2023年高考数学三模试题分项汇编（新高考专用）专题12 平面解析几何（选填题）（解析版）

这是一份2023年高考数学三模试题分项汇编（新高考专用）专题12 平面解析几何（选填题）（解析版），共45页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc32175" 题型一：直线与圆的方程 PAGEREF _Tc32175 \h 1
\l "_Tc30391" 题型二：椭圆（直线与椭圆）问题 PAGEREF _Tc30391 \h 8
\l "_Tc22839" 题型三：双曲线（直线与双曲线）问题 PAGEREF _Tc22839 \h 20
\l "_Tc31899" 题型四：抛物线（直线与抛物线）问题 PAGEREF _Tc31899 \h 27
\l "_Tc22193" 题型五：平面解析几何中的新定义新文化题 PAGEREF _Tc22193 \h 40
题型一：直线与圆的方程
1．（2023·浙江温州·统考三模）已知直线，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【详解】因为直线，且，则，
所以.
故选：B
2．（2023·河北石家庄·统考三模）已知直线经过圆的圆心，其中且，则的最小值为（ ）
A．9B．C．1D．
【答案】A
【详解】圆的圆心为，依题意，，即，
由，知，令，则，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值9.
故选：A
3．（2023·安徽·校联考三模）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】方程的根转化为
和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，
要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
因为时，，
所以，所以图象为圆的一部分，
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相切，
所以，可得；
当时，只需直线与圆相离，
所以，解得得或（舍）．
故k的取值范围是．
故选：A．
4．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【详解】由已知可得，圆心，半径.
由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线，
又直线是圆的切线，
所以，直线是圆与圆的公切线.
因为，
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线有4条.
故选：D.
5．（多选）（2023·江苏南通·三模）直线与圆交于两点，为圆上任意一点，则( ).
A．线段最短长度为B．的面积最大值为
C．无论为何值，与圆相交D．不存在，使取得最大值
【答案】CD
【详解】由直线可知，该直线过定点,
且直线斜率一定存在，
当时，弦的弦心距最长，则长最短为，
此时的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；
的面积为,
若的面积取到最大值，则为直角，
由于,此时，与题意矛盾，B错误；
由于直线过定点,在内，
故无论为何值，与圆相交，C正确；
为圆上任意一点，假设当与x轴垂直时，如图中虚线位置，
此时劣弧最短，最大，但由于直线l斜率存在，
故直线取不到图中虚线位置，即不存在，使取得最大值，D正确，
故选：CD
6．（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程____________．
【答案】或中任何一个答案均可
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为，即，
则有，
解得或或或
所以公切线方程为或.
故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）
7．（2023·安徽黄山·统考三模）设直线与两坐标轴的交点分别为，点为线段的中点，若圆上有且只有一个点，使得直线平分，则______.
【答案】/
【详解】点为线段的中点，直线平分，
在的垂直平分线上，
因为所以中垂线的斜率为，
的中点为，由点斜式得，
化简得，
在圆满足条件的有且仅有一个，
直线与圆相切，
，
故答案为: .
8．（2023·重庆·统考三模）过直线上任一点P作直线PA，PB与圆相切，A，B为切点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】
由已知可得，圆心，半径.
因为为切线，所以，
所以，四点共圆，过圆心，
所以，是圆与圆的公共弦，所以，
且.
设四边形面积为，则.
又，
所以，.
显然，当增大时，也增大，
所以，当最小时，有最小值.
当时，最小，，此时.
故答案为：.
9．（2023·湖北·校联考三模）如图，个半径为的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆或坐标轴外切），设为八个圆形区域的并集，斜率为的直线将划分为面积相等的两个区域，则坐标原点到直线的距离为___________．
【答案】
【详解】
当过的直线将圆与圆平分，过的直线将圆与圆平分时，划分为面积相等的两个区域且，
直线的方程为：，即直线，
原点到直线的距离．
故答案为：.
10．（2023·山西运城·统考三模）已知直线被圆截得的线段长为，则______．
【答案】
【详解】圆C：，即圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
又直线被圆截得的线段长为，所以，即，
解得.
故答案为：
11．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）在平面直角坐标系中，笛卡尔曾阐述：过圆上一点的切线方程.若，直线与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线，设直线，的交点为；若时，则直线的方程是__________；若圆O：，且与圆相切，则的最小值为__________.
【答案】 /
【详解】设，
由题意可得：，
因为直线，的交点为，则，
所以直线的方程，即.
空1：若时，则直线的方程是，即；
空2：圆O：的圆心，半径为1，
因为与圆相切，则，整理得，
当时，取到最小值.
故答案为：；.
题型二：椭圆（直线与椭圆）问题
1．（2023·河北唐山·统考三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为的角平分线交线段于点，
所以，
所以由正弦定理得，，
又因为，，
所以，即，不妨设，如图：
则，解得，
所以，
由题意，，所以，
故选：D
2．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）海面上有相距4公里的，两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里.在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里.若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为（ ）
A．公里B．5公里C．公里D．公里
【答案】D
【详解】由题意，船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4 的椭圆上，可设焦点坐标分别为，椭圆的标准方程为，
所以，，所以椭圆的方程为，
因为，，所以，
设椭圆上一点，
所以，
因为，所以，
所以，即，
故选：D.
3．（2023·浙江温州·统考三模）如图，是椭圆的左､右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设 ，
则，
，
两式相乘得,①
因为直径所对的角是直角,所以
所以 ,②
①除以②得，故，
故选：D
4．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3B．6
C．D．
【答案】D
【详解】圆M：的圆心为，
设椭圆的左焦点为，如下图，由椭圆的定义知，，
所以，所以
，
当且仅当三点在一条直线上时取等，
，，，.
故选：D．
5．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）设的最小值为，最大值为，若正数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，，则，，，则，
即点的轨迹是椭圆在坐标轴正半轴和第一象限的部分.
设，即，所以当，即时，取得最小值2，即（此时直线过椭圆的上顶点）.
直线与椭圆在第一象限相切时，最大.将代入椭圆方程并化简得，
所以，所以（负值已舍）.
所以.
，即，所以.
由知，，，
所以与均是单调减函数，
所以.所以A正确.
故选：A.
6．（多选）（2023·湖南岳阳·统考三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记面积为S，则（ ）
A．B．时，
C．S的最大值为D．当时，
【答案】ABD
【详解】由题知，，，设，则，
对于A，根据椭圆的定义，，故A正确；
对于B，，故，
因为，即，所以，解得，故B正确；
对于C，因为，当且仅当，即时等号成立，即
所以，面积为，即的最大值为，故C错误；
对于D，，所以，
因为，
所以，
由点在椭圆C得，又，
所以，整理得，即，解得，
所以，所以面积为，故D正确；
故选：ABD.
7．（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（ ）
A．-1B．C．aD．3a
【答案】BD
【详解】因为点在椭圆上，所以，
所以
，若，当时，最小，
若，当时，最小.
故选：BD.
8．（多选）（2023·吉林长春·统考三模）已知直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的下焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，使得
B．当时，，使
C．当时，，使得
D．当时，，
【答案】BC
【详解】在椭圆中，，，，
由题意可得，上焦点记为，
对于A选项，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，
所以，，A错；
对于B选项，设线段的中点为，
由题意可得，两式作差可得，
因为直线的斜率存在，则，所以，，
整理可得，又因为，消去可得，其中，
所以，，
所以，
，B对；
对于C选项，当时，直线的方程为，即，
联立可得，
，解得，
由韦达定理可得，，
，
同理，所以，，
因为，所以，当时，，使得，C对；
对于D选项，设线段的中点为，
由B选项可知，，即，即，
由可得，故点的横坐标的取值范围是，
而点到直线的距离为，
由可得，当且仅当点时，
取最小值，D错.
故选：BC.
9．（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（ ）
A．B．
C．椭圆的离心率为D．直线的斜率的绝对值为
【答案】ABD
【详解】A选项，由题意得：，A正确；
B选项，设，则，
由椭圆定义可知：，，所以，，
因为，所以，解得，
故，，，
因为，所以，
故，B正确；
C选项，在中，，
由勾股定理得，解得，
椭圆的离心率为，C错误；
D选项，过点作于点，过点作于点，
则，
其中，故，
由勾股定理得，
则
故直线的斜率的绝对值为.
故选：ABD
10．（多选）（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，则（ ）
A．
B．当时，四边形为正方形
C．四边形面积的最大值为
D．若四边形为菱形，则
【答案】ACD
【详解】A选项，可以看出，由椭圆的对称性知四边形是平行四边形，
设，，联立与得，，其中，解得，A正确.
B选项，由韦达定理得，，
，
平行四边形的高即为两平行线之间的距离，
当时，，，故，B错误.
C选项，，
设，，，
当且仅当，即时，等号成立，C正确.
D选项，若四边形是菱形，则，即
故，解得，，D正确.
故选：ACD
11．（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为______．
【答案】
【详解】
设，则，
.
由正弦定理可得，，
所以，.
根据椭圆的定义可知，，
所以有，
所以有
.
因为，，所以，
令，则，设，
则函数在上单调递增.
又，，
所以，，即.
故答案为：.
12．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.
【答案】
【详解】法1：联立方程得，
得，
所以，得，所以.
法2：设，则处切线，
可化为，比对得，
代入椭圆方程得：，得.
得，所以，得，所以.
法3：椭圆长轴长，焦点.
由椭圆的定义知，椭圆上每一个点P，均满足，
椭圆上外部的每一个点P，均满足，直线与椭圆有且仅有一个公共点P，
则对于直线上任意一点，满足，当且仅当在点处时，等号成立，
即当在处时，取得最小值.求得关于直线对称的点为，
所以，
因此，椭圆方程为，P的坐标是.
故答案为：；
13．（2023·吉林·统考三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点的直线l与椭圆C相交于两点，椭圆C在两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若的垂心为点H，则的最小值是______．
【答案】 4
【详解】由椭圆C：可知，，
设的方程为，设，
则由题意可得切线的方程为，
同理切线的方程为，
即，则，
即，所以P点的横坐标为4；
又，
故的垂心为点H，则，
故的方程为，的方程为，
将两方程联立解得，即，
故，
当且仅当即时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：4；
题型三：双曲线（直线与双曲线）问题
1．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
2．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得：，
可得，整理得，
过点分别作的垂线，垂足分别为，
则为的中点，为的中点，则，
所以，
由题意可得：，
因为圆的半径为，
可得，
所以四边形的面积
，
可得，则，整理得，
所以的离心率.
故选：A.
3．（多选）（2023·湖南邵阳·统考三模）已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线C的方程为
B．若，则
C．若射线n所在直线的斜率为k，则
D．当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为10
【答案】AC
【详解】对于A ，由题意可知，因为双曲线C的一条渐近线的方程为，
所以，即，所以双曲线的方程为故A正确；
对于B，由，得，解得，
在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，，
即，解得，故B错误；
对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为，
由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为，故C正确；
对于D，由题意可知，，当过点时，
由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D错误.
故选：AC.
4．（多选）（2023·黑龙江大庆·统考三模）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线方程为，M为双曲线E上任意一点，平分，且，，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的标准方程为
C．点M到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一个交点为P，Q为的中点，则
【答案】ACD
【详解】不妨设为双曲线的右支上一点，延长，交于点，如图，
因为，所以，即，因为平分，所以为等腰三角形，
则为中点，又为中点，所以，
根据双曲线的定义得，，所以，，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，
所以双曲线的标准方程为，离心率为，所以A正确，B不正确；
设，代入，即，所以，点到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；
设，，因为，在双曲线上，所以①，②，
①②并整理得，，因为，，
所以，，所以D正确.
故选：ACD.
5．（2023·山西晋中·统考三模）点A1，A2是双曲线的左、右顶点．若直线上存在点P，使得，则该双曲线的离心率取值范围为_________．
【答案】
【详解】解析：的外接圆半径为，
当该圆与直线相切或相交时满足题意，故，即，
所以该双曲线的离心率取值范围为.
故答案为：.
6．（2023·湖北·校联考三模）已知双曲线的右焦点为，折线与双曲线的右支交于两点（如图），则的面积为___________．
【答案】/
【详解】延长交双曲线右支于，如图所示：
由已知与关于轴对称，
设，，
则，
（其中），
由题意知，，
把代入中得，
由韦达定理得，，
．
故答案为：.
7．（2023·辽宁大连·统考三模）已知为坐标原点，是双曲线的左､右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为__________.点A是双曲线上一定点，过点的动直线与双曲线交于两点，为定值，则当时实数的值为__________.
【答案】
【详解】（1）根据，取的中点，易知，
可知，，即△为直角三角形.
设，依题意有，解得，
根据勾股定理得，解得，
故双曲线为等轴双曲线，渐近线为.
（2）当时，双曲线，
设直线，
联立方程组，化简得，
，
，
因为为定值，所以
法一：，
，
，解得，
法二：，解得.
故答案为：，
题型四：抛物线（直线与抛物线）问题
1．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为 ，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由抛物线定义知，所以为等边三角形，为的中点，
所以，，
的面积，所以的方程为.
故选：A.
2．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（ ）
A．1B．C．1或D．或
【答案】B
【详解】
不妨设，由题可得无解，
否则若直线和抛物线有交点时，当时，面积将趋近，
故，解得.
由图可知，当恰好为斜率为的直线和抛物线的切点时，的面积最小.
令，不妨，则，
又点到直线的距离为，
则，解得（舍去）.
故选：B
3．（2023·江苏南通·三模）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知，设直线的方程为，.
由得，，故，，.
，
以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到轴的距离为，
故.
设的内切圆半径为，由的面积公式得，，
即，故.
令，则且，
所以，
因为，所以在上单调递增；
当时，.
因此的内切圆直径最小值为.
故选：B
4．（多选）（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线上，直线与抛物线交于点，则（ ）
A．的准线方程为B．
C．直线的斜率为D．
【答案】CD
【详解】由题意可知，，得，则抛物线方程为，所以抛物线的准线方程为，故A错误；
抛物线的焦点，，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
设，，
，则，故B错误，C正确；
，得或，
当时，，当时，，
即，，，故D正确.
故选：CD
5．（多选）（2023·安徽黄山·统考三模）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的斜率为
B．
C．的面积不小于的面积
D．
【答案】ACD
【详解】由抛物线，得，准线为.
设直线的方程为，即，设，，
联立，整理得，
则，，
所以，
.
对于A，因为，
所以，即，
联立，解得，
所以直线的方程为，即，
即直线的斜率为，故A正确；
对于B，由，，
所以，则，
代入抛物线，得，即，
则，，
所以，故B错误；
对于C，，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
则，
，
因为函数在上单调递增，且，
所以，故C正确；
对于D，，
即，
即，
即，
而，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
6．（多选）（2023·湖北·校联考三模）已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（ ）
A．或
B．圆与抛物线的准线相切
C．在抛物线上存在关于直线对称的两点
D．线段的垂直平分线与抛物线交于，则有
【答案】BD
【详解】分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为
由于直线过焦点到准线的距离:
，
故以为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确．
由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，有，
，故A不正确．
过焦点，，直线的方程是，
假设抛物线上存在两点，关于直线对称，
且设直线的方程是：，
代入中，得，
所以，
，
所以的中点为，又在直线上，
，
因为中，直线不存在．
C不正确．
对于D，直线的方程为：，
代入，得
由韦达定理得，．
，
，
故D正确．
故选：BD.
7．（多选）（2023·安徽·校联考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）
A．若、、三点共线，则的最小值为
B．若，则的面积为
C．若，则直线过定点
D．若，过的中点作于点，则的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A选项，易知抛物线的焦点为，
当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，则，
易知，，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对；
对于B选项，设点，，可得，所以，，
则，所以，，B对；
对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为，
设点、，由于直线不过原点，所以，，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，
因为，则，解得，
所以，直线的方程为，故直线过定点，C错；
对于D选项，过点作于点，过点作于点，
设，，所以，
因为
，
所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对．
故选：ABD．
8．（多选）（2023·湖南永州·统考三模）已知抛物线：的焦点为F，直线与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，MN垂直准线于N，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则直线的倾斜角为
B．点M到准线距离为
C．若直线经过焦点F且，则
D．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A选项，因为，
所以三点共线，即直线经过抛物线焦点.
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，因为，所以，
因为点A在第一象限，所以，故，
即，，
解得：故直线的斜率为，设直线l的倾斜角为，
则，解得：，A正确；
对于B选项，当直线不经过焦点时，设，，
由三角形三边关系可知：，
由抛物线定义可知：，
即，B不正确；
对于C选项，由题意得：，准线方程为，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
则，所以，
解得：，C正确；
对于D选项，设，
过点作准线于点，过点作准线于点P，
因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以，
则，由抛物线定义可知：
，
由基本不等式得：，
则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，D正确；
故答案选：ACD
9．（多选）（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知是抛物线的焦点，，是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（ ）
A．若，那么
B．若，则线段的中点到轴的距离为
C．若是以为直角顶点的等腰三角形，则
D．若，则直线的斜率为
【答案】BCD
【详解】对于A，只有当直线过焦点时，根据抛物线性质得，此题不一定过焦点，故A错误.
对于选项B，，根据抛物线性质得：，即，设中点横坐标为则线段的中点到轴的距离为，故B正确.
对于选项C，D，用直线的倾斜角为表示，
如图，过点作轴，垂足为，作垂直于准线的直线，垂足为.
设直线的倾斜角为.，则，即，同理可得.
若是以为直角顶点的等腰三角形, 或，
当时，
当时，故C正确.
对于选项D，得：（A上B下）或（B上A下）解得：或则直线的斜率为，故D正确；
故选：BCD
10．（多选）（2023·湖南郴州·统考三模）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的倾斜角为
B．
C．若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为
D．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为
【答案】BC
【详解】设，，直线的方程为，，
由得，，
则，，
所以，
对于A：
，
即，代入，，
，
解得，
所以直线的斜率，即直线的倾斜角为或，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C：
若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，即，
则，解得，
所以抛物线的方程为，故C正确；
对于D：
若点到抛物线准线的距离为2，则，
所以抛物线方程为，
连接，过点作轴于点，
则，若直线的斜率，
，
若，
则，，
所以，
因为,由题可知，，
所以，
因为，
所以
综上，最小值为，故D错误；
故选：BC．
11．（2023·山西阳泉·统考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则___________.
【答案】3
【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，
则.根据抛物线定义知，，
设，因为，所以，
∴.
设，所以，所以.
12．（2023·湖南邵阳·统考三模）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A，B，C三点.令，则的值为__________.
【答案】2
【详解】设，由得，，
则直线l的方程为，即，
，消去y得，
，
解得.
过点作准线的垂线，分别交准线于点，
则，
同理可得.
故答案为：2.
题型五：平面解析几何中的新定义新文化题
1．（2023·河北石家庄·统考三模）中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它原本是旧石器时代的缝衣打结，后推展至汉朝的仪礼记事，再演变成今日的装饰手艺.中国结显示的精致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为由一个大正方形（内部是16个边长为2的小正方形）和16个半圆所组成，如图，是中国结主体部分上的定点，点是16个半圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】抽取其中部分图形，建立如图所示的平面直角坐标系，
作于，则，
因此只要最大，则取得最大值，由图知当点是靠近点上方的半圆与垂直的切线的切点取得最大值．
图中点上方最靠近点的圆的方程为，
，，因此，
设圆的斜率为的切线方程为，即，
由，解得，
由图可知图形中半圆的切线方程为，
点到它的距离为，所以的最大值为，
所以，
故选：C．
2．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
在平面中，图①中以B为原点以AB为x轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为，
，
设圆O与AB交于M,由阿氏圆性质知，
，
，
P在空间内轨迹为以O为球心半径为2的球，
若P在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M，R，所以P在四边形内的轨迹为，
在中，，
所以，当P在面内部的轨迹长为，
同理，当P在面内部的轨迹长为，
当P在面时,如图③所示，
面，平面截球所得小圆是以B为圆心，以BP为半径的圆，截面圆与分别交于，且，
所以P在正方形内的轨迹为，
所以，
综上：P的轨迹长度为.
故选：C
3．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）2022年12月4日20点10分，神州十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神州十四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位和一个移动拍摄机位.根据当时气候与地理特征，点在拋物线（直线与地平线重合，轴垂直于水平面.单位：十米，下同.的横坐标）上，的坐标为.设，线段，分别交于点，，在线段上.则两固定机位，的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，，，，，
根据条件有，，,
，.
∴，.
由题意互不相等，把，，分别代入上两式化简得，，消去得.
的方程是，即，
∴的方程为，则，
∴经过定点.
所以点的坐标为.，
即两固定机位的距离为.
故选：B.