2022年新疆昌吉州高考数学一诊试卷（理科） - 解析版

2022年新疆昌吉州高考数学一诊试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集U＝{x|﹣6＜x＜6}，集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|x2+5x﹣6＜0}，则A∪（∁UB）＝（　　）

A．{x|﹣6＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜6} C．{x|3≤x＜6} D．{x|﹣6＜x≤﹣2}

【分析】求出集合A，B，∁UB，由此能求出A∪（∁UB）．

【解答】解：∵全集U＝{x|﹣6＜x＜6}，集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，

B＝{x|x2+5x﹣6＜0}＝{x|﹣6＜x＜1}，

∴∁UB＝{x|1≤x＜6}，

则A∪（∁UB）＝{x|﹣2＜x＜6}．

故选：B．

【点评】本题考查集合的运算，考查并集、补集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）复数z满足z（1+i）＝2﹣i（i为虚数单位），则复数z的模长为（　　）

A． B．1 C． D．

【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．

【解答】解：∵z（1+i）＝2﹣i，

∴＝＝，

∴．

故选：C．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

3．（5分）设向量＝（2，1），＝（λ，1），若，则实数λ的值等于（　　）

A．﹣2 B． C．2 D．

【分析】直接利用数量积坐标运算公式展开直接计算．

【解答】解：∵，

∴5+2（2λ+1）＝0，

解得：，

故选：D．

【点评】本题主要考查向量数量积公式及坐标运算，属于基础题．

4．（5分）蒙特•卡罗方法（MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法．某同学根据蒙特•卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率π的值，每次用计算机随机在区间（0，3）内取两个数，共进行了2000次实验，统计发现这两个数与3能构成钝角三角形的情况有565种，则由此估计π的近似值为（　　）

A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15

【分析】根据给定条件画出几何图形，借助几何概型计算作答．

【解答】解：设x，y是区间（0，3）内的任意两个数，∴，

点（x，y）所在的平面区域是边长为3的正方形OABC的内部，如图，

数字x，y与3能构成三角形，则点（x，y）在满足的条件下有，

此时点（x，y）在以O为圆心，OA长为半径的圆在第一象限部分与直线AC所围成的阴影区域（不含边界）内，

此阴影面积为：

S′＝＝，

而正方形OABC的面积为S＝32＝9，

∴点（x，y）落在阴影区域内的面积为P＝＝，

∵每次用计算机随机在区间（0，3）内取两个数，共进行了2000次实验，

统计发现这两个数与3能构成钝角三角形的情况有565种，

∴，解得π≈3.13，

∴估计π的近似值为3.13．

故选：B．

【点评】本题考查π的估计值的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边与圆x2+y2＝1相交于点P（，），角β满足cos（α+β）＝1，则tanβ的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而可求tanα，进而由已知根据余弦函数的性质，诱导公式即可求解．

【解答】解：因为角α的终边与圆x2+y2＝1相交于点P（，），

所以sinα＝，cosα＝﹣，可得tanα＝＝﹣2，

因为cos（α+β）＝1，则α+β＝2kπ，k∈Z，故tanβ＝﹣tanα＝2．

故选：B．

【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，余弦函数的性质在三角函数求值中的应用，属于基础题．

6．（5分）如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的实数x的取值范围是（　　）

A．[，） B．[，） C．[，） D．[，2）

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：由程序框图可得，n＝1，x≥12，否，x＝3x+1，

n＝2，x≥12，否，x＝3×（3x+1）+1＝9x+4，

n＝3，x≥12，是，输出n＝3，

则，解得，

故输入x的取值范围为．

故选：C．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

7．（5分）已知y＝f（x）为奇函数且对任意x∈R，f（x+2）+f（x）＝0，若当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+a），则f（2023）＝（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【分析】根据题意，先分析函数的周期，则有f（2023）＝f（1），利用奇函数的性质可得a的值，由此求出f（1）的值，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，对任意x∈R，f（x+2）+f（x）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），

则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）的周期为4，

则f（2023）＝f（﹣1+2024）＝f（﹣1）＝﹣f（1），

y＝f（x）为奇函数且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+a），则f（0）＝log2a＝0，则a＝1，

故f（1）＝log2（1+1）＝1，则f（2023）＝﹣f（1）＝﹣1，

故选：A．

【点评】本题考查函数奇偶性和周期性的计算，涉及函数值的计算，属于基础题．

8．（5分）已知，b＝﹣3log63，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a

【分析】先判断a＞0＞b，a＞0＞c，再判断b＞c即可．

【解答】解：因为＞＝1，

b＝﹣3log63＜0，c＝＝﹣log25＜0，

所以a＞b，a＞c；

又因为3log63＝log633＝log627＜log636＝2，

log25＞log24＝2，

所以3log63＜log25，

所以﹣3log63＞5，即b＞c，

所以a＞b＞c．

故选：B．

【点评】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题．

9．（5分）给出下列说法：

①以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性回归方程，则c，k的值分别是e4和0.3；

②根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的线性回归方程中，，，，则；

③通过线性回归方程，可以精确反映变量的取值和变化趋势．

其中错误的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．0

【分析】根据非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断．

【解答】解：对于①由y＝cekx，得lny＝lnc+kx，令z＝lny，得z＝kx+lnc，因为，所以，则，故①正确；

对于②，回归方程中，＝＝3﹣2×1＝1，故②正确；

对于③，回归方程仅可估计和预测变量的取值和变化趋势，故③错误．

故选：A．

【点评】本题考查了线性回规方程的相关知识，属于易做题．

10．（5分）已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在[，]上是增函数，且在[0，4π]上恰有一个极大值点与一个极小值点，则ω的取值范围为（　　）

A．[，） B．[，） C．（0，] D．[，]

【分析】由[﹣ω，ω]⊆[﹣，]，可得ω≤，在[0，4π]上仅有一个极大值点，有≤4πω＜，求解即可．

【解答】解：由[﹣ω，ω]⊆[﹣，]，

所以，解得ω≤，

f（x）＝sinωx在[0，4π]上仅有一个极大值点，

则有≤4πω＜，所以≤ω＜，又ω≤，

所以ω的取值范围为[，）．

故选：B．

【点评】本题考查正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

11．（5分）如图，已知F1，F2为双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1，F2分别作直线l，l2交双曲线E于A，B，C，D四点，使得四边形ABCD为平行四边形，且|，则双曲线E的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】连接AF2，设|AF1|＝t，t＞0，分别在三角形ADF2和F1DF2中，由三角形的余弦定理和勾股定理，结合离心率公式，计算可得所求值．

【解答】解：连接AF2，设|AF1|＝t，t＞0，

由双曲线的定义可得|AF2|＝t+2a，

|由题意可得|DF1|＝t，|AD|＝t，

由双曲线的定义可得|DF2|＝t﹣2a，

在三角形ADF2中，∠ADF2＝45°+90°＝135°，

由余弦定理可得|AF2|2＝|AD|2+|DF2|2﹣2|AD|•|DF2|•cos135°，

即为（t+2a）2＝2t2+（t﹣2a）2﹣2t•（t﹣2a）•（﹣），

化简可得t＝3a，

在直角三角形F1DF2中，|DF1|＝3a，|DF2|＝3a﹣2a＝a，∠F1DF2＝∠AF1D＝90°，|F1F2|＝2c，

所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，

即e＝＝．

故选：B．

【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及直角三角形的勾股定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

12．（5分）若不等式﹣a（x+2）+alnx≥0恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，] B．[0，]∪[1，e] C．[0，] D．（﹣∞，]

【分析】对不等式分离常数a，利用构造函数法，结合导数性质能求出a的取值范围．

【解答】解：依题意不等式恒成立，

a（lnx﹣x﹣2），其中x＞0，

对函数f（x）＝lnx﹣x﹣2，（x＞0），，

∴f（x）在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）递增，

在（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）递减，

∴f（x）max＝f（1）＝﹣3＜0，∴f（x）＜0，

∴a≤﹣，∴a≤，

令g（x）＝，（x＞0），则，

令h（x）＝x+1﹣lnx（x＞0），则＝，

∴h（x）在（0，1）上，h′（x）＜0，h′（x）递减，

在（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，

∴对于g′（x）＝，有：

g（x）在（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）递增，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，h（x）递增，

∴g（x）min＝g（1）＝，∴a≤，

∴a的取值范围是（﹣∞，]．

故选：D．

【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查分离常数法、不等式性质、利用导数研究函数的单调性、极值、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）在（x﹣）10的展开式中，常数项等于　﹣252　（结果用数值表示）．

【分析】根据题意，由二项式定理求出（x﹣）10的展开式通项，进而令r＝5求出其展开式中的常数项，即可得答案．

【解答】解：根据题意，（x﹣）10的展开式通项为Tr+1＝C10rx10﹣r（﹣）r＝（﹣1）rC10rx10﹣2r，

当r＝5时，有T6＝（﹣1）5C105＝﹣252，

即在（x﹣）10的展开式中，常数项为﹣252；

故答案为：﹣252．

【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．

14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝2x+y﹣1的最大值为 　3　．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】解：不等式组所表示区域为图中阴影区域，

联立，解得A（1，2），

由z＝2x+y﹣1，得y＝﹣2x+z+1，由图可知，当直线y＝﹣2x+z+1过A时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．

故答案为：3．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．

15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3bsinC+csinB＝8asinBsinC，b2﹣a2＝8﹣c2，则△ABC的面积为 　　．

【分析】利用正弦定理可得sinA＝；再利用余弦定理求得bc＝，从而可求得△ABC的面积．

【解答】解：在△ABC中，∵3bsinC+csinB＝8asinBsinC，

∴由正弦定理得：3sinBsinC+sinCsinB＝8sinAsinBsinC，

∵sinB＞0，sinC＞0，∴sinBsinC＞0，

∴sinA＝；

又b2﹣a2＝8﹣c2，即b2+c2﹣a2＝8，

由余弦定理得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，

∴2bccosA＝8，故cosA＝＝，

∴bc＝，

∴S△ABC＝bcsinA＝××＝，

故答案为：．

【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

16．（5分）直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是 　12π　．

【分析】直接利用几何体的体积的公式，求出a和x的关系，进一步利用函数的导数的应用，函数的导数和函数的单调性的关系，函数的极值的求法，主体和外接球体的关系，求出结果．

【解答】解：直六棱柱的底面是正六边形，

如图所示：

设正六边形的边长为a，AC＝x，则底面积S＝，

由于其体积是，

所以，

解得xa2＝4，

所以；

六棱柱的外接球的直径为，

所以该六棱柱的表面积为4πr2＝π•（x2+4a2）＝；

设f（x）＝，

则，

令f′（x）＝0，解得x＝2，

故函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

故在x＝2时取得最小值，f（2）＝12，

所以外接球的表面积的最小值为12π．

故答案为：12π．

【点评】本题考查的知识要点：几何体的体积的公式，函数的导数的应用，函数的导数和函数的单调性的关系，函数的极值的求法，棱柱和外接球体的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分

17．（12分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn．若a1＝2，S7＝4（a2+a5）．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．

【分析】（1）、利用等差数列通项公式及前n项和求出公差，即可求出

（2）、先求数列 {bn} 的通项公式，再利用分组求和法求解．

【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d．

∵S7＝4（a2+a5），

∴，

∴a1＝d，∵a1＝2，

∴d＝2，

∴an＝2+（n﹣1）×2＝2n．

∴{an}的通项公式为an＝2n，

（2）由（1）可知∵，

∴，

∵Tn＝b1+b2+b3+⋯+bn．

∴，

∴Tn＝2n（n+1）+（4n﹣1）．

【点评】本题考查数列的通项公式及数列求和，属于难题．

18．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛．为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在[50，60）内的频数为3．

（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；

（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80，90）和[90，100]女士人数都为2人，现从成绩在[80，90）和[90，100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列与数学期望．

【分析】（1）计算a的值得出成绩在[50，60）内的频率，从而得出n的值；

（2）计算成绩在[80，90）和[90，100]上的人数，利用组合数公式计算X的各种取值对应的概率，从而得出X的分布列．

【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：10a+0.3+0.4+0.125+0.1＝1，

∴a＝0.0075，

∴成绩在[50，60）内的频率为10a＝0.075，

∴n＝＝40．

参赛人员的平均成绩为＝55×0.075+65×0.3+75×0.4+85×0.125+95×0.1＝73.75．

（2）成绩在[80，90）的人数为40×0.125＝5，[90，100]的人数为40×0.1＝4，

∴X的可能取值为0，1，2，3，4．

P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝•+＝，

P（X＝2）＝++＝，

P（X＝3）＝+•＝，P（X＝4）＝＝，

∴X的分布列为：

∴E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝1.8．

【点评】本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．

19．（12分）如图，在多面体ABCDE中，△AEB为等边三角形，AD∥BC，BC⊥AB，CE＝2，AB＝BC＝2AD＝2，F为EB的中点．

（1）证明：AF∥平面DEC；

（2）求锐二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

【分析】（1）考虑所给的条件，找出相应的几何关系即可；

（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，用空间向量的方法即可．

【解答】证明：（1）取EC中点M，连结FM，DM，

∵，

∴四边形AFMD为平行四边形，

∴AF∥DM，又AF⊄平面 DEC，DM⊂平面 DEC，

AF∥平面 DEC；

解：（2）∵，

又∵CB⊥AB，AB∩BE＝B，∴CB⊥平面 ABE，BC⊂平面 ABCD，

∴平面ABCD⊥平面 ABE，取AB 的中点O，以OE为x轴，AB为y轴，过点O作平行于BC的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，

∴，∴，设平面CDE的一个法向量为＝（x，y，z），

∴，∴，平面ABCD的一个法向量为＝（1，0，0）

∴，

所以平面CDE和平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为．

【点评】本题考查线面平行及二面角的求法，考查学生的运算能力，属于中档题．

20．（12分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率e＝，长轴长为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（非长轴端点），MO的延长线与椭圆交于P点，求△PMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

【分析】（1）由离心率e＝，长轴长为4，列方程组，解得a2，b2，即可得出答案．

（2）设直线MN的方程为x＝my﹣，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，由弦长公式可得|MN|，由点到直线的距离公式可得原点到直线x＝my﹣的距离d，推出S△MNP＝|MN|•2d，再结合基本不等式，即可得出答案．

【解答】解：（1）因为椭圆的长轴长为4，

所以2a＝4，解得a＝2，①

因为椭圆的离心率e＝，

所以e＝＝，②

又因为a2＝b2+c2，③

由①②③解得a2＝4，b2＝1，

所以椭圆的方程为+y2＝1．

（2）设直线MN的方程为x＝my﹣，

联立，得（4+m2）y2﹣2my﹣1＝0，

因为Δ＞0，y1+y2＝，y1y2＝，

所以|MN|＝＝，

所以原点到直线x＝my﹣的距离d＝，

所以点P到直线MN的距离2d＝，

所以S△MNP＝|MN|•2d＝，

令＝t，t≥1，

则S△MNP＝＝≤＝2，

当且仅当t＝时，取等号，此时m＝，

所以直线l的方程为x﹣y+＝0或x+y+＝0．

【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣xex+ax+1．

（1）若函数F（x）＝f（x）+xex，判断F（x）的单调性（用实数a表示）；

（2）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

【分析】（1）对F（x）求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；

（2）利用参数分离法可得a≤ex﹣﹣在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝ex﹣﹣，利用导数求得g（x）的最小值，即可求得a的取值范围．

【解答】解：（1）由题得F（x）＝lnx+ax+1，则F′（x）＝+a（x＞0）．

①当a≥0时，F′（x）＞0，此时F（x）是增函数；

②当a＜0时，由F′（x）＝0，得x＝﹣＞0，

所以当0＜x＜﹣时，F′（x）＞0，此时F（x）单调递增；

当x＞﹣时，F′（x）＜0，此时F（x）单调递减，

综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＜0时，F（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减．

（2）若f（x）≤0恒成立，即lnx﹣xex+ax+1≤0在（0，+∞）上恒成立，

则a≤ex﹣﹣在（0，+∞）上恒成立．

令g（x）＝ex﹣﹣，则g′（x）＝ex+＝，

令h（x）＝x2ex+lnx，则h′（x）＝2xex+x2ex+＞0，

所以h（x）在（0，+∞）上是增函数．

而h（1）＝e＞0，h（）＝﹣1＜0，

所以存在x0∈（，1）使得h（x0）＝0，即x02+lnx0＝0，

所以x0＝﹣lnx0＝ln（）•，

令m（x）＝xex，则m′（x）＝（x+1）ex＞0在（0，+∞）上恒成立，

所以m（x）在（0，+∞）上是增函数，所以x0＝ln，

当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g′（x）＞0，故g（x）在（x0，+∞）上单调递增，

所以g（x）min＝g（x0）＝﹣﹣＝﹣﹣＝1，

所以a≤1，

即实数a的取值范围是（﹣∞，1]．

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（3+sin2θ）＝12．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．

【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．

【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2（3+sin2θ）＝12，根据转换为直角坐标方程为；

（2）直线l的参数方程（t为参数），转换为标准式为，

把直线的参数方程代入，

得到，

所以，；

所以．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣a|．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤2的解集；

（2）∀x∈R，不等式f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．

【分析】（1）去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．

（2）通过a的范围，求解函数的最小值，推出结果即可．

【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|．

当时，由f（x）＝1﹣2x+1﹣x＝2﹣3x≤2，解得x≥0，此时；

当时，f（x）＝2x﹣1+1﹣x＝x≤2，可得；

当x≥1时，f（x）＝2x﹣1+x﹣1＝3x﹣2≤2，解得，此时，．

综上所述，当a＝1时，不等式f（x）≤2的解集为．

（2）解：当时，，解得或，不满足题意；

当时，，

此时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，

此时，，解得，此时；

当时，，

此时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，

此时，，解得，此时，．

综上所述，实数a的取值范围是．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．