人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课时作业

第四章　4.5.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　C　)

A．x1　 B．x2　

C．x3　 D．x4

[解析]　用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C．

2．利用二分法求方程 log3x＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是(　C　)

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，3) D．(3，4)

[解析]　设 f(x)＝log3x－3＋x ,

当连续函数 f(x) 满足 f(a)·f(b)<0 时， f(x)在区间 (a，b) 上有零点，即方程 log3x＝3－x 在区间 (a，b) 上有解，

f(1)＝log31－3＋1＝－2<0 ，又 f(2)＝log32－1<0 ，

f(3)＝log33－3＋3＝1>0 , f(4)＝log34－3＋4＝1＋log34>2>0

故 f(2)·f(3)<0 ，故方程 log3x＝3－x 在区间(2，3)上有解．故选C．

3．(2022·锦州高一检测)函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1，1)和区间(1，2)上分别存在一个零点，则实数a的取值范围是(　B　)

A．－3<a<1 B．<a<1

C．－3<a< D．a<－3或a>

[解析]　∵函数f(x)＝ax2－2x＋1在(－1，1)和(1，2)上分别存在一个零点，∴，

即解得<a<1.故选B．

4．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围是(　A　)

A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)

C．(－1，1) D．[－1，1]

[解析]　记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在点(1，0)的左方，另一个在点(1，0)的右方，

∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.

∴p<－1.∴p的取值范围为(－∞，－1)．

二、填空题

5．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2)．

(1)(－1，0)；(2)(0，1)；(3)(1，2)；(4)(2，3)．

[解析]　令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147<0，F(0)＝－0.44<0，F(1)＝0.542>0，F(2)＝0.739>0，F(3)＝0.759>0，所以F(0)·F(1)<0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2)．

6．函数f(x)＝的零点个数是2．

[解析]　当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．

当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x，

令2x－6＋ln x＝0，得ln x＝6－2x.作出函数y＝ln x与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象(图略)，

则两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋ln x(x>0)只有一个零点．

综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.

三、解答题

7．已知方程2x＋2x＝5.

(1)判断该方程解的个数以及所在区间；

(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．

参考数值：

[解析]　(1)令f(x)＝2x＋2x－5.

因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．

因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，

f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，

所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内．

(2)用二分法逐次计算，列表如下：

因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，

且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，

所以函数的零点近似值为1.312 5，

即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.

B　组·素养提升

一、选择题

1．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与其实零点的误差最大不超过(　B　)

A． B．

C．ε D．2ε

[解析]　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过，故选B．

2．(多选题)已知函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法不正确的是(　ACD　)

A．函数f(x)在区间内一定有零点

B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是

C．函数f(x)在区间内无零点

D．函数f(x)在区间或内有零点

[解析]　根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在或中或零点是.故选ACD．

二、填空题

3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝0.25．

[解析]　∵f(0)<0，f(0.5)>0，

∴f(0)·f(0.5)<0，

∴f(x)在(0，0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)，∴x1＝0.25.

4．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称4次就可以发现这枚假币．

[解析]　将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．

三、解答题

5．已知函数y＝|3x－1|，试问k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

[解析]　作出y＝|3x－1|的图象，如图所示．

当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．

综上所述，当k<0时方程无解；当k＝0或k≥1时方程有一解；当0<k<1时方程有两解．