2023年高考数学三模试题分项汇编（新高考专用）专题13 平面解析几何（解答题）（解析版）

这是一份2023年高考数学三模试题分项汇编（新高考专用）专题13 平面解析几何（解答题）（解析版），共32页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知椭圆等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25795" 题型一：三角形（四边形）面积问题 PAGEREF _Tc25795 \h 1
\l "_Tc20995" 题型二：圆锥曲线中的定值问题 PAGEREF _Tc20995 \h 16
\l "_Tc28501" 题型三：圆锥曲线中的定点、定直线问题 PAGEREF _Tc28501 \h 22
\l "_Tc13660" 题型四：圆锥曲线中的最值、范围问题 PAGEREF _Tc13660 \h 25
题型一：三角形（四边形）面积问题
1．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．
【答案】(1)6
(2)4
【详解】（1）如图，
双曲线的渐近线方程为，代入点的，
又点在双曲线上，即，联立解得，
故双曲线的方程为．
设点，，已知直线AB、AC的斜率一定存在，
所以设直线AB的方程为，即，
代入双曲线的方程得，
所以，则，
所以
由直线AB与AC斜率之和为0，可设AC的方程为：
同理可得
所以，所以直线l的斜率为6．
（2）设M点坐标为，过M作渐近线的平行线分别为，
由（1）知，双曲线E的渐近线方程为，故可设的方程分别为，．
联立解得
所以
同理可得
又由，得，所以
，又点M在双曲线E上，则，
所以，即
故△MPQ的面积为4．
2．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知椭圆C：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值，
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，则，解得，
所以椭圆方程为.
（2）因为，则四边形为平行四边形，
所以.
①若直线的斜率不存在，此时点为长轴顶点，不妨取，
设，则，解得，
则；
②若直线斜率存在时，设方程：，
联立方程组得，消去可得：，
由，整理得，
则，
可得，
所以.
因为点在椭圆上，则，
所以，满足，
则，
又因为点到直线的距离，
所以；
综上所述：面积为定值，且定值为.
3．（2023·湖北·校联考三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
∴椭圆C的方程是；
（2）设，根据题意设的方程为：，
由题意知，
，
将，代入中，整理得，
，又，
．
，，
同理可得，，
（当且仅当时取等号）
的最大值是．
4．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知为椭圆：上两点，点满足，过点A与点的直线与直线交于点．
(1)当轴且A在轴上方时，求直线的斜率；
(2)已知，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）设，则，
直线的方程为：，
令，得，
所以直线的斜率为．
（2）当直线斜率不存在时，由（1）知，则//；
当直线斜率存在时，设直线的方程为：（），，
联立方程，消去y得：，
则，，
直线的方程为：，
令，得，
可得
，
因为，即，
所以，则//；
综上所述：//.
可得，
因为，则，所以．
法二：设，则，
因为，则，整理得①，
由，得②，
联立①②得：，
由，整理得，
所以，
因为，则，所以．
5．（2023·辽宁大连·统考三模）已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.
(1)求的轨迹的方程；
(2)若过的直线分别交轨迹与和，且直线的斜率之积为，求四边形面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为线段的垂直平分线交半径与点，
所以，
所以是定值，，
所以点轨迹为椭圆，其长轴为4，焦距为2，
所以的轨迹的方程.
（2）解法一
设.由已知得：直线的方程为；
设，.由已知得：直线的方程为
又因为AC、BD斜率之积为，所以，
由得，即，
所以，
.
故
同理联立BD与椭圆方程，可得，
所以，
故
设分别为点到直线的距离，
则.
又在直线在异侧，则
所以，
令
易知，所以，
所以
解法二
设，所以，设圆心为，
因为直线的斜率之积为，
所以，
设直线方程，
点到的距离为，
所以，
同理，
设四边形面积为，
则，
令，则，
所以，
所以，
设四边形面积为S，因为，
所以.
6．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知曲线在轴上方，它上面的每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2.若点分别在该曲线上，且点在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点.记的面积分别为
(1)求曲线方程；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）曲线上每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点的距离与到直线的距离相等，
所以曲线为抛物线，
；
（2）设点，
为的重心
，
由相似三角形可知且，
可得，
令
，
因为，所以，故，
，
.
7．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）直线方程为，即，
到直线的距离，化简得，
又离心率，即，且，
解得，，，
所以的方程为：.
（2）设直线的方程为，由于的渐近线的斜率为，所以.
将方程代入，化简得.
设，，则，，
，
设平行于与椭圆相切的直线为，
由得，
由得，
直线与之间的较小距离，
直线与之间的较大距离，
则面积的较小值为，
面积的较大值为，
设，，，则，，，
∴，.
所以面积的取值范围为.
8．（2023·安徽·校联考三模）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B，C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，O为坐标原点，过点的直线l交椭圆于E，F两点，线段的中点为．点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）因为线段的中点为在y轴上，O为的中点，
所以轴，即轴，
设，，，代入椭圆的方程得，，
又，所以，即，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意可得，，所以直线BC的方程的截距式为，即为．
设直线AP的斜率为k，点P的坐标为，则AP的方程为，
联立得，
所以，即，．
所以．直线CP的方程为，
设点M，Q的坐标分别为，，
在中，令得．
解得．
所以．
9．（2023·湖南永州·统考三模）已知椭圆：，其右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，，.
(1)求证：为定值.
(2)若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
证明：如图所示，
设，，，
因为椭圆方程：，所以，
由，得，，
又点在椭圆上，故
整理得
由，同理可得
由于，不重合，即，
因此，是方程的两个根，所以为定值.
（2）解：直线的方程为，即，
将代入，
得，
于是，，
从而，
若点不在椭圆的内部，则，即，
所以，当时，有最小值为，
故面积的最小值为.
10．（2023·吉林·统考三模）已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)36
【详解】（1）法一：设点，则．
由题意知，即，
整理得：，
则曲线C的方程为．
法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，
则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线C的方程为.
（2）法一：由题意知，为圆的直径，则．
由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．
又OA所在直线为，
联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，
联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，
所以．
同理可得，
四边形的面积
,
令，,则,
因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．
即当时，四边形面积的最小值为36
法二：设方程为，
由,得．
由,得,
∴,
同理可得：．
令,
则在上单调递增．
∴，
当即时，四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36．
题型二：圆锥曲线中的定值问题
1．（2023·山西阳泉·统考三模）已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）不妨设点在轴的上方,由椭圆的性质可知.
是以为直角顶点的等腰直角三角形,
代人,得,整理得.
的面积为.
故椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为,直线的斜率为,
直线的方程为.
不妨设,则.
联立可得,
,则,
，即，
，
故得证.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知椭圆.
(1)若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆相切；
(2)若为椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线分别交直线于两点，且的面积为8.问：在轴是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【详解】（1）当时，，直线与椭圆相切，当时，，
由消去y并整理得，
所以，有
所以直线与椭圆相切.
（2）设，则由（1）得：，而二切线过点，则有，
因此是方程的两个解，即直线的方程为：，
设点，由解得，同理：，
，，
又，解得，
，即，整理得，
取点的轨迹方程为，此时点的轨迹是焦点为，实轴长为8的双曲线，
所以在轴上存在点，使得||成立.
3．（2023·河北唐山·统考三模）已知双曲线，左､右顶点分别为，经过右焦点垂直于轴的直线与相交于两点，且.
(1)求的方程；
(2)若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于，两点，记直线的斜率为，的斜率为，那么是否为定值？并说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【详解】（1）设，把代入到的方程，得，即，
因为，所以，即，则双曲线的方程为.
（2）是否为定值,理由如下：
设，其中，，.
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，消去并整理得，
所以，
因为，，，即，
所以
，
由已知.
.
即为定值.
4．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知椭圆的离心率为e，且过，两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值，定值为4，理由见解析
【详解】（1）由题意可得，解得，
则的方程；
（2）与的面积之比是定值，定值为4，理由如下：
由已知可得直线的斜率存在，且不为，也不为，
设直线，（且），联立可得，
方程的判别式，
设，，，
则，.
所以，，
所以，
因为两直线斜率互为倒数，则，
用代换点坐标中的得.
所以，
所以直线即
所以恒过定点，
设点、到直线的距离分别是，，
则.
题型三：圆锥曲线中的定点、定直线问题
1．（2023·安徽黄山·统考三模）如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意以及双曲线定义可得：，

由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，的椭圆（不含短轴端点），其方程为.
（2）设直线的方程为：，，
则由，知，所以，
令，得
因点在直线上，所以，变形得，代入式化简得
，若直线恒过线段的中点，则有
，整理得
由，得，所以

代入整理得，，解得，所以存在，即直线，使得直线恒过线段的中点.
2．（2023·山西运城·统考三模）已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.
(1)求的标准方程；
(2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点，直线的方程为.
【详解】（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，
当为等边三角形时，的高为，
由题意知点在上，代入，得，解得，
所以的标准方程为.
（2）由（1）知，根据题意可知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，即，且，，
所以，
由，得，
所以，所以，即，
又点在上，所以，即，①
所以，解得，
又点在第一象限，所以，所以.
又点到直线的距离，化简得，②
联立①②解得，或（舍去），或（舍去）.
此时点，直线的方程为.
3．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知，是双曲线的左､右顶点，为双曲线上与，不重合的点.
(1)设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；
(2)设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)直线MN过定点
【详解】（1）设，由题意，且 ，
所以
（2）设，，，BN的斜率为，由 知：
，由(1)知： 所以
设MN：，与双曲线 联立，
得：，
所以 ，
所以 ，
即﹐
则
整理得，解得或（舍），
故直线MN过定点.
题型四：圆锥曲线中的最值、范围问题
1．（2023·山西晋中·统考三模）椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（其中点位于x轴上方），当垂直于轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线的斜率分别为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，
所以，
将代入，得，
故，
解得，，
∴椭圆方程为．
（2）因为直线过点，且点位于x轴上方，
所以直线斜率不为0，设直线的方程为，
联立
消去x得，．
方程的判别式，
设，，由已知，
于是，
所以，，
又椭圆的左顶点的坐标为，右顶点的坐标为，
所以，
因为，，，
所以，，
因为，
所以，即，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取最小值，最小值为．
2．（2023·河北石家庄·统考三模）已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.
(1)求直线的方程及抛物线的方程；
(2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）如图，
由点，得直线的斜率为1，又，则直线的斜率为，
故直线的方程为，整理得直线的方程为
设，
联立，得，则，
由，得，
即，因为，所以，
所以，解得，故抛物线方程为
（2）设点是直线上任一点，则点关于原点的对称点在直线上，所以，
即直线的方程为.
设点，则，点到直线的距离，
当时，的最小值是，此时，.
3．（2023·重庆·统考三模）已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，是面积为的正三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆外一点的直线交椭圆于两点，已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，直线与交于点，若是钝角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）是面积为的正三角形，，解得：，
椭圆的方程为：.
（2）
设，则，
直线方程为：，即；
由对称性可知：点在轴上，则令，解得：，
设直线，
由得：，，
，，
又，，，，
为钝角，，解得：或，
即实数的取值范围为.
4．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，其焦点为，定点，过的直线与抛物线相交于，两点，当的斜率为1时，的面积为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若抛物线在，点处的切线分别为，，且，相交于点，求距离的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过且斜率为1的直线为：，
代入拋物线方程可知，解得或，
则不妨令点M，N分别为，，
∴，∴，，
∴抛物线方程为：；
（2）设，，，切点，
由题意可知：对于抛物线，当时，；，；时，，
显然时，；时，，
若，则点处的切线为，即，
∵，∴，即，
同理，若，点处的切线为，
时，，则在顶点处的切线为，符合上述表达式，
∴点处的切线为；点处的切线为，
在这两条切线上，∴，
则的直线方程为，
∵在上，∴，即在定直线上，
∴长的最小值即为点到直线的距离，
此时.
5．（2023·浙江温州·统考三模）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)设，求证：是定值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由是直线与抛物线的两个交点，显然直线不垂直y轴，点，
故设直线的方程为，由消去并整理得，
所以为定值.
（2）由（1）知，直线的斜率，方程为，
令，得点的横坐标，设，
由消去得，
，
，
而直线的方程为，依题意，
令，得点的横坐标
，
因此，所以的取值范围是.