云南师范大学附属中学2023届高三第九次高考适应性月考（云南版）数学

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

【解析】

1．因为，所以，故选C．

2．集合与集合中的元素都是除3余2的数，集合中的元素都在集合中，集合中有集合中没有的元素，故选B．

3．据题意，则

，那么，所以，故选A．

4．因为，所以的展开式中二项式系数最大的项是第4项，即，故选C．

5．，即，所以，因为，解得，所以，根据等差数列的前项和公式，求得，这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值，故选D．

6．据题意，，两式相除可得，又因为，故选B．

7．设“一名妇女患乳腺癌”，“一名妇女的X光片呈阳性”．由题知，，，可得，所求为，根据全概率公式可得

，所以，故选A．

【评析】本题来源于一个曾经的现象：医生了解临床测试的错误率和疾病的基本比例，但不知道怎样从中推出呈阳性病人的患病率，因此许多病人不得不承受不必要的治疗．据调查，在48名有相关经验的医生中，只有的人给出了正确答案．这是一个不太符合直觉的问题，需要用到数学当中的全概率公式，或者贝叶斯公式，通过严密的计算，才能得到正确的结果．

8．据题意，设直线，两条渐近线满足方程，联立直线l与双曲线有，整理得，

，联立l与方程M有：，整理得，，，，，，故选A．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

【解析】

9．由是偶函数知关于对称，又关于对称，所以的周期为，故A错误；无法求出的值，故B错误；由是奇函数知关于对称，故C正确；关于的对称点为，所以，故D正确，故选CD．

10．设周期为，据题意，频率为，故A正确；当时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且，所以，故B错误；根据图中的信息知在图象上，所以，故C正确；当时，小球第一次到达平衡位置，当时，小球第三次到达平衡位置，故D正确，故选ACD．

【评析】本题参考《课程标准》中的案例4：用三角函数刻画事物周期变化的实例．将三角函数和物理当中的简谐运动结合起来，考察学生的综合能力．

11．若方程表示的曲线是椭圆，则，故A错误；当时，方程是，曲线是椭圆，设曲线上一点，则点到直线距离为，故B正确；若方程表示的是双曲线，则

，故C正确；若方程表示的是椭圆，但受到的影响，椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以离心率的表达式有两个，故D错误，故选BC．

12．如图1，因为，由勾股定理得，所以，所以，当在线段上时，，所以，故A正确；可以将三棱锥放入正方体中，易求出正方体外接球的半径为，故三棱锥外接球的半径为，点是球表面或内部一点，点是球表面任意一点，所以的最大值为球的直径，即，故B错误；因为，则点在底面的投影为AB的中点，则，由图知，当点与点重合时，取到最大值，，当点与点重合时，取到最小值，所以，故C正确；记经过的平面为，当时，平面与球的截面面积最小，此时截面圆的半径为，所以截面面积为，故D正确，故选ACD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．据题意，记击中靶心的次数为Y，则Y服从的二项分布，所以．

14．如果甲没有搭档，自己一个人去某个市，那么这五个人去交流学习的不同方法数为；如果甲有搭档，可能2个人同行，则必须是甲和乙，也可能三个人同行，那么这五个人去交流学习的不同方法数为．所以总的方法数为．

15．水流速度为，底面半径为，圆锥的高为，水深为，时间为．记经过时间后，水的体积为，有水部分的圆锥体积为，解得，当时，，根据导数的实际意义知，水面上升的速率即为关于的导数，即，所以当水深为时，水面上升的速率为，所以水面上升的速率为．

16．设，则，且，于是，所以，整理得，可视为关于的二次方程有解，那么，由于，所以，则，因为，于是，满足，所以，故是一个等边三角形，所以．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：（1），

所以可以认为和有很强的线性相关关系．…………………………………………（4分）

（2）据题意，，

，

所以回归方程为．…………………………………………………（10分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）为的三个内角，所以，

因为，所以，………………………………………………………（1分）

记的外接圆半径为，根据正弦定理有，所以，

………………………………………………………………………………………（2分）

根据圆的性质知，圆心在直线的投影为弦的中点，

所以，故．…………………………………………（4分）

（2）根据正弦定理得，，……………………………………（5分）

若，则是一个等腰三角形，是角平分线，且，

由二倍角公式得，因为，所以，

于是，所以；……………………………………………（8分）

若，则，由余弦定理得，解得，

………………………………………………………………………………………（9分）

由等面积法得，

即，

解得．…………………………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（1）解：构造等比数列为，……………………………………（2分）

故是以为首项，为公比的等比数列，

所以．………………………………………………………（4分）

对进行分组求和，得到，

所以数列的前项和为．

………………………………………………………………………………………（6分）

（2）证明：，

………………………………………………………………………………………（9分）

所以，故．

……………………………………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（1）证明：当时，为棱中点，

取中点为，连接，则，

又，所以，故为平行四边形，则，

又平面，所以平面．

………………………………………………………………………………………（4分）

（2）解：当时，直线与平面所成角的正弦值为，理由如下：

不妨设棱长，则，

在中，，故，同理可得，，

则，则，

在中，，所以，即，

又，以为原点，建系如图2，

图2

………………………………………………………………………………………（6分）

，，，，，，

则，，故，

所以，

，，

设平面的一个法向量为，则解得，

………………………………………………………………………………………（9分）

设直线与平面所成角为，

则，

解得（舍）或．…………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

解：（1）设动圆的半径为，据题意，所以，，根据椭圆的定义知，点的轨迹是椭圆，轨迹方程为．

……………………………………………………………………………………（4分）

（2）设，直线的斜率为，直线的斜率为，

则，

联立直线与曲线的方程有：

，

设，根据韦达定理知：

，

………………………………………………………………………………………（8分）

所以，

则

，……………………………………………………………………（10分）

同理得，

因为，有,

所以，直线与直线不重合，则，

故直线的斜率与直线的斜率之和为0．

……………………………………………………………………………………（12分）

22．（本小题满分12分）

解：（1）当时，，，

令，则，

令，解得，，

当，单调递减，则恒成立；

当，单调递增，且，

则当，，，．

综上，当，，单调递减；

当，，单调递增，

故的极小值为，无极大值．

………………………………………………………………………………………（4分）

（2）原不等式等价于：，恒成立，令，

由得，；…………………………………………………………（5分）

①         当时，，则，

令，则，在上单调递增，

又，，故存在唯一使得，

则，即，，

在上单调递减，在上单调递增，

，

则恒成立，符合题意；…………………………………………………………（9分）

②         当时，令，

当，有，，故在上单调递减，

故，

由①得，，所以，不符合题意；

综上所述，的取值集合为．………………………………………………………（12分）