2023年内蒙古通辽市霍林郭勒市中考数学模拟试卷（含解析）

2023年内蒙古通辽市霍林郭勒市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列实数中，属于无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月国家统计局网站数据显示，年全国居民人均消费支出元，将用科学记数法表示(    )

A.  B.  C.  D.

3.  以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  新冠肺炎疫情期间，学校要求学生每天早晨入校前在家测量体温，七年三班第二学习小组名同学某天的体温单位：记录如下：，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则▱的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点、、、在上，四边形是平行四边形，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  已知，抛物线在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，从一个边长是的正五边形纸片上剪出一个扇形阴影部分，将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  不等式组的解集是，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，连接，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  下列命题中真命题的个数是(    )
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形；
平分弦的直径垂直于弦；
三角形的内心到三角形三边的距离相等．

A.  B.  C.  D.

12.  如图，已知．
以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
作射线交于点．
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点．
作直线，交，分别于点，．
依据以上作图，若，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

14.  一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．

15.  若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为______．

16.  如图，点是斜边上一点，，，将沿翻折，得到，再在边上取点，使点关于的对称点恰好落在上，连接，当是直角三角形时，的长是______．

17.  如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

18.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
每年月日是“国际禁毒日”某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图图中所给的信息解答下列问题：

该校八年级共有______名学生，“优秀”所占圆心角的度数为______．
请将图中的条形统计图补充完整．
已知该市共有名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．

21.  本小题分
某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为：的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为．
求坡顶到地面的距离；
求联通信号发射塔的高度结果精确到米．
参考数据：，，
 

22.  本小题分
清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜元，某商家用元购进的芝麻青团和用元购进的肉松蛋黄青团盒数相同在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价元时，每天可售出盒，当每盒售价提高元时，每天少售出盒．
求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价；
已知芝麻青团每盒的售价不高于元，表示该商家每天销售芝麻青团的利润单位；元，芝麻青团每盒售价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

23.  本小题分
如图，是的直径，是的一条弦，点是上一点，且，，与的延长线交于点．
求证：是的切线；
若，，求直径的长．

24.  本小题分
如图，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立．

当正方形绕点逆时针旋转时，如图，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
当正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点求证：；
在小题的条件下，与的交点为，当，时，求线段的长．

25.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，，两点，与轴交于点．

求二次函数的解析式．
点是第二象限抛物线上一动点，过点作轴于点若∽，求的值．
点为抛物线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是无理数；
，，是有理数．
故选：．
根据无理数的定义进行解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，
所以这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
根据平行四边形的性质得，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得，，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，，
，，
，
平行四边形的周长为：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
四边形是平行四边形，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理得到，根据平行四边形的性质，得到，根据圆内接四边形的性质，得到，得到答案．
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，
，
该抛物线对称轴位于轴的左侧，
、同号，即，
抛物线与轴的负半轴相交，
，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：．
直接利用二次函数图象经过的象限得出，，的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，
又弧的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥的底面半径为，则，
圆锥底面半径为，
故选：．
先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径．
本题考查正多边形与圆，扇形面积，弧长及圆周长，掌握扇形面积、弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
关于的不等式组的解集是，
，
故选：．
求出不等式的解集，根据已知得出关于的不等式，求出即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
点是中点，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
是等边三角形，
，
中，由勾股定理得：；
故选：．
根据菱形的性质和勾股定理证明是等边三角形，即可求解．
本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题说法是假命题；
顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形，是真命题；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，故本小题说法是假命题；
三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；
故选：．
根据平行公理、垂直的定义、中点四边形、垂径定理的推论、内心的性质判断．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

12.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，垂直平分，

，，，
，
，
，
，
同理可得，
四边形为平行四边形，
而，
四边形为菱形，
，
，
，即，
．
故选：．
利用作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线分线段成比例定理．
 

13.【答案】且 

【解析】解：由题意，得：且，
且；
的取值范围是且；
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数大于等于，分式的分母不为，进行求解即可．
本题考查代数式有意义．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于，分式的分母不为，是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设俯视图的正方形的边长为．
其俯视图为正方形，正方形的对角线长为，
，
解得，
这个长方体的体积为．
由主视图所给的图形可得到俯视图的对角线长为，利用勾股定理可得俯视图的面积，乘以高即为这个长方体的体积．
解决本题的关键是理解长方体的体积公式为底面积乘高，难点是利用勾股定理得到长方体的底面积．
 

15.【答案】或或 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是抛物线与轴的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
当时，函数为一次函数与轴有一个交点；当时，时，抛物线与轴只有一个交点．
【解答】
解：当时，函数为，其图象与轴只有一个交点．
当时，，即．
解得：．
当或时，函数的图象与轴只有一个交点．
故答案为：或或．  

16.【答案】或 

【解析】解：根据题意可知：当是直角三角形时，和两种情况：
在中，
，，
，，
由翻折可知：，，，，
，
当时，点在上，如图，

则，
；
当时，如图，

则，
．
综上所述：的长是或．
故答案为：或．
根据题意可得当是直角三角形时，和两种情况：首先根据勾股定理求出，，由翻折可得，，，，所以，当时，点在上，当时，根据锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了翻折变换，勾股定理，轴对称的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，连接，

菱形中，，，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
菱形的边长为，
，
．
的最小值是．
故答案为：．
过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，即可解决问题．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解决本题的关键是利用以上知识准确计算．
 

19.【答案】解：原式



，
，
，
原式． 

【解析】先分解因式进行化简分式，然后将代入即可．
本题考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题的关键．
 

20.【答案】解：；；
“一般”的人数为名，
补全条形统计图如图：

名，
即估计该市大约有名学生在这次答题中成绩不合格；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为种，
必有甲同学参加的概率为． 

【解析】本题考查了用列举法求概率，属于中档题．
由“良好”的人数和其所占的百分比即可求出总人数；由乘以“优秀”所占的比例即可得出“优秀”所占圆心角的度数；
求出“一般”的人数，补全条形统计图即可；
由乘以“不合格”所占的比例即可；
画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率．
解：该校八年级共有学生人数为名；“优秀”所占圆心角的度数为；
故答案为：；；
见答案；
见答案；
见答案．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，

斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，米，
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
延长交于点，

由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
米，
联通信号发射塔的高度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设芝麻青团的进价为每盒元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：芝麻青团的进价为每盒元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元；
设芝麻青团每盒售价元，
根据题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
芝麻青团每盒售价为元时，一天获得利润最大，最大利润是元． 

【解析】设芝麻青团的进价为每盒元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元，根据商家用元购进的五仁月饼和用元购进的豆沙月饼盒数相同列出分式方程，解方程即可；
由题意得，当时，每天可售出盒，设芝麻青团每盒售价元，则每天可售盒，列出每天销售芝麻青团的利润与芝麻青团每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值．
本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售芝麻青团的利润与芝麻青团每盒售价的函数关系式．
 

23.【答案】解：连接，交于，

，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，交于，由等腰三角形的性质可得，，由平行线的性质和圆周角定理可得，，可证，可得结论；
由等腰三角形的性质可求，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

24.【答案】解：成立．
理由：是等腰直角三角形，四边形是正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
．

证明：设交于点，
≌，
，
，
∽，
，
．

过点作于点，
在正方形中，，
，
．
在等腰直角中，，
，，
在中，，
在中，，
，
． 

【解析】根据是等腰直角三角形，四边形是正方形，根据角边角关系证出≌，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
先设交于点，根据证出的≌，可得，又根据对顶角相等，得出∽，再根据根据相似三角形的对应角相等，可得，即可证出；
首先过点作于点，利用勾股定理即可求得，的长，继而求得，的长，又由等角的三角函数值相等，可求得的值，从而求出的值．
此题考查了四边形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用．
 

25.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
如图：

在中，令得，
，，
点是第二象限抛物线上一动点，
，
，
当时，∽，
此时，
解得增根，舍去或，
的值是；
存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，又，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或；
综上所述，的坐标为或或或． 

【解析】用待定系数法可得二次函数的解析式为；
由，知当时，∽，即可得，解得的值是；
设，，又，，分三种情况：若，为对角线，则，的中点重合，，若，为对角线，则，的中点重合，，若，为对角线，则，的中点重合，，分别解方程组可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质与应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．