数学高二下期末复习-导数（含解析）

导数

知识体系：

2022-2023年度七校联考范围：

知识清单：

一、变化率和导数

1.平均变化率

对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到，这时，的变化量为，的变化量为，我们把比值，即叫做函数从变化到的平均变化率。

2.导数（瞬时变化率）

如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即。

3.导数的几何意义与切线

(1)导数的几何意义：函数在处的导数是函数在该点处的切线的斜率，即。

(2)切线问题

①在函数上某点的切线方程

【步骤】：

⒈求

⒉代入得斜率：

⒊点斜式得方程：

②过函数外一点作函数的切线

设该切线与函数相切的切点为，

则切线方程为，……………………………（*）

该切线经过点，故

解方程算出的值，代回（*）式即可

③切线方程的含参问题：

列出与切线相关的3个核心方程

⒈

⒉切点在切线上

⒊切点在曲线上

注：若题目中没有给出切点，则立马设切点

④求函数和函数的公切线

设公切线与的切点横坐标为，则切线方程

公切线与的切点横坐标为，则切线方程，

两条切线方程应相同，即斜率和截距均相等，，解方程算出，的值即可

5.导函数（导数）的概念

当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数），的导函数有时也记作，。

二、导数的计算

1.基本初等函数的导数

(1)若（为常数），则；

(2)若（，且），则；

(3)若，则；

(4)若，则；

(5)若（，且），则，特别地，若，则；

(6)若（，且），则，

特别地，若，则。

2.导数的四则运算法则

一般地，对于两个函数和，我们有如下法则：

(1)；

(2)；

(3)，

特别地，若为常数，则。

3.复合函数的导数

一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为。

三、导数与单调性

1.函数单调性和导数的关系

一般地，函数的单调性和导函数的正负之间具有如下的关系：

在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；

在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减。

记忆口诀：导函数看正负，原函数看增减

2.求函数单调性的步骤

①求定义域

②求导，画草图

③根据正负得单调区间

3.含参函数单调性的讨论步骤（当导函数有效部分为含参二次函数时）

4.已知函数单调性求参数

可导函数在区间上单调递增

可导函数在区间上单调递减

【方法小结】：

⑴在R上单调（导函数为二次函数型），判别式法

⑵在上单调，分参法（能分则分）或整体法（不能分参时）

四、导数与极最值

1.极值点和极值

如果函数在附近的左侧，且在附近的右侧，则称为函数的极小值点，叫做函数的极小值；

如果函数在附近的左侧，且在附近的右侧，则称为函数的极大值点，叫做函数的极大值。

记忆技巧：极值点出现在原函数单调性发生转变时，导函数正负发生转变时。

2.最大值和最小值

函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，比较所有极值和端点的函数值，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值。

3.已知极最值反求参数

函数在处取得极值：

【小结】：

⑴在开区间上有最值在有极值（极值点）

⑵无极值点单调

五、函数构造

原理：利用的单调性解不等式

条件:①含不等式；②解析式未知

规律:①同时出现和时,构造乘除法；②加法构造乘法，减法构造除法(不能放分母)；③当前有时,构造含的幂函数；当前无时，构造含的指数函数；④其他形式:如含,,等，按照特征构造即可。

1.

构造形式:

2.

构造形式:

特别地,当时,

3.

构造形式:

特别地,当时,

4.

构造形式:

特别地,当时,

5.

构造形式:

特别地,当时,

6.

构造形式:

7.

构造形式:

8.

构造形式:

9.

构造形式:

10.

构造形式:

11.

构造形式:

12.

构造形式:

13.

构造形式:

六、导数压轴大题技巧

1.极值点偏移母题常规六解：

函数,若存在，使得。

求证：

梳理：，故，；

不妨设则

法一：左右构造

要证：，只需证

构造函数，，

得证。

法二：居中构造

构造函数

故

又

又，故

得证。

法三：对均不等式

由题意

由对均不等式（考试需证明），得。

得证。

法四：齐次化

由题意

要证：，只需证、

令,即证，，显然成立（考试需构造函数证明）。

得证。

法五：比值换元

设

令，则

要证，只需证显然成立（考试需构造函数证明）。

得证。

法六：二次函数拟合

构造函数

令

则，且

又

所以

又，

则

。

得证。

小结：在平时练习中，以法一法二为主；法一与法二为对称构造，法四与法五为齐次化后比值换元。

2.隐零点问题

导数隐零点问题的破解策略：在解导数综合题时，经常会碰到：导函数存在零点，但零点不能求出来，这种零点我们称之为隐零点，相应的问题称为隐零点问题。此时，一般虚设零点(隐零点)，通过对方程变形、因式分解判断单调性，或通过过渡;再研究的性质，对隐零点进行估计，回避隐零点，再结合题目其他条件，最终解决问题。对于指对混合问题，下列恒等式:

，，，，会灵活运用，解题也往往会事半功倍此外，如果将问题适当转化也可以回避隐零点。比如:转化为    转化为

求解步骤：

第一步：求导

第二步：判断的增减性

        求二阶导

        一般是单增或单减

第三步：设的零点，根据零点存在性定理卡出的范围

        化为同一阶

第四步：写出，把第三步的结果代入即可求值

以下列例题进行说明：

已知函数．

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．

解：（1）当时，，则，

，

又，

所求切线方程为；

（2），

若，当时，，单调递增，则，不合题意；

故，，令，注意到，

令，解得或，令，解得，

在单调递减，在单调递增，且时，，

①若，当时，，单调递增，不合题意；

②若，（1），则存在，使得，

且当时，，单调递减，则，

当时，，，则由零点存在性定理可知在，上存在一个根，

当时，，单调递减，，

当时，，，则由零点存在性定理可知在上存在一个根．

综上，实数的取值范围为

期末押题：

一．选择题（共3小题）

1．函数的单调递增区间是　　

A． B． C． D．

2．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

3．已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

二．多选题（共2小题）

4．函数，下列对函数的性质描述正确的是　　

A．函数的图象关于点对称 

B．若，则函数有极值点 

C．若，函数在区间单调递减 

D．若函数有且只有3个零点，则的取值范围是

5．已知函数，，则下列结论正确的有　　

A．函数的极小值点是1 

B．若函数在，上是单调的，则 

C．若不等式恰有两个正整数解，则 

D．若函数与的值域相同，则实数的取值范围是

三．填空题（共1小题）

6．已知曲线，则该曲线在原点处的切线方程为 　　．

四．解答题（共3小题）

7．设函数．

（1）若是函数的极值点，求在上的最大值；

（2）若曲线在处的切线与曲线也相切，求实数的值．

8．已知函数，．

（1）证明：；

（2）若有两个不同的零点，，且，证明：．

9．已知函数，其中为自然对数的底数，

（1）若对，恒成立，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，

（ⅰ）证明：有三个根，，；

（ⅱ）设，请从以下不等式中任选一个进行证明：

①；

②．

．参考数据：，．

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．【解答】解：因为定义域是，且，

令，解得：，

故单调递增区间是，

故选：．

2．【解答】解：设切点是，，，即，而，

故切线斜率，切线方程是，

又因为切线经过点，故，显然，

则，在上有两个交点，

令，设，则，令得，，

所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

又，（1），且时，，时，，时，，时，，

所以有两个交点，则或，故实数的取值范围是，，．

故选：．

3．【解答】解：由，

故是偶函数，

由函数对于任意的满足，

令，，

故，

故在递增，是偶函数，

故（1），

又，，，

（1），，

即，

故只有答案成立，其他错误，

故选：．

二．多选题（共2小题）

4．【解答】解：对于，，

，函数的图像关于点对称，故选项正确；

对于：由，

当时，，函数在定义域内为增函数，

此时函数没有极值点，故选项错误；

对于：当时，由，解得：，

又时，，函数在区间递增，故选项错误；

对于：由，

当时，，函数在定义域内为增函数，

故不存在三个零点，不符合题意，

当时，由，解得：，

又时，，

，时，，，时，，

函数在递增，在，递减，在，递增，

函数的极小值是，极大值是，

函数有个不同的零点，

，解得：，故选项正确，

故选：．

5．【解答】解：对于，的定义域为，

当时，，所以，单调递减；

当时，，所以，单调递增．

又（1），所以函数的极小值点为1．故正确；

对于，当，时，在，上是单调的，所以错误；

对于，，作出函数和的图象，

所以，解得，故正确；

对于，（1），又当时，，

所以的值域为，，又因为与的值域相同，

所以，，，所以．故正确；

故选：．

三．填空题（共1小题）

6．【解答】解：由，

得，

，

则曲线在原点处的切线方程为．

故答案为：．

四．解答题（共3小题）

7．【解答】解：（1）因为，所以，，

因为是函数的极值点，所以（2），得，

此时，，

当时，，当时，，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以是的一个极小值点，所以符合题意．

由以上可知，在，上为减函数，在，上为增函数，

又，（e），

所以（e），

所以在，上的最大值为．

（2）由（1）知，，，所以（1），

又（1），所以切线，即，

假设直线与曲线切于，，

因为，所以，

又，

所以在，处的切线方程为，

即，

因为直线与直线重合，

所以，得，

解得或．

8．【解答】证明：（1）令，

，

所以在上，在上，

所以（2），

所以；

（2）令，，

，由（1）知，

且在上单减，在上单增，

要证，即证，又，

故只需证明，

令

，

，

则，

，

，

，

，（2），

（2），

原不等式成立．

9．【解答】解：（1）由对，恒成立，可得，

由，得，

①当时，，所以在上单调递增，

而当时，，不满足题意，

②当时，由，得，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

设（a），则（a），

因为（a），令（a），则，

当时，（a），当时，（a），

所以（a）在上递增，在上递减，

所以（a）（1），

综上（a），则

（2）证明：由（1）可知，令，则．

先解，

令，

在单调递减，在单调递增．

，，，

，

使得，即有两个零点以及，如图：

再解，

当时，即，由（1）可知，

当时，有，显然是其中一根，

，，

所以使得，

所以有三个零点，0，，如图所示．

由题，，，所以，，

且，

若选①：要证，即证，

又由（1）时取等），

令，得（当时取等），

所以有，

所以只需证，而，

所以只需证，

因为，所以，所以显然成立，得证．

若选②：即证：，

因为，

所以即证，又由（1）时取等），

令，得（当时取等），

所以有，所以即证，即，得证．

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