式，可得cos＝1－2sin2＝1－2×＝，

即sin＝.

3．(多选题)下列各式中，值为的是(　BC　)

A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°

C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°

[解析]　A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；C符合，1－2sin215°＝cos 30°＝；D不符合，sin215°＋cos215°＝1.故选BC．

4．(多选题)已知函数f(x)＝是奇函数，则有(　BCD　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．函数f(x)的图象关于点对称

C．函数f(x)是奇函数

D．函数f(x)的最小正周期为π

[解析]　因为f(x)＝＝＝－tan x，

所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD．

二、填空题

5．若tan＝，则tan 2α＋＝2．

[解析]　由tan＝＝，可求得tan α＝，

∴tan 2α＋＝＋＝＋＝＝＝2.

6．若θ∈，sin 2θ＝，则cos 2θ＝－；sin θ＝．

[解析]　∵θ∈，

∴2θ∈，∴cos 2θ≤0.

∴cos 2θ＝－

＝－＝－.

又∵cos 2θ＝1－2sin2θ，

∴sin2θ＝＝＝，

∴sin θ＝.

7．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos＝－1．

[解析]　由题意知cos θ＝，sin θ＝，

∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，

sin 2θ＝2sin θcos θ＝，

∴cos＝cos 2θcos－sin 2θ·sin＝－×－×＝－1.

三、解答题

8．已知π<α<，cos α＝－，求下列各式的值：

(1)；

(2)tan.

[解析]　(1)＝＝，

由π<α<，cos α＝－，可得：sin α＝－，

∴原式＝＝6.

(2)由(1)知：tan α＝，

tan＝＝＝7.

9．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．

[解析]　(1)因为f(x)＝cos2－sin cos －＝(1＋cos x)－sin x－＝cos ，

所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.

(2)由(1)知，f(α)＝cos ＝，

所以cos ＝.

所以sin 2α＝－cos

＝－cos 2＝1－2cos2＝1－＝.