数学高二下期末复习-成对数据的统计分析（含解析）

成对数据的统计分析

知识体系：

2022-2023年度七校联考范围：

知识清单：

一、回归分析

1．两个变量线性相关

(1)散点图：将样本中个数据点(i＝1,2，…，)描在平面直角坐标系中得到的图形．

(2)正相关与负相关

①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．

②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．

2．回归直线的方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．

(3)回归方程的推导过程：

①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据,,．

②设所求回归方程为，其中是待定参数．

③由最小二乘法得

相关系数：

样本相关系数r的取值范围为[-1,1].

①      若r>0时，成对样本数据正相关；

②若r<0时，成对样本数据负相关；

③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

其中，是回归方程的斜率，是截距．

回归直线方程

注意：在回归直线上

比较两个模型的拟合效果：

1. 参数越大，残差平方和越小，拟合效果越好
2. 参数越小，残差平方和越大，拟合效果越差

二、独立性检验

1．列联表

设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下：

2．独立性检验

利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．

随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。

3．独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据列出列联表；

(2)计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0：

(3)如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”．

注意:

(1)通常认为时，样本数据就没有充分的证据显示“X与Y有关系”．

(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．

（3）先进行零假设

期末押题：

．选择题（共3小题）

1．下列说法正确的序号是　　

①在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；

②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；

③已知，是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值越大，则“与有关系”的把握程度越小；

④在一组样本数据，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本，，2，，都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为．

A．①③ B．①② C．②④ D．③④

2．用模型拟合一组数据组，，2，，，其中；设，得变换后的线性回归方程为，则　　

A． B．70 C． D．35

3．设两个相关变量和分别满足下表：

若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为　　

（参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；

A．33 B．37 C．65 D．73

二．多选题（共2小题）

4．下列说法中，正确的命题有　　

A．已知随机变量服从正态分布，，则 

B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则， 的值分别是和0.3             

C．8个完全相同的球放入编号为1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子均不空且数量均不同，则有12种放法             

D．若样本数据，，，的方差为2，则数据的方差为4

5．下列命题正确的是　　

A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 

B．对具有线性相关关系的变量、，有一组观测数据，，2，，，其线性回归方程是，且，则实的值是             

C．已知样本数据，，，的方差为4，则，，，的标准差是4 

D．已知随机变量，若，则

三．解答题（共3小题）

6．经验表明，一般树的直径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．由于测量树高比测量直径困难，因此研究人员希望由树的直径预测树高．在研究树高与直径的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如表：

（1）请用样本相关系数（精确到说明变量和满足一元线性回归模型；

（2）建立关于的一元线性回归方程；并估计当树的直径为时，树高为多少？（精确到

附参考公式：相关系数回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

参考数据：

7．根据国家统计局统计，我国年的新生儿数量如下：

（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量与年份编号的关系，请用相关系数说明相关关系的强弱；，则认为与线性相关性很强）

（2）建立关于的回归方程，并预测我国2025年的新生儿数量．

参考公式及数据：，，，，，．

8．奥密克戎变异毒株的潜伏期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表：

（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值．

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关．

（3）为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为且相互独立，若当时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求．

附：，其中

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．【解答】解：对于①，在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位，故①正确；

对于②，用离差的平方和，即：作为总离差，并使之达到最小；

这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条，

由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；

所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；故②正确；

对于③，对分类变量与，对它们的随机变量的观测值来说，越小，则“与有关系”的把握程度越小，故③错误；

对于④，相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为，故④错误．

故选：．

2．【解答】解：因为，所以，，

即．，

所以．

故选：．

3．【解答】解：令，则，

，，

，

，

故，

当时，．

故选：．

二．多选题（共2小题）

4．【解答】解：对于，服从正态分布，且，于是得，故错误；

对于，由得，依题意得，，即，故正确；

对于，将8个相同的球放进三个不同的盒子，可以等价于在8个球中间插两个板，将它分成3份并对应放到三个不同盒子中，共有种分法，

要求每个盒子中球的数量不相同，考虑存在相同的情况，首先不可能三个盒子数量均相同，只有两个盒子数量相同共3种情况：1、1、6，2、2、4，3、3、2，有种放法，故正确；

对于，若样本数据，，，的方差为2，则数据的方差为，故错误．

故选：．

5．【解答】解：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故正确；

，，由得，故正确；

样本数据，，，的方差为4，则样本数据，，，的方差为，标准差为4，正确；

随机变量，若，则，

则，故错误．

故选：．

三．解答题（共3小题）

6．【解答】解：（1），故，

，故，

，

故和成线性正相关，满足一元回归模型．

（2），，

，当 时，．

7．【解答】解：（1），，

，，

．

新生儿数量与年份编号具有很强的负相关性；

（2），

．

．

取，得．

预测我国2025年的新生儿数量为472.7万人．

8．【解答】解：（1）根据统计数据，计算平均数为（天；

（2）依题意潜伏期不超过6天的抽取人，

所以超过6天的抽取人，

所以可得列联表如下：

零假设：潜伏期和年龄独立。

根据列联表计算，

所以没有的把握认为潜伏期与年龄有关；

（3）至少检测4人该小区被测定为“封控区”包含两种情况：

①检测4次被确定，②检测5次被确定，

则至少检测了4人该小区被确定为“封控区”的概率为，

设，

，

，当时，当时，

即在上单调递增，在上单调递减，

所以时函数取得极大值即最大值，

当时，最大，．

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