2023年高考数学三模试题分项汇编（全国通用）专题06 不等式（解析版）

专题06 不等式

一、单选题

1．（吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三下学期第三次调研测试数学试题）已知，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，举出反例即可.

【详解】A选项，，故，所以，

两边同乘以得，，A成立；

B选项，因为，所以，且，

由基本不等式得，故B成立；

C选项，因为，所以，

故，所以，C成立；

D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立.

故选：D

2．（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合，再用集合的交集运算性质进行计算即可.

【详解】由题意得，，

所以．

故选：A

3．（上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题）“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】先化简条件“”为“”，再利用包含关系判断必要不充分条件即可.

【详解】解：因为，所以，

设，，则

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】本题考查求解一元二次不等式、判断两个集合之间的包含关系、利用集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题.

4．（湖北省武汉市2022届高三下学期四月调研数学试题）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布末知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知，计算可得结果.

【详解】切比雪夫不等式的形式为：，

由题知，

则的具体形式为.

故选：D.

5．（第五章  一元函数的导数及其应用2（能力提升）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教A版2019选择性必修第二册））已知在处取得极值，则的最小值为（    ）

A． B．3+2 C．3 D．9

【答案】C

【解析】对求导，由在处取得极值，可得，再利用基本不等式可得的最小值.

【详解】解：，

，

因为在处取得极值，

所以即，

则，

当且仅当时取等号，此时取得最小值3.

故选: C.

【知识点】本题主要考查利用导数研究函数的极值、基本不等式的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力及数学计算能力，属于中档题.

6．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.

【详解】因为，，且，

由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；

由基本不等式知，则，

即（当且仅当时取等号），B正确；

由题得，

由已知，故，所以，

故，C正确；

由基本不等式可得，

即（当且仅当时取等号），D错误.

故选：D.

7．（河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题）已知，则下列命题错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则的最小值为4

C．若，则的最大值为2

D．若，则的最大值为

【答案】D

【分析】直接使用基本不等式即可判断A，C，D；若，则，展开后使用基本不等式即可判断B.

【详解】∵，∴，∴，故A正确；

若，则，

当且仅当时等号成立，故B正确；

若，则，当且仅当时等号成立，故C正确；

若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.

故选：D.

8．（江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题）某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（　　）

A．4km B．5km C．6km D．7km

【答案】B

【分析】据题意用待定系数法设出两个函数y1=，y2=k2x，将两点（10，2）与（10，8）代入求出两个参数．再建立费用的函数解析式．用基本不等式求出等号成立的条件即可．

【详解】解：由题意可设y1=，y2=k2x，

∴k1=xy1，k2=，

把x=10，y1=2与x=10，y2=8分别代入上式得k1=20，k2=0.8，

∴y1=，y2=0.8x（x为仓库与车站距离），

费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2×4=8，

当且仅当0.8x=，即x=5时等号成立．

当仓库建在离车站5km处两项费用之和最小．

故选B．

【点睛】本题是函数应用中费用最少的问题，考查学生建立数学模型的能力及选定系数求解析式，基本不等式求最值的相关知识与技能，属于中档题．

二、多选题

9．（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）已知，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.

【详解】对于A项，，因为，所以，所以，

所以，即：，故A项错误；

对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；

对于C项，，因为，所以，，，

所以，即：，故C项错误；

对于D项，因为，

又因为，所以，，

所以，即：，故D项正确.

故选：BD

10．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对于A、B选项，利用条件构造，比值换元将问题转化为单变量函数求值域问题；

对于C、D选项，构造函数通过分析单调性判断即可.

【详解】∵，∴

∴

令，因为，所以，

即，则

当时，；

当且时，令，

则

综上，，即B正确；

又因为，所以

令，

显然在上单调递增，）的零点y满足

∴，解得.

所以要证，即证

因为在上单调递增，所以即证

而

所以成立，即成立，C正确

因为，所以当时，，AD错误.

故选：B、C．

三、填空题

11．（四川省康德2020-2021高三11月数学试题）已知，，且，则的最小值为______.

【答案】

【解析】由条件可得，则利用均值不等式可得答案.

【详解】由得，

所以当且仅当，即且时取得等号.

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

12．（上海市浦东新区2023届高三三模数学试题）不等式的解集是__________．

【答案】

【分析】零点分段法求解绝对值不等式.

【详解】当时，，解得，此时解集为空集，

当时，，即，符合要求，此时解集为，

当时，，解得，此时解集为空集，

综上：不等式的解集为.

故答案为：

13．（浙江省Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三上学期第二次联考数学试题数学试题）已知实数，满足，则的最小值是______.

【答案】9

【分析】将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解.

【详解】由已知条件得，

∵，∴，

又∵，，∴，

∴，

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：9.

14．（辽宁省大连市2023届高三下学期适应性测试数学试题）已知，且，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果.

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以

          ，

（当且仅当时取等号），

所以的最小值为，

故答案为：.

15．（贵州省凯里市第一中学2023届高三三模数学（理）试题）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．

【答案】

【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案.

【详解】解析：由题，

则，

∴，

解得:．

故答案为：.

16．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023届高三第三次模拟考试数学试题）若，则实数由小到大排列为__________<__________<__________.

【答案】     b     c     a

【分析】根据给定条件，构造函数，再利用导数探讨单调性比较大小作答.

【详解】依题意，，而，

令函数，求导得，

因此函数在上单调递增，而，于是，

又，所以.

故答案为：b；c；a

17．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷）若正实数a，b满足，则的最小值为______.

【答案】

【分析】由不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出a与b的关系，从而把表示为关于a的表达式，再通过构造函数求最值即可．

【详解】因为，所以，

所以，即

令，则有()，

设，则，由得

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以，即，又因为，

所以，当且仅当时等号成立

所以，从而，所以()

设()，则，由得

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，所以的最小值为．

故答案为：．

四、解答题

18．（四川省南充市2023届高三三模文科数学试题）设函数，若关于的方程仅有两个不同的正实数根，.

(1)求的取值范围；

(2)求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）作出的图象，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题即可求解；

（2）利用柯西不等式求解即可.

【详解】（1）由

得函数图像如图所示，

∵，

∴，

（2）由图像可知：其图像关于对称，故

∴，

∴，当且仅当，即时等号成立.

∴的最大值为.

19．（四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且实数，满足，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；

（2）首先利用绝对值三角不等式求出，再利用基本不等式证明.

【详解】（1）①当时，不等式即为，解得；

②当时，不等式即为，；

③当时，不等式即为，.

综上，不等式的解集为.

（2）由绝对值不等式的性质可得：

当时，取最小值4，即，即

当且仅当时等号成立.

【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法证明.

20．（河南省豫南名校毕业班2023届高三仿真测试三模理科数学试题）已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若关于x的不等式恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)或

(2)．

【分析】（1）分区间讨论求解不等式即可得解；

（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，由不等式恒成立求解.

【详解】（1）

当时，令，得，所以；

当时，令，得，无解；

当时，令，得，所以．

综上，原不等式的解集为或．

（2），

当且仅当时，取得最小值，

，在时取得最大值．

又因为关于x的不等式恒成立，

所以，

即，所以m的取值范围为．

21．（河南省安阳市2023届高三三模拟理科数学试题）已知函数.

(1)当时，解不等式；

(2)若函数在区间上的值域，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法即可求出结果；

（2）利用条件得到，再利用在区间上的值域建立不等关系，从而求出结果.

【详解】（1）当时，

由得或或

解得或，所以不等式的解集为.

（2）当时，，

因为在区间上的值域，所以，当时，，即，所以，

由，得到或，即或，

由，得到，即，

所以或.

因为，显然，

所以，所以或，解得，

故的取值范围是

22．（陕西省商洛市2023届高三三模理科数学试题）已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号求解；

（2）根据绝对值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.

【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立．

当时，不等式转化为，解得．

当时，不等式转化为，无解．

综上所述，不等式的解集为．

（2）由，得．

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为3．

23．（甘肃省2023届高三二模理科数学试题）已知

(1)求不等式的解集；

(2)若，且，恒成立，求m的最大值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）考虑，，，解不等式得到答案.

（2）计算，，得到，确定，变换，得到答案.

【详解】（1），

当时，，得，故；

当时，，得，故；

当时，由，得，此时无解.

综上所述：原不等式的解集是．

（2），故，，，则，

，

，故，，

，故m的最大值为2．